泰勒公式及其应用 毕业论文

泰勒公式及其应用
摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.
关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.
一．引言
近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式
()20000000()()
()
()()()()(),1!2!!
n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+
+-
称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有
0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即
()200000000()
()()()()()()()(()).2!
!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+
+-+-
称为泰勒公式.
我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数
极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.
二．预备知识
2.1泰勒公式的定义
定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有
'''200000()()
()()()()1!2!
f x f x f x f x x x x x =+-+-+
()00()()(),!
n n n f x x x r x n +-+ （1）
其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.
当0x =0时,（1）式变成)(!
)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n
n x o x n f x f x f f x f +++++= ,
称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则
''()'
2
0000000()()()()()()()...()()2!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）
这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()
()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称
（2）为f 在0x 的泰勒公式.
当0x =0时,（2）式变成''()'
2(0)(0)()(0)(0)...()2!!
n n
n f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θ .
)()!
12()1(!5!3sin 221
253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 246
22cos 1(1)()2!4!6!(2)!
n
n
n x x x x x o x n =-+-+
+-+.
23
1
1ln(1)(1)()231
n n
n x x x x x o x n +++=-+-
+-++.
)(111
2n n x o x x x x
+++++=- ， +-+
+=+2
!
2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得
00)(μ=x f .
2.2泰勒公式的意义
泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.
泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.
当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，
是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点
00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()
()()()()()2!
f x P x f x f x x x x x '''=+-+
-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型
泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项
(1)101
()()(1)!
n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.
佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当
0x x →时）
高阶的无穷小.如33
sin ()6
x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.
拉格朗日型余项
(1)101
()()(1)!
n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成
00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.
三．泰勒公式的应用
3.1 .利用泰勒公式求极限
简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.
例1. 求极限sin 2lim sin cos x x x
e x x
x x x →0-1--- .
分析 ： 此为0
0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x
e 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解： 由1sin 2x
x e x x ---=2333
31()())2626
x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+
=
3433
3()()6126
x x x o x o x ++=+, 323
3sin cos ()(1())62
x x x x x x o x x o x -=-+--+
=3
3()3
x o x + 于是
1sin 2lim sin cos x
x x e x x x x x →0----3333
()
162()
3
x o x x o x +==+，
3. 2 利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助
函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例1. 当0x ≥时,证明31
sin 6x x x ≥-.
证明 取31
()sin 6
f x x x x =-+,00x =,则
'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥
带入泰勒公式,其中n =3,得
3
1cos ()0003!
x f x x θ-=+++
，其中10<<θ. 故
当0x ≥时,31
sin 6
x x x ≥-.
例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01
lim ()1x f x ≤≤=-，试求存
在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.
证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又
21111()
()()()()()2!
f f x f x f x x x x x η'''=+-+
- 21()
1()2!
f x x η''=-+
-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有
211()
0(0)1(0)2
f f x ξ''==-+
-， 所以
21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，
当1112x <≤
时，2128x -≥，而当11
12
x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.
3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积
()a f x dx +∞
⎰敛散性时, 通常选取广义积分1
(0)p a dx p x +∞
>⎰
进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1
p
a dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()a
f x dx +∞
⎰
的敛散性
（注意到：如果()a
f x dx +∞
⎰得收敛，
则()a
f x dx +∞
⎰得收敛）
. 例 1. 研究广义积分4
(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)
(1)1()2!
x x x o x αααα-+=++
+
()332f x x x x =
++--
11
2233
(1)(1)2x x x
=++--
22223191131911
(1())(1())22828x o o x x x x x x
=+⋅-⋅++-⋅-⋅+-
3/23/2911
()4o x x
=-⋅+ ，
因此，3/2
()9lim
14
x f x x →+∞
=，即()0f x →是1()x x →+∞的3
2阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4
()f x dx +∞
⎰
收敛，从而4
(332)x x x dx +∞
++--⎰.
例2． 讨论级数1
11(
ln )n n n n
∞
=+-∑的敛散性.
