2.1.3 分层抽样 - 解析

2．1. 3分层抽样
【教学目标】
知识目标：理解分层抽样的概念．掌握分层抽样的使用条件和操作步骤，
能力目标：会用分层抽样法进行抽样．
思想目标：培养抽象、分析、运算的数学学科素养
【教学过程】
一.自主学习知识检测
1．分层抽样的概念
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)更充分地反映了总体的情况，使样本具有较强的代表性．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N.
1．分层抽样中分层原则
(1)层内样本的差异要小，各层之间样本的差异要大．
(2)分层后总体中的每个个体互不重叠，也不遗漏．
2．抽样比
(1)分层抽样也称“按比例抽样”，这里的“按比例”是指：
①样本中第n层的个体数
总体中第n层的个体数
＝
样本容量
总体容量
；
②总体中第m层的个体数
总体中第n层的个体数
＝
样本中第m层的个体数
样本中第n层的个体数
.(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可
能性是相等的，与层数、分层情况无关．
二.名师引路
例1.下列三个抽样：①一个城市有250家百货商店，其中大型商店有30家，中型商店有40家，小型商店有180家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为25的样本；②在某班的50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的10名学生进行作业检查；③某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱10件)产品中抽取3件进行质量检查．抽样方法依次为()
A．简单随机抽样；分层抽样；系统抽样
B．分层抽样；简单随机抽样；系统抽样
C．分层抽样；系统抽样；简单随机抽样
D．系统抽样；分层抽样；简单随机抽样
【解析】①中商店的规模不同，所以应利用分层抽样；②中抽出的学号具有等距性，所以应是系统抽样；③中总体没有差异，容量较小，样本数量也较小，所以应为简单随机抽样，故选C.
【答案】 C
判断一个抽样方法是不是分层抽样的条件
(1)看它是否具有分层抽样的特点，如总体中个体差异是否明显．
(2)是否按照相同比例从各层中抽取．至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可采用简单随机抽样，也可采用系统抽样．
(3)在分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会都是相等的，体现了抽样的公平性．
例2. (1)某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．
(2)某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的3
5，为了了解学生
对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
【解析】 (1)设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×32
160
＝18.
(2)法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的3
5，
故“剪纸”社团的人数占总人数的2
5，
所以“剪纸”社团的人数为800×2
5
＝320；
因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝3
10，
所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×3
10＝96.
由题意知，抽样比为50800＝1
16
，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×1
16＝6.
法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的3
5，
故“剪纸”社团的人数占总人数的2
5
，
所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×2
5
＝20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为
y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝3
10
，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×3
10＝6.
【答案】 (1)18 (2)6
分层抽样中有关计算的方法
(1)抽样比＝样本容量n 总体容量N ＝该层抽取的个体数
该层的个体数
；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．
例3.为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．
根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？
【解】 (1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．
选择抽样方法的思路
(1)判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样或系统抽样；
(2)判断总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用系统抽样．
三．课后练习
1．某商场出售三种品牌电脑，现库存量分别是60台、36台和24台，用分层抽样的方法从中抽取10台进行检测，则这三种品牌的电脑依次应抽取的台数是() A．6，3，1 B．5，3，2
C．5，4，1 D．4，3，3
解析：选B.抽样比为10
60＋36＋24＝
1
12，则三种品牌的电脑依次应抽取的台数是60×
1
12＝
5，36×1
12＝3，24×1
12＝2.故选B.
2．采用分层抽样的方法从某学校三个年级的全体学生中抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生为()
A．1 350人B．675人
C．900人D．450人
解析：选C.高二年级被抽取的人数为45－20－10＝15，则抽样比为15∶300＝1∶20，
所以45÷1
20＝900，即这个学校共有高中学生900人．
3．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为()
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选C.据分层抽样，得抽取的女生人数为
9
36＋18
×18＝3，选C.
4．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为() A．100 B．150
C．200 D．250
解析：选A.抽样比为
70
3 500＝
1
50，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则
n
5 000＝
1
50，故
n＝100.
5．最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考
现从500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数分别为________．
解析：由题意知，抽样比为50
500＝1
10，
则应抽取“不赞成改革”的教师人数为1
10×20＝2，学生人数为1
10×40＝4.
答案：2，4
6．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10
号，…，196～200号)．
(1)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是多少？
(2)若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取多少名？
解：(1)由分组可知，分段的间隔为5.又第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
(2)由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100.若用分层抽样法，则应从
40岁以下年龄段的职工中抽取40
200×100＝20(名)．
四．课堂小结:1.分层抽样的概念、特征及步骤；2.掌握分层抽样的有关计算；3.能区分三种抽样方法。