【三维设计】高中数学 教师用书 第一部分 第3章 3.3 幂函数课件 苏教版必修1

⑤y＝(x－1)2；⑥y＝2x2＋1；⑦y＝4.
1 － 解析：具备形式 y＝x 的函数是幂函数，所以①y＝ 2＝x 2， x
α
④y＝x 是幂函数，其他都不是幂函数．
π
答案：①④
3 2．已知点 M( ，3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的 3 表达式为 ________．
α 3α 解析： 设 f(x)＝x .由已知有： 3＝( ) ＝3－ ， 3 2
2
③若 f(x)是反比例函数，则－ 5m－ 3＝－ 1， 2 解得 m＝－ ， 5 2 此时 m2－ m－ 1≠ 0，故 m＝－ . 5 ④若 f(x)是二次函数，则－ 5m－ 3＝ 2，得 m＝－1. 此时 m2－ m－ 1≠ 0，故 m＝－ 1.
[一点通]
将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函
函数 特征 性质 定义域 值域 R R R R y＝ x y＝x2 y ＝ x3 1 y＝x2 y＝x－1 y＝x－2
2
3
1 2
{x|x≥0} {x|x≠0}
{y|y≥0} {y|y≠0}
ห้องสมุดไป่ตู้{x|x≠0}
(0，＋∞)
R {y|y≥0}
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质 奇偶性 奇 偶 x∈[0，＋∞) 单调性 增 增， (－∞，0] x∈
α
∴－
α
2
＝1，α＝－ 2，∴ f(x)＝ x 2.
－
答案：f(x)＝x－2
[例 2] 讨论函数 f(x)＝x 的定义域、值域、奇偶性， 作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．

2 3
[思路点拨]
首先将幂函数化成根式的形式，再
讨论定义域、值域、奇偶性，作图象．
[精解详析 ] ∵y＝x ＝ 3
α
3．下列命题正确的个数是________．
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点 ③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定 义域内y随x的增大而增大 ④幂函数的图象不可能在第四象限 ⑤图象不经过点(－1，1)的幂函数一定不是偶函数
解析：
数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定 k 义：①正比例函数 y＝kx(k≠0)；②反比例函数 y＝x(k≠0)；③ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；④幂函数 y＝x (α∈R)，转化
α
为系数和指数的取值问题．
1．下列函数中是幂函数的个数为 ________．
1 1 π 3 ①y＝ 2；②y＝－3x ；③y＝x3＋x2；④y＝x ； x
序号 ① ② ③ ④ ⑤ 结论 错误 错误 错误 正确 正确 原因 直线上不含(0， 1)点 1 如 y＝ 在 x＝ 0 处没意义，不过 (0， 0) x 1 如 y＝ 在(0，＋∞)上随 x 增大而减小 x α 在 x>0 时，x >0 点(－1， 1)与点(1，1)关于 y 轴对称
问题 3：通过观察这六个函数的图象，在第一象限 内，哪些是增函数，哪些是减函数？
提示：在第一象限内，y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x 是增函数，y＝x 1，y＝x 2 是减函数．
－ －
2
3
1 2
问题4：这几个函数在第四象限有图象吗？ 提示：没有．
幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x－1，y＝x－2 的性质：
α
[例 1] 已知函数 f(x)＝(m2－m－1)x
－ 5 m－3
， m 为何
值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函 数；④二次函数？
[思路点拨]
根据各相应函数的定义，列出系数、
指数满足的方程或不等式求解．
[精解详析 ] ①∵ f(x)是幂函数， 故 m2－ m－ 1＝ 1，即 m2－ m－ 2＝0， 解得 m＝ 2 或 m＝－1. ②若 f(x)是正比例函数，则－ 5m－3＝ 1， 4 解得 m＝－ ， 5 4 此时 m －m－1≠ 0，故 m＝－ . 5
理解教 材新知
知识点一
知识点二
第 3 章
3.3
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创 新演练
3．3
幂函数
考察以下几个函数
1 y＝x，y＝x ，y＝ ，y＝ x. x
2
问题1：这几个函数是指数函数吗？
提示：不是指数函数．
问题2：它们有什么共同特征？
提示：幂的底数是自变量，指数是常数．
问题3：你能举出一个这样的函数的实际例子吗？
1 y＝x3 y＝x 2 奇 非奇 非偶
y＝x－ 1
y＝x－ 2
奇
偶
x∈(－∞，0) x∈(0，＋∞) 增 增 减， 减， x∈(0，＋∞) x∈(－∞，0) 减 (1，1) 增
公共点
减 (0，0) ，(1，1)
1．幂函数 y＝x 的底数为自变量，指数是常数，而指 数函数正好相反，指数函数 y＝ ax 中，底数是常数，指数 是自变量． 2．幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线 x＝ 1 的右侧， 图象从上到下， 相应 的指数由大到小；在直线 x＝1 的左侧，图象从下到上，相 应的指数由大变小．

2 3
1 x
2
，
∴定义域为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，值域为 (0，＋∞)． 令 f(x)＝ 3 f(x)． ∴ y＝x 是偶函数．其图象如图所示． 由图可知，函数在 (－∞， 0)上是增函数，在 (0，＋∞)上 是减函数．
2 3
1 x2
， ∵f(－ x)＝ 3
1
（－x） 2
＝3
1 x2
＝
[一点通 ] 幂函数 y＝ x 的图象和性质由于 α 的值不同而 比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α 的正负：α>0 时，图象过 (0， 0)和(1， 1)，在第一象 限图象上升是增函数；α<0 时，图象过(1， 1)，不过 (0， 0)， 在第一象限图象下降是减函数，反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性： α>1 时，曲线下凸， 0<α <1 时，曲线上凸； α<0 时，曲线下凸．
提示：正方体的棱长为x，它的体积关于x的函数关 系式是V＝x3.
α 幂函数的概念：一般地，我们把形如 y＝x 的函数
称为幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数.
幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x－2 的图象如图所示．
2
3
－1
1 2
问题1：它们的图象都过同一个定点吗？ 提示：是的．都过定点(1，1)． 问题2：这六个函数的图象哪些关于原点对称，哪些关 于y轴对称？ 提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1关于原点对称，而y＝x2， y＝x－2关于y轴对称.