注意到11
ln
ln(1)n n n
+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与
1
n
相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为
234111111
1
ln
ln(1)234n n n n n n n
n
+=+=-+-+<, 所以
11
ln
1n n
<
+, 所以
11ln 0n n u n n
+=
->，
故该级数是正项级数. 又因为
332332322
111111111111
ln
()()23422n o n n n n n n n n n n
n n +=-++>-+=-=-, 所以
3322
111111
ln ()22n n u n n n n
n n +=
-<--=.
因为31
2
12n n
∞
=∑
收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.
3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点
例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在
(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在
[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，
12
02
x x =
+记x 由定理条件得泰勒公式： 2
000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´
´´
-=+-++!
，
22102012001002000()()()()()()()()()()()
22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´
´
´´
´´
--+=2+-+-++!!
221020())())o x x o x x +(-+(-
212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，
2
02000()()())()2x x f x o x x f x ´´
´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。

!
12
0010020()()()()02
x x f x x x f x x x ´´=
+又因x ，所以-+-=， 可得 2210202212000020()()()()()()()(1))())22x x x x f x f x f x f x f x o x x o x x ´´
´´
--+-2=++(-+(->0
!!
所以 120()()()0f x f x f x +-2> 可得 120()()
()2
f x f x f x +<
由12x x ，任意性可得()f x 在足够小的区间[c,d]上是凹向的再有c ，d 的任意性得
()f x 在[a,b]内任意小的区间内都是凹向的，所以()f x 在区间[a,b]是凹向的.
利用泰勒公式对极值的判定可相似的推出函数拐点的判定 即: 若()f x 在某个0(,)U x δ内n 阶可导，且满足
(1)000()()()0n f x f x f x -'''==
==，且0()0(2)n f x n ≠>
若（1）n 为奇数，则00(,())x f x 为拐点； （2）n 为偶数，则00(,())x f x 不是拐点. 证明：写出()f x ''在0x 处的泰勒公式
22000000()()()()()()/(2)!(())n n n f x f x f x x x f x x x n o x x --'''''==-++--+-, 因为 (1)000()()()0n f x f x f x -'''==
==,
则22000()()()/(2)!(())n n n f x f x x x n o x x --''=--+-，同样余项是20()n x x --的高阶无穷小.
所以()f x ''的符号在0x 的δ心领域内与200()()/(2)!n n f x x x n ---相同.
当n 为奇数时，显然在0x 的两边，200()()/(2)!n n f x x x n ---符号相异，即()f x ''的符号相异，所以00(,())x f x 为拐点.
当n 为偶数时，则()f x ''的符号相同，所以00(,())x f x 不是拐点.
例2 ,4判断（0）是否是 cos x x x e e x -ƒ()=++2 的拐点？
解：
()2sin x x x e e x ´-ƒ=+- ，(0)´ƒ0=，
'()2cos x x x e e x ´-ƒ=+-，(0)0´´ƒ=，
()2s i n x x x e e x ´´´-ƒ=+- ，(0)´´´
ƒ=0，
(4)()2sin x x x e e x -ƒ=+- ，(4)(0)ƒ=4≠0，
因为n =4， 所以,4（0）不是cos x x
x e e
x -ƒ()=++2的拐点.
3.5． 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式可以求得.
例1． 求函数()n x f x e =的幂级数展开式.
解 ：由于(),(0)1,(1,2,3)n x n f x e f n ===,所以()f x 的拉格朗日余项为
1(),(01)(1)!
x n n e r x x n θ
θ+=<<+， 显见 1()(1)!
x n n e r x x n +≤+, 它对任何实数x ，都有 1lim 0(1)x n x e x n ||
+→∞||=+!
, 因而lim ()0n x r x →∞
=，所以有 111,(,)2!1x n e x x x x n =+++++∈-∞+∞.
3.6 1）.利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
'''
2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈+ + + + , 其误差是余项()n r x .
例 1. 计算lg11的值,准确到5-10 .
