电介质

r>R
上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时， 上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时， 有：
∵ D＝ ε 0 ε r E ∵ D＝ ε 0 E 0
∴ E＝E0 / ε r
+σ 0 –σ 0
例二：平行板电容器充电后，极板 例二：平行板电容器充电后， 上面电荷密度 σ0 = 1.77×106 C/ m ， 将两板与电源断电以后， 将两板与电源断电以后，再插入 的电介质, ε r = 8的电介质,计算空隙中和 电介质中的 E、D、P 因断电后插入介质， 因断电后插入介质，所以极板 上电荷面密度不变。 上电荷面密度不变。
P σ ' E' E
§2
电位移矢量、有电介质时的高斯定律： 电位移矢量、有电介质时的高斯定律：
根据介质极化和 真空中高斯定律
∫∫ E dS = ε ∑ (q ∫∫ P dS = ∑ q 自由电荷
S 0 S
' S S
1
0
+q )
'
束缚电荷
∫∫ E dS = ε ∑ q
S 0 S
1
0
1
ε0
2、极化（束缚）电荷与极化强度的关系： 极化（束缚）电荷与极化强度的关系：
可证明对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表面。 可证明对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表面。 电介质产生的一切宏观效果都是通过未抵消的束缚电荷 来体现。 来体现。下面讲束缚电荷分布与极化强度的关系 在介质中引入极化强度力线 来描述它在外场中的极化。 来描述它在外场中的极化。
§1 电介质的极化
一、电介质： 电介质： 1. 电介质－是由大量电中性的分子组成的绝缘体。 电介质－是由大量电中性的分子组成的绝缘体。 紧束缚的正负电荷在外场中要发生变化。 紧束缚的正负电荷在外场中要发生变化。 电介质的分类： 2. 电介质的分类： ①无极分子 在无外场作用下整个分子无电矩 无电矩。 在无外场作用下整个分子无电矩。 例如， 例如，CO2 H2 N2 O2 石蜡 ②有极分子 在无外场作用下存在固有电矩 在无外场作用下存在固有电矩 例如 CO SO2 有机玻璃 因无序排列对外不呈现电性。 因无序排列对外不呈现电性。
E0
E0
二、电极化强度 在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计平均值， 在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计平均值， 为了描述电介质在外场中的行为引入一个物理量： 为了描述电介质在外场中的行为引入一个物理量：
1、电极化强度矢量
P = lim
V
∑p
i
ei
V
是第i 其中 pei 是第i个分子的电偶极矩 单位是[库仑/ 单位是[库仑/米2]、[C/m2]. 以下将电极化强度矢量简称为极化强度. 以下将电极化强度矢量简称为极化强度.
电子云的 正电中心
3. 电介质的极化 ①位移极化 主要是电子发生位移 位移极化
E0
②取向极化 由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。 由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。 取向极化
E0
在外电场中的电介质分子
E0
l
E0
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 固有电偶极矩 在外电场中产生感应电偶极矩 在外电场中产生感应电偶极矩（约是前者的10-5)。 无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。 无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。 有极分子有上述两种极化机制。在高频下只有位移极化。 有极分子有上述两种极化机制。在高频下只有位移极化。
∴ ∫∫ P dS = 0
在非均匀电介质中，有束缚 在非均匀电介质中， 电荷的积累。根据电荷守恒得： 电荷的积累。根据电荷守恒得：
Pn = σ
S
'
P dS = σ dS
'
' ' S S inside
∫∫ P dS = ∫∫σ dS = ∑ q
极化强度力线
P dS = ∑ q ' ∫∫
S S
dV
2 2
ε 0ε r E
2
球内
2 1
0
4πr dr + ∫
2
ε 0ε r E
2
4πr 2 dr
球外空间
∵W = ∫ we dV = ∫
