1.1预备知识排列及其逆序数

§1 预备知识 排列及其逆序数
为了给出n 阶行列式的定义,我们先介绍关于排列及逆序数、对换的有关知识.
定义1.1 把n 各不同的元素排成一列,称为这n 个元素的一个n 级全排列(简称为排列). 本教材讨论n 个自然数1,2,…,n 所构成的n 级排列.其一般形式为,其中为数1,2,…,n 中的某一数,且互不相等. 例如,312是一个3级排列,123…(n-1)n 是一个n 级排列.
n i i i "21n i i i ,,,21"由n 个不同元素所组成的所有不同的n 级排列共有!n P n =个,我们可以规定其中一个排列为标准次序.在由n 个自然数1,2,…,n 组成的一个n 级排列中, 我们约定数字由小到大的次序为标准次序.例如,3级排列共有以下6个不同的排列:123,231,312,132,213,321,其中123是3级标准排列.
定义1.2 在一个排列中,若某两个元素的先后次序与标准次序不同,则称这两个元素构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.n 级排列的逆序数,记作n i i i "21()n i i i "21τ.
下面寻找计算排列逆序数的方法.
先看一个例子,在4级排列4132中,构成逆序的数对有
41;
43;
42,32;
因而4132的逆序数为
1(1前面比1大的数的个数)
+1(3前面比3大的数的个数)
+2(2前面比2大的数的个数)
=4
是一个偶排列.
一般地,n 级排列中,(t=2,3,…,n)前面比它大的数的个数称为的逆序数,则按定义n 级排列的逆序数
n i i i "21t i t i n i i i "21 ()2221(i i i i n ττ="的逆序数)
+33(i τ的逆序数)
+…
+n n i (τ的逆序数)
例1 求下列排列的逆序数:
(1) 35412 (2) 24...(2n) (3) n(n-1) (21)
解 (1) τ(35412)=1+3+3=7
(2) τ(24…(2n))=0 标准次序的排列是偶排列
(3) τ( n(n-1)…21)=1+2+…(n-1)=2
)1-n (n 定义1.3 将一个排列中某两个元素的位置互换,而其余的元素不动,就得到另一个排列,这样的变换称为对换.将相邻两个元素对换称为相邻对换.
例如,偶排列4132经过4与3的对换后,就得到排列3142,是一个奇排列.这说明对换会改变排列的奇偶性.一般地,有下述结论
定理1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
证明 先证相邻对换的情形. 设排列
(1.1) m l b abb a a ""11经过a 与b 对换后变成排列
m l b bab a a ""11 (1.2)
易知这些元素的逆序数经过对换没有改变,而a,b 两元素的逆序数改变为:若排列(1.1)中a 与b 不构成逆序,则在(1.2)中,a 的逆序数增加1而b 的逆序数不变; 若排列(1.1)中a 与b 构成逆序,则在(1.2)中,a 的逆序数不变而b 的逆序数增加1.因此排列(1.1)与排列(1.2)的奇偶性不同.
m l b b a a "",;,,11再证明一般对换的情形.设排列
(1.3) m n l b bb c ac a a """111经过a 与b 对换后变成排列
(1.4) m n l b ab c bc a a """111这个对换可经一系列相邻对换来实现.首先,将排列(1.3)作n 次相邻对换,变成排列,再作n+1次相邻对换,变成排列(1.4).因此,排列(1.3)变成排列(1.4), 可经2n+1次相邻对换来实现,由上段证明知,排列改变了奇偶性.
m n l b abb c c a a """111。