解: 111lg11lg(101)1lg(1)1ln(1)10lg1010
=+=++=++ , 因为 23
111
ln(1)(1)(1),23
(1)(1)n n n n x x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++ 10,1x θ>>>-, 要使
(1)
1(1)10(1)(1)ln1010n n n n θ-++-++1
51010,2(1)
n n -+-<<+
⇒ 5(1)42(1)1010n n n -+-+>=
取4n =，故
11111lg111() 1.04139ln1010200300040000
≈+-++≈. 例2 . 估计下列近似公式的绝对误差：
2
11,[0,1]28
x x x x +≈+-∈ 解：2
11(23)!!(21)!!11(1)(1)28
2(1)!2!n n n n x x n n x x n n -+--+≈+-++-+-+ 1
12(1),10,n n x x θθ--++>>
当2n =时， 5532223311()(1)(1)161623!
r x x x θθ-=+≤+≤⋅. 2）.泰勒公式在外推上的应用
外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.
若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成
231123()a h a c h c h c h =+++
+
（*） （这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2
h a 就是 231123111()2248
h a a c h c h c h =++++ (**) 1()a h 和1()2
h a 与准确值a 的误差都是()o h 阶的. 现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到
11232232()()2()21h a a h a h a d h d h -==+++
-
也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.
若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，
22343344()()2()41h a a h a h a e h e h -==+++-，
得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到
11112()()2()()21
k k k k k k h a a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.
例 1. 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为
1()sin(2)2S h h h
π=， 这里1h n
=,按照泰勒公式 35
1(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦
246123c h c h c h π=+++
+
因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为 35
1()()()23!5!
h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ 24612314
c h c h c h π=++++，
用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的. 现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：
4()()()()22
()()4123
h h S S h S S h h S h S
--==+-, 那么通过简单的计算就可以知道
4623()S h d h d h π=+++
2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.
3.7. 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值
如果()f x 泰勒公式已知,其通项中的加项0()n x x -的系数正是
)(!10)(x f n n ,从
而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.
例 1. 设2()ln(1),f x x x =+ 求()(0),(3).n f n ≥
由ln(1)x +得泰勒公式：23
ln(1)23x x x x +=-++…1()n n n x o x n
-+(-1)+ 可得 23
2
()23x x f x x x =[-++…1()]n n n x o x n -+(-1)+， (0)x → 4
3
2x x =-+…1()-2n n n x o x n -+(-1)+， (0)x → 所以 ()(0)2
n n f n -3
(-1)=n!- 3.8. 利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作()f x ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 1. 求n 阶行列式 D=x
z z z y x z z y
y x z y
y y x
（1）
解： 记()n f x D =,按泰勒公式在z 处展开：
'''()2()()()()()()()()1!2!1
n n n n n n f z f x z f x z f x f z x z x z x
z n --=
+-+-++- （2） 易知
00000000
0000z y
z y
D z y z y --=-- =1()k z z y -- （3）
由（3）得, 1()(),1,2,3
k k f z z z y k n -=-=时都成立.
根据行列式求导的规则,有
''''112211()(),()(1)(),
()2(),()1n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x ---==-==. 于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为
''21()()
()()n n n x z n f z f z nf z nz z y -=-===-, '''''31()()()(1)()n n n x z n f z f z nf z n n z z y -=-===--，
… … … …
111()(1)2()(1)
2n n n n x z f x f n n f z n n z --===-=-， ()()(1)
2n n f z n n =-， 把以上各导数代入（2）式中,有
1232(1)()()()()()(3)1!2!
n n n n n n n f x z z y z z y x z z z y x ----=-+--+--+1(1)2(1)21()()(1)!2!
n n n n n n z x z x z n ---⋅+-+--， 若z y =, 有1()()[(1)]n n f x x y x n y -=-+-；
若z y ≠, 有()()()n n
n z x y y x z f x z y
---=-. 3.9 利用泰勒公式证明与某阶导数的中间值
例1.设函数()f x 在闭区间[]1,1-上具有三阶连续函数，
'(1)0,(1)1,(00)f f f -===，证明在区间(1,1)-内至少存在一点ξ使(3)()3f ξ=. 证明：分别把(1),(1)f f -在0x =展开成泰勒公式，由题设得： '''(3)11110(1)(0)(0)(0)(),0126
f f f f f ξξ=-=-+->>-, ''(3)22111(1)(0)(0)(),1026
f f f f ξξ==++>>, 两式相减消去其中未知的ƒ(0)，´´ƒ(0)得
(3)(3)(3)(3)1212111[()()][()()]362
f f f f ξξξξ=+⇔+=, 若
(3)(3)12()()f f ξξ=则得证，否则，12[(3)(3)12()()f f ξξ+]界于(3)(3)12()()f f ξξ与之间，由连续函数的中值定理知，对任意的
(3)123ξξξ∈=（，），f .
