宣武区(文)评分细则

北京市宣武区2009~2010学年度第二学期第一次质量检测
高三数学（文）参考答案及评分标准 2010.4
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的）
三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
解：（Ⅰ）()x f x x cos sin -=（一个公式1分） ……………………2分
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π-=4sin 2x （角、模各1分） ……………………4分
最小正周期为2π， ……………………5分 由24π+π=π-k x ，得()Z k k x ∈π
+
π=4
3. （标注1分） ……………………7分
（Ⅱ）当()0=x f 时解得2
1
tan =
x ……………………9分 x x 2sin 12cos +=2
22)sin (cos sin cos x x x
x +- ……………………10分
x x x
x sin cos sin cos +-=
……………………11分
=x x tan 1tan 1+- ……………………12分 3
1
=……………………13分
（其他解法参考本标准相应给分） 1.由2
1
tan =
x 求x x cos ,sin ，进而求x x 2sin ,2cos 的， 因为x 没有限定，应分象限考虑；否则扣一半分. 2.由02cos 2sin 2cos 2sin
222=-+x x x x a 解出2
tan x
的，应有两个值； 再用二倍角求解2
1
tan =x 时又统一回来。

此两种方法均不提倡。

16.（本题满分13分）
证明：解（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，ABCD 平面⊂BC
∴BC PA ⊥ ……………………1分
∵o
90=∠ABC , ∴⊥BC AB ， ……………………2分
∵A AB PA =⋂ （没有扣1分）
∴PAB BC 平面⊥ ……………………4分 ∵E 为AB 中点,∴PAB 平面⊂PE . ……………………5分 ∴PE BC ⊥. ……………………6分 （Ⅱ）证明：取CD 中点G ，连结FG ，EG ，
∵F 为PC 中点,∴PD FG // ……………………8分 ∵PAD FG 平面⊄,PAD PD 平面⊂ （少一个扣1分）
∴PAD FG 平面//； ……………………10分 同理，PAD EG 平面// ……………………11分
∵FG ⋂EG G =, （没有扣1分）
PAD EFG 平面平面// ……………………12分
∴PAD EF 平面//. ……………………13分 17．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）完成被调查人数表格
(6个数共5分，错一个扣1分) ……………………5分
（Ⅱ）10563421055
312662=+=⨯+⨯. （不设步骤分） ……………………8分
（Ⅲ）设同意的两名学生编号为1，2，不同意的分别编号为3，4，5，6，……………………9分 抽出两人则有
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； ……………………10分 其中满足题意的有
（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）8种………………12分 则恰有一人同意一人不同意的概率为15
8. ……………………13分
18．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）∵)1(2)(22'-+-=a ax x x f ……………………1分 ∵ x=1为)(x f 的极值点，∴0)1('=f ，即022
=-a a ， ……………………2分 ∴ 20或=a . ……………………4分 (II) ∵（)1(,1f ）是切点，∴03)1(1=-+f ∴2)1(=f ……………………5分
即03
8
2
=-
+-b a a ∵切线方程03=-+y x 的斜率为1-，
∴1)1('-=f ，即0122
=+-a a ， ∴3
8
,1=
=b a ……………………7分 ∵3
831)(23+-=
x x x f ∴x x x f 2)('2
-=，可知0=x 和2=x 是)(x f y =的两个极值点. ……………………8分
∵8)4(,4)2(,3
4
)2(,38)0(=-=-==
f f f f ……………………9分 ∴)(x f y =在区间]4,2[-上的最大值为8． ……………………10分 （Ⅲ）因为函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，所以函数)(x f '在)1,1(-上存在零点.
而0)('=x f 的两根为1,1+-a a ，区间长为2，
∴在区间)1,1(-上不可能有2个零点. ……………………11分 所以0)1()1(<'-'f f 即：0)2)(2(2<-+a a a ……………………12分 ∵02
>a ， ∴0)2)(2(<-+a a ，22<<-a
又∵0≠a ， ∴)2,0()0,2(+⋃-∈a . ……………………13分
19．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b
y a x ，
∵左顶点A （)0,32-，CO AC ⊥，CO AC =．
∴122
=a ，C （3,3-），（第三象限的点相同，可以不考虑） ……………………2分
又∵C 在椭圆上，∴
13
1232=+b
，∴42=b ， ……………………4分 ∴椭圆的标准方程为
14
122
2=+y x . ……………………5分 （Ⅱ）设M （),11y x ，N （),22y x ， 若CO 的斜率为1-，
则设直线l 的方程为m x y +-=，代入
14
122
2=+y x 得 0123642
2
=-+-m mx x ， ……………………6分
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=
⋅=+>-⋅-=∆4123230)123(44362212122m x x m x x m m ……………………7分
∴|MN|=212
214)(2x x x x -+=4
31222
m -， ……………………8分
又C 到直线l 的距离d=
2
33m
-+-2
m =
， ……………………9分
∴CMN ∆的面积S =
d MN ⋅⋅21=)16(4
3
22m m -⋅ ……………………10分
222)2
16(43m m -+⋅≤=23， ……………………11分 当且仅当2
2
16m m -=时取等号，此时m=22±满足题中条件，……………………12分 ∴直线l 的方程为022=±+y x ． ……………………13分 当点C 在第三象限时，由对称可知：直线l 的方程为022=±-y x ……………………14分 20．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵点),(1+n n S S 在直线11
+++=
n x n
n y （*N n ∈）上， 11
1+++=
+n S n
n S n n ， ……………………1分 同除以1+n ，则有：
111=-++n
S n S n
n ∴数列{
n
S n
}是以3为首项，1为公差的等差数列. ……………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n S =n n 22
+（*N n ∈），∴当n=1时，1a =3，
当2≥n 时,1--=n n n S S a =12+n ，经检验，当n=1时也成立，
∴12+=n a n （*N n ∈）． (不分段扣1分) ……………………5分 ∵n a
n n a b 2=， ∴122)12(+⋅+=n n n b ，
n T =1212532)12(2)12(2523+-⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅n n n n
()()()3212125212212232234++-++-+-+⋅⋅⋅+⋅=
n n n n n n n T ………………6分
解得：n T =9
82
)9
13
2
(3
2-⋅++n n ．（不设步骤分） ……………………9分 （Ⅲ）∵322+=
n n n T C =
n
n )4
1(919132⋅-+ ……………………10分 ∴n n n n n n n n C C C )41(2712719434
11]
)41(1[4191912)1(32221+-+=--⋅-⋅++⋅=+⋅⋅⋅++……11分
27
1
9432-+>n n ……………………12分 27
2027197=-≥
……………………14分。