=∫
R
ε 0ε r E
2
2
dV
3
ε 0ε r
0
ε 0ε r ρR 2 2 ρr 2 2 ( ) 4πr dr + ∫ ( ) 4πr dr 2 R 2 2 3ε 0ε r 3ε 0ε r r
σ ' dS 沿着此曲线取一长度为dl在其 内部极化可视为是均匀的。 内部极化可视为是均匀的。垂 直于此曲线的横截面 dS 组成 σ ' dS 一个小圆柱体， 一个小圆柱体，因而该体元具有 电偶极矩 p dl dS ，根据定义它可视为两端 具有± σ ' dS 电荷的偶极矩
∴ P dS .dl = σ ' dSdl
三、电场的能量密度为： 电场的能量密度为：
W 1 1 电场中单位体 2 we = = ε 0ε r E = D E 积内的能量 Sd 2 2
W = ∫ we dV = ∫
ε 0ε r E
2
2
z
dV
θ
∵ dV = dr r sin θd rdθ
球坐标的体元
R 2
y
2π
x
π
0 0
∴ ∫∫∫ dV = ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ d
电位移线垂直与极板， 电位移线垂直与极板， 根据高斯定律
高斯面 +σ0
–σ 0
( DI + DII )S = σ 0 S
DII = σ 0
σ0 DIII = σ 0 E III = ∵ P = χ eε 0 E ε 0ε r 退极化场 σ0 ∴ P = χ eε 0 E III = (ε r 1)ε 0 ε 0ε r 1 电位移线 ∴σ ' = (1 )σ 0 εr
C εr = C0
电容率
§4 电容器的能量和电场的能量
两种观点： 两种观点： 电荷是能量的携带着。 电荷是能量的携带着。 电场是能量的携带着。 电场是能量的携带着。 在电磁波的传播中， 在电磁波的传播中，如通讯工程中能 充分说明场才是能量的携带者。 充分说明场才是能量的携带者。 这里我们从电容器具有能量， 这里我们从电容器具有能量， 静电系统具有能量做形式上 的推演来说明电场的能量。 的推演来说明电场的能量。 电容器充放电的过程是能 量从电源到用电器，（ ，（如 量从电源到用电器，（如 灯炮）上消耗的过程。 灯炮）上消耗的过程。
( DI + DIII )S = σ 0 S
σ0 E II = ε0
高斯面
I
II III
I
§3 有介质时的电容器的电容
C = C 0ε r
自由电荷 Q0 → E0 有介质时 E =
Q0 → U 0 → C0 = U 0
→ U = U °
E0
εr
εr
Q0 → C = U
Q0 ε r = C 0ε r = U 0
σ ' σ '
退极化场
E = E0 + E
'
是电介质中的总电场强度。 是电介质中的总电场强度。
是自由电荷产生的电场。 E0 是自由电荷产生的电场。
E 极化电荷产生的退极化场
'
E'
E0
P
四、电介质的极化规律 实验表明: 实验表明:
χ e 称为电极化率或极化率
P = χ eε 0 E
在各向同性线性电介质中它是一个纯数。 在各向同性线性电介质中它是一个纯数。
4.极化电荷 4.极化电荷 在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性， 在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在 介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到 介质表面要出现电荷， 其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。 其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们 称它为束缚电荷或极化电荷。 称它为束缚电荷或极化电荷。 在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化 电介质的极化。 在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化。
q0
r
R
∵ ∫∫ D dS = q0
S
q0 ∴D = r 2 4πr
∴E =
r>R
q0
2
因为 D＝ε 0ε r E
∵ P = χ eε 0 E ∴σ ' = Pn = χ eε 0 E = (ε r 1)ε 0 E
q0 ∴σ ' = 1 ) （ 2 ε r 4πr 1
4πε 0ε r r
r
D = (1 + χ e )ε 0 E
ε r = (1 + χ e )
D = ε r ε 0 E = εE
称为相对电容率 或相对介电常量。 或相对介电常量。
