湘教版八年级上册数学期末考试试题附答案

湘教版八年级上册数学期末考试试卷
一、单选题
1．下列代数式中，是分式的为（ ）
A ．3x
B ．y
π C ．32x y - D ．2
x y -
2．下列计算正确的是（ ）
A 4±
B ．824a a a ÷=
C ．()235a a ---=
D ．33
39x x
y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3．已知不等式组20
10x x -⎧⎨+≥⎩＜，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4+ ）
A B ．C ．D ．5．等腰三角形的两边长分别为4cm ，8cm ，则该三角形的周长为（ ）
A ．16cm
B ．20cm
C ．16cm 或20cm
D ．以上都不对 6．如图，点P 是AB 上任意一点，∠ABC=∠ABD ，还应补充一个条件，才能推出
△APC ≌△APD ．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC ≌△APD 的是( )
A ．BC=BD ；
B ．AC=AD ；
C ．∠ACB=∠ADB ；
D ．∠CAB=∠DAB 7．下列命题是假命题的是（ ）
A ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
B ．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C ．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
D ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
8．若关于x 的一元一次不等式结3132x x x a
-⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤；且关于y 的分式方程
34122
y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．7
B ．－14
C ．28
D ．－56
二、填空题 9．当x______时，分式1x 3
+有意义． 10．根据资料显示，新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为________．
11．在3.14，0，5
π-
227-，2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有_______个．
12．若｜
+(c-4)2=0，则a-b+c=_________.
13．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若10CE =，3AF =，则BF 的长度为______．
14．已知实数31a ，则a 的倒数为________．
15．已知关于x 的方程
4433x k k x x ---=--无解，则k 的值为________． 16．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连
接BF 、CE ，下列说法：①ABD ∆和ACD ∆的面积相等，②BAD CAD ∠=∠，③BDF CDE ∆≅∆，④//BF CE ，⑤CE BF =，其中一定正确的答案有
______________．（只填写正确的序号）
三、解答题
17．计算：(20112π-⎛⎫- ⎪⎝⎭．
18．解方程：
31122
x x x =+++
19．已知222111x x x A x x ++=---. （1）化简A ；
（2）当x 满足不等式组1030
x x -≥⎧⎨-<⎩，且x 为整数时，求A 的值. 20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ．求证：BE =CD ．
21．第5代移动通信技术简称5G ，某地已开通5G 业务，经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15倍，明明和芳芳分别用5G 与4G 下载一部600兆的公益片，明明比芳芳所用的时间
快73
分钟，求该地4G 与5G 下载速度分别是每秒多少兆？
22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ．
（1）已知40A ∠=︒，求CBE ∠的度数；
（2）已知BCE 的周长为8cm ，2AC BC -=，求AB 与BC 的长．
23．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式
的平方，如23(1+=．善于思考的小明进行了以下探索：设2(a m +=+（其
中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222a m n ++．222a m n =+，2b mn =．这样
小明就找到了把总分a +的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a 、b 、m 、n 均为整数时，若2(a m ++，用含m 、n 的代数式分别表示a 、b ，则：a =______，b =_________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：2__(________++．
（3）若2(a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值．
24．如图1，ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =，EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与AC 重合，且EF FP =．
（1）在图1中请你通过观察，猜想并直接写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP ，BQ ，猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连
接AP，BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．
【详解】
根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合题意，故排除；D中分母含有字母，满足要求，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2．D
【分析】
根据算术平方根和幂的相关运算分别判断即可．
【详解】
解：A. 4，原选项计算错误，不符合题意；
B. 826a a a ÷=，原选项计算错误，不符合题意；
C. ()62
3a a --=，原选项计算错误，不符合题意； D. 3
3
39x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，原选项计算正确，符合题意． 故选：D ．
【点睛】
本题考查算术平方根和幂的相关运算．熟练掌握相关定义是解题关键．
3．D
【分析】
分别解不等式组中的每一个不等式，确定出各不等式解集的公共部分，进而在数轴上表示出来即可．
【详解】 2010x x -⎧⎨+≥⎩
＜①②， 解①得：x<2，
解②得：x ≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<2，
故解集在数轴上表示为：
．
故选D.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握解题方法以及解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．
4．C
【分析】
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【详解】
原式==
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
5．B
【分析】
根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．【详解】
解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），
所以该三角形的周长是20 cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
6．B
【详解】
根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：
A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；
C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．
故选B．
点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
7．D
【分析】
根据垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定
理依次判断即可．
【详解】
解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以A选项为真命题，不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B选项为真命题，不符合题意；
有一个外角是120°的等腰三角形，与它相邻的内角等于60°，是等边三角形，所以C选项为真命题，不符合题意；
有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查判断命题的真假，主要考查垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理．熟记相关定理是解题关键．
8．A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】
解：解不等式31
3
2
x
x
-
≤+，解得x≤7，
∴不等式组整理的
7
x
x a
≤
⎧
⎨
≤
⎩
，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝
+2
3
a
，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．≠-3
【分析】
根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x+3≠0，
解得x≠-3．
故答案为≠-3．
【点睛】
考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
10．8×10-8
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×
10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000008=8×
10-8． 故答案为：8×
10-8． 【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×
10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．3
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；-227-
是分数，属于有理数；
无理数有： 5
π- 2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个） 共3个．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12．9
【分析】
根据非负数的性质即可解答.
