迎江区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

迎江区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移
个单位长度得到
2． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 3． 把函数y=sin （2x
﹣
）的图象向右平移
个单位得到的函数解析式为（ ）
A ．y=sin （2x
﹣） B ．y=sin （
2x+
）
C ．y=cos2x
D ．y=﹣sin2x
4．
如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=
±x B ．y=±3x C ．y=
±x D ．y=
±x
5． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ） A
．
B ．2
C
．
D
．
6． 设函数f （x ）在R 上的导函数为f ′（x ），且2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2
，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）
A ．f （x ）＞0
B ．f （x ）＜0
C ．f （x ）＞x
D ．f （x ）＜x
7． 定义集合运算：A*B={z|z=xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为
（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
8． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9． 有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
10．函数y=+
的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
11．函数1ln(1)y x
=-的定义域为（ ）
A ． (,0]-∞
B ．(0,1)
C ．(1,)+∞
D ．(,0)(1,)-∞+∞
12．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．1+
B ．1+
C ．1+
D ．1+π
二、填空题
13．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，
在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *
）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．
14．已知函数y=log
（x 2
﹣ax+a ）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则
圆的方程为 ．
16．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为 ．
17．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”
的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
三、解答题
19X
（I ）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ．
20．已知
，其中e 是自然常数，a ∈R
（Ⅰ）讨论a=1时，函数f （x ）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．
21．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.
（1）求总人数N 和分数在110-115分的人数； （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占
1
3
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，^^
a v u β=-.
22．已知函数f （x ）=|x ﹣10|+|x ﹣20|，且满足f （x ）＜10a+10（a ∈R ）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a 的取值集合A
（Ⅱ）若b ∈A ，a ≠b ，求证a a b b ＞a b b a
．
23．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
转速x （转/秒）
16
14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y （件） 11
9
8
5
（1）画出散点图； （2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围
内？
参考公式：线性回归方程系数公式开始=， =﹣x ．
24．（本小题满分10分）求经过点()1,2P 的直线，且使()()2,3,0,5A B -到它的距离相等的直线 方程.
迎江区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：对于A ，函数f ′（x ）=﹣3sin （2x ﹣）•2=﹣6sin （2x ﹣
），A 错误；
对于B ，当x=
时，f （
）=3cos （2×
﹣
）=﹣3取得最小值，
所以函数f （x ）的图象关于直线对称，B 正确；
对于C ，当x ∈（﹣
，
）时，2x ﹣
∈（﹣
，
），
函数f （x ）=3cos （2x ﹣）不是单调函数，C 错误；
对于D ，函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x ﹣
）=3co s （2x ﹣
）的图象，
这不是函数f （x ）的图象，D 错误． 故选：B ．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
2． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 3． 【答案】D
【解析】解：把函数y=sin （2x ﹣
）的图象向右平移
个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣）﹣]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ．
故选D ． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x 加与减，上下平移，y 的另
一侧加与减．
4． 【答案】D 【解析】解：设内切圆与AP 切于点M ，与AF 1切于点N ， |PF 1|=m ，|QF 1|=n ，
由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即有m ﹣（n ﹣1）=2a ，① 由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF 1|=|QF 1|=n ，|MP|=|PQ|=1， |MF 2|=|NF 1|=n ， 即有m ﹣1=n ，② 由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2
=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
6．【答案】A
【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，
令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．
如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，
但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A
故选A．
7．【答案】D
【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．
8．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1+1，a 3+2，a 5+3构成等比数列，
得：（a 3+2）2
=（a 1+1）（a 5+3）， 整理得：a 32
+4a 3+4=a 1a 5+3a 1+a 5+3
即（a 1+2d ）2
+4（a 1+2d ）+4=a 1（a 1+4d ）+4a 1+4d+3．
化简得：（2d+1）2
=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
9． 【答案】B
【解析】解：①由于“若a 2+b 2
=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x 2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q ≥0，解得q ≤1，因此“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B ．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x ≥﹣1或x ≠3， 故选：D ．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
11．【答案】B 【解析】∵
110x ->，∴10x x ->，∴10x x
-<，∴01x <<． 12．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体的下部是正方体，上部是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为1； 正方体的边长为1，
∴几何体的体积V=V 正方体+
=13+××π×12×1=1+
．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及图中数据所对应的几何量．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所
围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
14．【答案】a≤4．
【解析】解：令t=x2﹣ax+a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，
故有，解得a≤4，
故实数a的取值范围是a≤4，
故答案为：a≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．【答案】（x﹣1）2+（y+1）2=5．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，
根据垂径定理得：r 2﹣d 2
=
，
即r 2﹣（
）2
=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2
=5． 故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2
=5．
16．【答案】 60° ．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴
=3，
∴cos ＜＞=
=
∵
∴与的夹角为60°． 故答案为：60°
【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式．
17．【答案】必要而不充分 【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 18．【答案】 8π ．
【解析】解：由题意旋转体的体积V==
=8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x 2
与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy 轴转一周得到旋转体的体积．着重
考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P （A ）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10
且P （ξ=7）=0.04，
P （ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P （ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，
P （ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 ξ的期望为E ξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意
相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，因为f （x ）=x ﹣lnx ，f ′（x ）=1﹣， ∴当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减． 当1＜x ≤e 时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增．
所以函数f （x ）的极小值为f （1）=1．
（2）因为函数f （x ）的极小值为1，即函数f （x ）在（0，e]上的最小值为1．
又g ′（x ）=
，所以当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，此时g （x ）单调递增．
所以g （x ）的最大值为g （e ）=，
所以f （x ）min ﹣g （x ）max ＞，
所以在（1）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．
21．【答案】（1）60N =，6n =；（2）8
15
P =；（3）115. 【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21
600.35
N =
=， 分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A
A ，24(,)A A ，21(,)A
B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A B ，
31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为8
15
P =
. （3）1217178812
1001007
x --+-++=+
=；
6984416
1001007
y --+-+++=+=；
由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
^497
0.5994
b ==，^1000.510050a =-⨯=，
∴线性回归方程为0.550y x =+，
∴当130x =时，115y =.1
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 22．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x ﹣10|+|x ﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min ＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x ﹣10|+|x ﹣20|≥|（x ﹣10）﹣（x ﹣20）|=10， 即（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min =10， 所以，10＜10a+10，解得a ＞0，
所以，实数a 的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a ，b ∈（0，+∞）且a ≠b ，
∴不妨设a ＞b ＞0，则a ﹣b ＞0且＞1，
则
＞1恒成立，即
＞1，
所以，a a ﹣b ＞b a ﹣b
，
将该不等式两边同时乘以a b b b
得，
a a
b b ＞a b b a ，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．
23．【答案】
【解析】
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）利用所给的数据画出散点图；
（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a ，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
【解答】解：（1）画出散点图，如图所示：
（2）=12.5， =8.25，∴b=≈0.7286，
a=﹣0.8575
∴回归直线方程为：y=0.7286x ﹣0.8575；
（3）要使y ≤10，则0.728 6x ﹣0.8575≤10，x ≤14.901 9．故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．
【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．
24．【答案】420x y --=或1x =． 【解析】。