高考数学压轴专题新备战高考《不等式》真题汇编及答案

数学《不等式》复习知识点
一、选择题
1．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最
小值为（ ）
A ．3
B ．2(51)-
C ．
45 D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设
(),P x y ，0x >，则2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则
()()2
2
2
22224||||4
4||1x y x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-， 当4
x x =
，即2x =时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩
得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，
所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1
（其中0,0m n >>），则11
2m n
+的最小值为（ ） A ．3 B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得
11
2m n
+的最小值.
画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
()111111515193222323232322
n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->
【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，
1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；
取11,49a b =
=71
1812
a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C .
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．已知x，y满足约束条件
1,
22,
326,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
，若22
x y z
+≥恒成立，则实数z的最大值为
（）
A．2
B．25 C
．
1
2
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据22
x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件
1
22
326
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z
+≥恒成立，只需()
22
min
z x y
≥+，
因为22
x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，
其中最小值距离为
22
12
2
11
d
-
==
+
，则2
1
2
d=，即
1
2
z≤
所以数z的最大值
1
2
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合2
2x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能
力．
7．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的
一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c
的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+
C ．
43
D ．3log 41-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，a 与b 为函数()3x
f x =的“线性对称点”，
所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.
又+a b 与c 为函数()3x
f x =的“线性对称点，
所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.
8．若实数x ，y 满足40,
30,0,x y x y y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2x y y +=的最大值为（ ）
A ．512
B ．8
C ．256
D ．64
【答案】C 【解析】 【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2
x y
y +=的最大值为256.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
12．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B ．[3,2]--
C ．[2,3)-
D ．[3,2]-
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数； 又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以
222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
13．已知函数1
()cos 2(2)sin 2
f x m x m x =
+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14
-
B ．1 C
．D
1
【答案】D 【解析】 【分析】
2()sin (2)sin 2
m
f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2
m
y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211
2
2(2)31144t m m m g m y m m m
=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =
-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2
(2)2
m
y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111
[0,]222
m t m m -=
=-∈，所以 (
)22112
2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当
m =
. 故选：D 【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
14．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．-2
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
15．在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
22223sin a b c ab C ++=
两式相加，得到()
22
cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫
+=+=-
⎪⎝
⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛
⎫-=
= ⎪⎝⎭
≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫
-
∈- ⎪⎝
⎭
所以cos 13C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
因为()0,C π∈，所以2,333
C π
ππ
⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以03
C π
-
=，即3C π
=
，又a b =，
所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于
中档题.
16．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4
y
x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()
2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】 若不等式24y x m m +
<-有解，即2()4
min y
m m x ->+即可， 142x y +=Q
，12
12x y
∴+=， 则
121221112121124422482
y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当28x y y x
=，即22
16y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y
x +
=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
17．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．
92
D ．
112
【答案】B 【解析】 【详解】
解析：考察均值不等式2
228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪
⎝⎭，整理得
2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥
18．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭
()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩
即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
19．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()2
2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
20．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6
tan tan tan A B C A
+⋅的最小值为（ ）
A ．
3
B ．
2
C ．
2
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故
tan 3tan A B =，
3t 53tan 4an 6
ta 3ta tan tan n n B A B C A
B ⎛⎫=
+ ⎪⎝+⎭
⋅，计算得到答案. 【详解】
由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，
即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.
2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.
由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.
易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.
πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-⋅24tan 3tan 1
B
B =-，
tan 6
tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭34≥⨯
当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。