3.10 . 利用泰勒公式解经济学问题
我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题， 例1. 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=3(13)+，假设产品的价格为66元， 求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？
解： （1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC ，
成本函数为STC=3(13)+，令()f x =3(13)+由泰勒公式我们知道，
2(1)(1)12!
m m m x mx x -+=++…… 所以
所以 STC=23133x x x +=+ 又因为 P=MC ，即27=2363x x ++，
所以4,1x x ==.
因为 '''2000001(1)()()(1)()(1)2
f f x f x x f x x =+-+- , （1） '''2000001(0)()()()()()2
f f x f x x f x x =+-+- , （2） 所以 2222
646300,616120d TC d TC dx dx =⨯+=>=⨯+=>, 故 4,1x x ==是利润最大或者最小的产量.
利润 33(1)274(14)17TR TC PQ x π=-=-+=⨯-+=- ，
3271(11)19TR TC π=-=⨯-+=.
可见， 当 价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19；
当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17.
3.11. 泰勒公式关于界的估计
我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的
有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.
例1． 设()f x 在[0,1]上有二阶导数，01x ≤≤时()1f x ≤，()2f x ''<.试证：当01x ≤≤时，()3f x '≤.
证： 21(1)()()(1)()(1)2f f x f x x f x ξ'''=+-+
-, 21(0)()()()()()2
f f x f x x f x η'''=+-+-, 所以
2211(1)(0)()()(1)()22
f f f x f x f x ξη'''''-=+
--, 2211()(1)(0)()(1)()22f x f f f x f x ξη'''''≤++-+ 222(1)213x x ≤+-+≤+= .
3.12．泰勒公式展开的唯一性问题
泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当00x =时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性. 例1.设()f x 是连续的n 阶导数，()f x 在0x x =处有展开式：
2010200()()()()()n n n f x a a x x a x x a x x R x =+-+-+
+-+ , （1） 且余项()n R x 满足 00
()lim 0()n n
x x R x x x →=- , （2） 则必有 ()0()(1,2,,)!
k k f x a k n k == , （3） 其中 (0)()()f x f x ≡.
证： 根据泰勒公式，()f x 在0x x =处可以展开成 ()0000()()()(())!
i n i n i f x f x x x o x x i ==-+-∑ , （4） 让（1）式与（4）式联立可得
()00
0000()()()()(())!
i n n i i n i n i i f x a x x R x x x o x x i ==-+=-+-∑∑, 此式令0x x →取极限，得00()a f x =.两边消去首项，再同时除以0()x x -，然后令0x x →取极限，又得10()a f x '=.继续这样下去则顺次可得式（3）.
注1 该例具有重要理论意义，它表明：不论用何种途径、何种方式得到形如（1）
式的展开式，只要余项满足条件（2）式，则此展开式的系数必是唯一确定的，它们是（3）式给出的泰勒系数.
注2 该结论00x =的情况自然也成立.由此可知，对于任何多项式
01()n n P x a a x a x =+++而言，必有
()0()(0,1,2,,)!
k k P x a k n k ==且(0)()()P x P x ≡.
四．结束语
泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，也是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本论文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及其拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题等这几个领域的应用做详细的介绍,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识,最后说一点：只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧. .
参考文献
[1]陈纪修於崇华金路：《数学分析》[M]（上、下）北京：高等教育出版社,2004.5.
[2]张自兰崔福荫：《高等数学证题方法》[M]陕西：陕西科学出版社,1985.
[3]王向东：《数学分析的概念和方法》[M]上海：上海科学技术出版社,1989.
[4]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：人民教育出版社,1999.
[5]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社,2000.
[6]华东师范大学数学系,数学分析（第二版）[M]高等教育出版社,1911.
[7]中文版Visual Foxpro3.0编程指南[M]西安：西安交通大学出版社,1997
[8] 严振祥；沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2007（8）：4-26.
[9]裴礼文《数学分析典型问题与方法》[M] 高等教育出版社,1993.5.。