一次函数性质及例题

一次函数
概念：x 自变量和因变量y有如下关系：y=kx+b，则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常数，k≠0）；
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。

即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）；
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小。

当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

基本性质：1．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。

2．当b=0时，一次函数变为正比例函数。

当然正比例函数为特殊的一次函数。

3．对于正比例函数，y除以x的商是一定数（x≠0）。

对于反比例函数，x与y的积是一定数。

4．在两个一次函数表达式中：
①当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
②当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
③当两个一次函数表达式中的k不相同，b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
④当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
⑤当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5．两个一次函数(y =ax+b, y =cx+d)之比，得到的新函数y =(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=b/a，y=c/a。

6.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>0,b>0：经过第一、二、三象限
k>0,b<0：经过第一、三、四象限
k>0,b=0：经过第一、三象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0b>0：经过第一、二、四象限
k<0,b<0：经过第二、三、四象限
k<0,b=0：经过第二、四象限
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

函数问题1
已知正比例函数，则当k≠0时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得k<0。

函数问题2
已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）
A. x1>x2
B. x1<x2
C. x1=x2
D.无法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。

根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。

故选A。

一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。

因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。

故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。

故选A .
函数问题4
一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。

如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12
解之，k=0.5
∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12
由题意，得：23=0.5x+12=22
解之，x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元，刻录X张
则电脑公司：Y1=8X 学校：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1<Y2
函数问题6
（1）y与x成正比例函数，当y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.
（2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式.
解：（1）设所求正比例函数的解析式为y=kX
把y=5，x=2.5代入上式得，5=2.5k
解之，得k=2
∴所求正比例函数的解析式为y=2X
（2）设所求一次函数的解析式为y=kx+b
∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足y=kx+b ，将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代入上式，得2=-k+b,-5=3k+b
解得k=-7/4,b=1/4
∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4
点评：（1）不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.
函数问题7
拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q （升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象.
分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.
解：函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。

图象是以（0，20）和（4，0）为端点的一条线段（图象略）。

点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.
函数问题8
已知一次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式.
分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法.
解：设所求一次函数解析式为
∵点P的坐标为（－2，0）
∴|OP|=2
设函数图象与y轴交于点B（0，m）
根据题意，SΔPOB=3
∴|m|=3
∴一次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3）
将P（－2，0）及B1（0，3）；或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代入y=kx+b 中，得
-2k+b=0，b=3；或-2k+b=0，b=-3。

解得k=1.5，b=3；或k=-1.5，b=-3。

∴所求一次函数的解析式为y=1.5x+3或y=-1.5-3。

点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.（2）涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.
考点指要
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.。