高中数学破题致胜微方法(函数的单调性):已知函数在某区间上单调求参数范围

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我们学习过用导数讨论函数的单调性,今天我们继续用导数的方法研究含参函数的单
调性,并求得参数的取值范围。

先看例题:
例:已知函数2
()21f x ax x -=-在区间[1,2]上是单调函数,求实数a 的取值范围.
注意:用导数的方法讨论,可以避免分类讨论a 是否为0的情况。

规律整理:
可导函数f (x )在某区间上单调
(1)可以转化为0(0)f x f x '≥'≥(
)()在给定区间上恒成立; (2)给定的区间是原函数单调递增区间(或递减区间)的子区间,利用集合间关系求解
练:已知函数f (x )=(x 2+ax -2a 2+3a )e x
(x ∈R ),其中a ∈R . 当2
3
a ≠时,若函数f (x )在区间(- 1 ,1)上是增函数,求a 的取值范围. 解:
先对函数求导得:()()22[224]x f x x a x a a e '=+++- 令()0,2,2f x x a x a '===-解得-或 又因为2
2 2.3
a a a ≠
≠,--所以两根不相等,即()0f x '=有两个不等的实根. 进而按a 的大小,分类讨论:
()2
1,2 2.a a a >
<若则--
所以f (x )在(,2),(2,)a a ∞+∞---内是增函数,在(2,2)a a --内是减函数. 因为函数在(- 1 ,1)上是增函数,所以有2121a a -≥-≤-或 解得:213
a ≥>
()2
2,2 2.3
a a a <
>若则--
所以f (x )在(,2),(2,)a a ∞--+∞-内是增函数,在(2,2)a a --内是减函数. 因为函数在(- 1 ,1)上是增函数,所以有2121a a -≥-≤-或
解得:
12.23
a ≤< 综上所述,a 的取值范围为12
2[,)(,1]23
3
a ∈ 总结:
1.可导函数中,讨论原函数的单调性等价于讨论导函数的正负,在涉及参数时,要结合二者,利用方程或不等式,求得参数的值或取值范围。

2.要善于利用示意图,帮助我们找到所求区间之间的关系,进而求解。

练习:
1. 若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C. [2,+∞) D. [1,+∞)
2. 设()kx
f x xe =(k ≠0).
(Ⅰ)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f (x )的单调区间;
(Ⅲ)若函数f (x )在区间(-1,1)内单调递增,求k 的取值范围.。

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