【详解】
解：∵｜+(c-4)2=0
∴a-2=0，b+3=0，c-4=0
∴a=2 ，b=-3，c=4，
∴a-b+c=2-（-3）+4=9.
故答案为9.
【点睛】
本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，解题关键是正确求出a、b、c的值.
13．4
【分析】
根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．【详解】
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE=3，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵CE=10，
∴CA =AB =7，
∴BF =AB -AF =7-3=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E =∠AFE ，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
14 【分析】
直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．
【详解】 解：∵实数31a ，
∴a
=
． 【点睛】 此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
15．-3k =或1k =
【分析】
根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0求解即可．
【详解】
解：原方程去分母后整理为(3)48k x k +=+，由于方程无解，故有两种情况：
(1)若整式方程无实根，则30k +=且480k +≠
3k ∴=-；
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则
4833
k k +=+， 1k ∴= 经检验, 1k =是方程4833
k k +=+的解. 综上所述：-3k =或1k =．
故答案为：-3k =或1k =．
【点睛】
此题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解，有两种情况，①整式方程本身无解；②整式方程有解，但使得分式方程的最简公分母为零（即为增根）．
16．①③④⑤
【分析】
根据三角形中线的定义可得BD=CD ，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确；利用“SAS”证明③△BDF ≌△CDE 正确，根据全等三角形对应边相等，证明⑤正确，根据全等三角形对应角相等得∠F=∠DEF ，再根据内错角相等，两直线平行可得④正确.
【详解】
解：由题意得 BD=CD,点A 到BD,CD 的距离相等
∴△ABD 和△ACD 的面积相等，故①正确；
虽然已知AD 为△ABC 的中线，但是推不出来∠BAD 和∠CAD 一定相等,故②不正确；
在△BDF 和△CDE 中BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△BDF ≌△CDE,故③正确；
∴CE=BF ，故⑤正确；
∴∠F=∠DEF
∴BF ∥CE ，故④正确；
故答案为①③④⑤.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形面积相等，熟练掌握三角形判定的方法并准确识图是解题的关键.
全等三角形的判定：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；H.L ；
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等.
17
．4-
【分析】
先利用零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值的性质分别化简，再依次相加减即可．
【详解】
解：原式＝14(2)(1
-+-+
＝1421
--+
＝4
-
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算．主要考查零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值的性质，掌握相关概念是解题关键．注意化简绝对值后最后先带上括号，以免出错．
18．4 3
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：6=x+2x+2，
移项合并得：3x=4，
解得：x=4
3
，
经检验x=4
3
是分式方程的解.
【点睛】
此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则
19．（1）
1
1
x-
；（2）1
【分析】
（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
【详解】
（1）原式=
2
(1)
(1)(1)1
x x
x x x
+
-
+--
=
1
11
x x
x x
+
-
--
=
1
1
x x
x
+-
-
=
1
1
x-
（2）不等式组的解集为1≤x＜3 ∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝
1
1
x-
中x≠1，
∴当x＝1时，A＝
1
1
x-
无意义．
②当x＝2时，
A＝
1
1
x-
＝
1
=1
2-1
考点：分式的化简求值、一元一次不等式组.
