均值不等式知识梳理

一、知识概述
第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。

最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.
二、重难点知识选讲
1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系
不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，
（1）＞b －b＞0；
（2）=b－b=0；
（3）＜b －b＜0.
等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.
本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.
用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.
例1、已知，b∈R+ ,求证：n＋b n≥n-1b＋b n-1．（n N）
分析：
比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。

证明：n＋b n－(n-1b＋b n-1)
=(n-1－b n-1)－b(n-1－b n-1)
=(－b)( n-1－b n-1)
若＞b
若=b(－b)( n-1－b n-1)=0.
若＜b
综上,≥O,即n＋b n－(n-1b＋b n-1)≥O
∴n＋b n≥n-1b＋b n-1．
小结：
比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.
2、不等式的性质、推论及证明
不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

（1）＞b b＜；（反身性）
（2）＞b，b＞c＞c；（传递性）
（3）＞b＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.
（4）；（两边同乘正数号不变）；
（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.
（6）；（同向相加）
（7）；（异向相减）
（8）；（同向相乘）
（9）；（异向相除）
（10）＞b（倒数关系）
（11）＞b＞0n＞b n（n N+）；（不等式的幂）
（12）＞b＞0（n N+）；（不等式的方根）
例2、已知f(x)=px2－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
分析：
本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.
解答：依题意，有
点评：
（1）这种类型题目常见的错误是：
由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，
从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.
p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.
（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.
例3、（1）已知30<x<42，16<y<24，求的取值范围.
（2）已知a，b，x，y都是正数，且，求证：
分析：（1）同向不等式不能相除，应先求出的取值范围.
（2）注意运用取倒法则，优化解题过程.
解：
（1）
（2）．
小结：
不等式的性质中讲了加法和乘法运算，对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算，千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.
3、算术平均数与几何平均数
若a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平均数，几何平均数，平方平均数，
调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值．
基本不等式有：
①，；②，；
③，；④，；
⑤，；
⑥，.
例4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证：
分析：
在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.
证明：
（1）∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R＋.
（2）∵ a，b，c∈R＋且a＋b＋c=1.
（3）∵ a，b，c∈R＋且a＋b＋c=1.
小结：
以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1 的因式（a＋b＋c）2以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.
利用基本不等式求最值：
①当时，不等式成立；
②当且仅当时，不等式中，“等号”成立；
③若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最小值；
④若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值
；
注：以上简称“和小积大”；有否最值的关键为是否有定值，且当时，能否求出解来.
例5、已知a，b为正数，且，求的最大值以及达到最大值时a，b的值.
分析：
分析条件与结论之间的关系是非常重要的解题步骤.
本题条件，结论的最大值，所以必须把结论中a进入根号内，即
是用条件的第一步，而条件中的的b2系数为，还得继续变换结论解析式的形式，即：
，
再用均值不等式就完成了这一转化过程.
解答：∵a，b为正数.
当时，即时取等号.
∴当时，的最大值为
点评：在求解过程中，不要急于运用均值不等式，使解答陷入僵局．
例6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
分析：
先由面积列出a，b的方程，由题意将问题转化为使ab取最大值时a、b的值.
解法一：
依题意，即所求的a，b值使ab最大.
由题设知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）
即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）
当且仅当a=2b时，上式取等号.
由a>0，b>0，解得0<ab≤18.
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.
∴ 2b2=18，解得b=3，a=6.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二：
设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.
根据题设，有4b＋2ab＋2a=60 （a>0，b>0），
这时a=6，a=－10（舍去）.
将a=6，代入①式得 b=3.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
小结：应用均值不等式解决实际问题时，应注意：
（1）先理想题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案.。