εr
ε = ε rε 0
或介电常量。
ε 0 称为电容率 称为电容率
例一： 例一：一个金属球半径为R，带电量q0，放在均匀的 电介质中。 介电常数为ε 电介质中。求任一点场强及界面处 σ ' ？ 解：导体内场强为零。 导体内场强为零。 高斯面 q0均匀地分布在球表面上， 均匀地分布在球表面上， 球外的场具有球对称性
θ
n
P
dl
dl
n dS ' σ P
在均匀电介质内部，束缚电荷彼此 在均匀电介质内部， 抵消，束缚电荷仅出现在介质表面。 抵消，束缚电荷仅出现在介质表面。 为介质外法线方向。 通常定义 n 为介质外法线方向。
Pn = σ
'
n
P
Pn > 0
σ ' < 0
S
σ '< 0
dS
σ'
dl
∵P dS =σ dS
电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。 与束缚电荷无关。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。
P、D、E 之间的关系： 之间的关系：
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E
∫∫ P dS
S
定义： 定义：
电位移矢量
∫∫ (ε
S
0
E + P ) dS = ∑ q0
S
D = ε0E + P
∫∫ (ε
S
0
E + P) dS = ∑ q0
S
D = ε0E + P
自由电荷
∫∫ D dS = ∑ q
S S
0
物理意义
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于 通过任一闭合曲面的电位移通量， 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。
q 1Q A = ∫ dA = ∫ udq = ∫ dq = QC 2 C
0 2
C
I
R
所以储存在电容器中的能量为： 所以储存在电容器中的能量为：
Q 1 1 2 W= = CU = QU 2C 2 2
2
ε
二. 电容器储存的能量与场量的关系
Q2 Q2 d ε 0ε r Q 2 ε 0ε r 2 W= = = ( ) Sd = E Sd 2C 2ε 0ε r S 2 ε 0ε r S 2
在任一曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。 在任一曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。 三、退极化场 在外电场 E0中，介质极化产生的束缚 电荷， 电荷，在其周围无论介质内部还是外 称为退极化场。 部都产生附加电场 E ' 称为退极化场。 任一点的总场强为： 任一点的总场强为：
+Q –Q
E = E0 + E '
dl
P
如果在电介质内任选一面 dS 的法线 n 与 P 成 θ 角 则：
∴ P dS .dl = σ ' dSdl
dS
∑p
i
ei
= σ 'dSdl
∧
P
∑p
i
dl
dS
ei
= [dl dS cos(n P)]P
∴P ∴Pn = σ '
表明： 表明：任选一面 dS 上 束缚电荷面密度σ ' 等 于极化强度矢量在该 面法线方向上的分量
0
例：一个球半径为R，体电荷密度为ρ，试利用 电场能量公式求此带电球体系统的静电能。 电场能量公式求此带电球体系统的静电能。
ρR 3 ∵ E2 = r 2 3ε 0ε r r
ρr ∵ E1 = r 3ε 0 ε r
r≤R
r≥R
ρ
R
2
∵W = ∫ we dV = ∫ =∫
R
ε 0ε r E
2
∞ R
C
I
R
ε
一.
电容器储存的能量 电容器放电过程中,电量 dq 在电场力的作用下， 电容器放电过程中 电量 在电场力的作用下， 从正极板到负极板，这微小过程中电场力作功为： 从正极板到负极板，这微小过程中电场力作功为： 因为 dq > 0 表示极板上的电量随放电而减少
dA = dq(u+ u ) = udq
ε 0ε r S ∵ E = σ 0 ∴W = 1 D EV 结果讨论： 结果讨论： ∵ C = ε 0ε r d 2
电容器所具有的能量与极板间电场 E 和D 有关， 有关，E 和 D 是极板间每一点电场大小的 物理量，所以能量与电场存在的空间有关， 物理量，所以能量与电场存在的空间有关， 电场携带了能量。 电场携带了能量。 电容器所具有的能量还与极板间体积成正比， 电容器所具有的能量还与极板间体积成正比， 于是可定义能量的体密度， 于是可定义能量的体密度，它虽然是从电容 器间有均匀场而来但有其普遍性。 器间有均匀场而来但有其普遍性。