20．详见解析
【分析】
只要用全等判定“AAS”证明△ABE≌△ACD，则CD=BE易求．
【详解】
∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
又∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴CD=BE．
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．21．该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆．
【分析】
首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间-5G下载600兆所用时间=140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【详解】
解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
7
3
分钟＝140秒，
由题意得：600600
140
15
x x
-=，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4=60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
22．（1）∠CBE=30°．（2）BC=3cm，AB=5cm．
【分析】
（1）根据等边对等角和三角形内角和定理可以推出∠ABC=70°，根据垂直平分线的性质即可推出∠ABE=∠A=40°，便可推出∠CBE的度数；
（2）根据题意可知AC+BC=8，然后根据AC-BC=2，即可得AC、BC的长度．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°．
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=70°-40°=30°．
（2）∵△BCE的周长为8cm，
∴BE+EC+BC=8cm．
∵AE=BE，
∴AE+EC+BC=8cm，
即AC+BC=8cm．
∵AC-BC=2cm，
∴AC=5cm，BC=3cm．
∵AB=AC，
∴AB=5cm．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．（1）能利用等边对等角求角度是解题关键；（2）能得出AC+BC=8cm是解题关键．
23．（1）m 2＋3n 2，，2mn ；（2）13，4，1，2；（3）13或7
【分析】
（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a 与b 即可；
（2）令m ＝1，n ＝2，确定出a 与b 的值即可；
（3）根据第（1）题的结论，结合a 、m 、n 均为正整数，即可求解．
【详解】
解：（1）∵222(23m m n +=+，
又∵2(a m ++，
∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；
故答案为m 2＋3n 2，，2mn ；
（2）令m ＝1，n ＝2，则a ＝m 2＋3n 2＝1＋3×4＝13，b ＝2mn ＝4，
∴13＋1＋2；
故答案为13，4，1，2；
（3）由（1）可知：a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn ，
∴a ＝m 2＋3n 2，mn =2，
∵a 、m 、n 均为正整数，
∴m =1，n =2或m =2，n =1，
∴a ＝12＋3×22=13或a ＝22＋3×12=7，即a =13或7．
【点睛】
本题考查了二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 24．（1）AP AB =，AP AB ⊥；（2）BQ 与AP 所满足的数量关系是AP BQ =，位置关系是AP BQ ⊥，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】
（1）由题意可得ABC ∆与EFP ∆是全等的等腰直角三角形，可得45BAC CAP ∠=∠=︒，AB AP =，可得AP AB =，AP AB ⊥；
（2）求出CQ CP =，根据SAS 证BCQ ACP ∆≅∆，推出AP BQ =，CBQ PAC ∠=∠，根据三角形内角和定理求出90CBQ BQC ∠+∠=︒，推出90PAC AQG ∠+∠=︒，求出90AGQ ∠=︒即可；
（3）证明相等时思路同（1），证明垂直时，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠，借
助全等得到的角相等，得出90APC PBN ∠+∠=︒，进一步可得出结论．
【详解】
解：（1）AP AB =，AP AB ⊥，
AC BC ⊥，且AC BC =，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．
ABC ∆∴与EFP ∆是全等的等腰直角三角形，
45BAC CAP ∴∠=∠=︒，AB AP =，
90BAP ∴∠=︒，
AP AB ∴=，AP AB ⊥；
（2）BQ 与AP 所满足的数量关系是AP BQ =，位置关系是AP BQ ⊥，理由如下：
延长BQ 交AP 于G ，
由（1）知，45EPF ∠=︒，90ACP ∠=︒，
45PQC QPC ∴∠=︒=∠，
CQ CP ∴=，
在BCQ ∆和ACP ∆中，
BC AC
BCQ ACP CQ CP
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()BCQ ACP SAS ∴∆≅∆，
AP =BQ ∴，CBQ PAC ∠=∠，
90ACB ∠=︒，
90CBQ BQC ∴∠+∠=︒，
CQB AQG ∠=∠，
90AQG PAC ∴∠+∠=︒，
1809090AGQ ∴∠=︒-︒=︒，
AP BQ ∴⊥；
（3）成立，理由如下：
如图，45EPF ∠=︒，
45CPQ ∴∠=︒，
又AC BC ⊥，
45CQP CPQ ∴∠=∠=︒，
CQ CP ∴=，
在Rt BCQ ∆和Rt ACP ∆中，
BC AC BCQ ACP CQ CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
Rt BCQ Rt ACP(SAS)∴∆≅∆，
BQ AP ∴=，
如图3，延长QB 交AP 于点N ，
则PBN CBQ ∠=∠，
Rt BCQ Rt ACP ∆≅∆，
BQC APC ∴∠=∠，
在Rt BCQ ∆中，90BQC CBQ ∠+∠=︒，
90APC PBN ∴∠+∠=︒，
90PNB ∴∠=︒，
QB AP ∴⊥．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．。