THUSSAT2020年5月诊断性测试文科数学答案(一卷)

2k 2 + 2
又因为点 N 到直线 AB 的距离为 d =
，
………………10 分
( )( )( ) 所以△ NAB 的面积 S
= 4 1−k2 2 2
1 k2 +1 = 2 − 2k
+ k2
22 2 +1+
3
2 k2
− +
下载站》
12k+微2k信2公1公3+众=k号《21免69费1
+ 6
k2
0.3000 ， 0.1250 ，可得人数分别为 5 ，12 ， 5 ， ………………5 分
所以身高在[160,170) 内的共有18 人，
………………6 分
所以 a = 18 = 0.0450 ； 40 10
………………8 分
（2）这 40 个学生平均身高的估计值为 1 (1555 +16518 +17512 +1855)
13. 2 2 1
14.
3
3+ 7
15.
8 15
16.
7
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每 （ 1（7． 1个 一）试 ）解因题 必：为考 考点生 题P都 ：0 6必530须,分54作．答，．根第据三22角、函23数题的为定选义考可题得，s考in生 根= 据微54信要，公公求c众o作号s《答免=．费下53载…站》…………2 分
40
=169.25 ． 所以这 40 个学生平均身高的估计值为169.25 cm ．
………………12 分
19．解（1）取 AB 的中点 O ，连接 OP,OD ，
因为△ PAB 为边长为 2 的等⊥ AB ，
………………2 分
因为 BO = CD =1， AB//CD ，
所以四边形 OBCD 为平 行四边形， （2）设因又 因 所点 为因 为 以BDC为PD到D=OA平DB⊥面O⊥PAPOB=BB1C；=C，，O的P所，距O以所离=以D为O3AhB⊥，，⊥APB平D，面=…2P……，O…D…所……，以……D……O微…信4⊥公6分公P分众O号《，免A费下载站》
………………4 分 ……………5 分
综上
a
+b
+
b+
2
8c ． c2 +1
（2）因为 1 + 2 = a + 2b + a + 2b = 2 + a + 2b 4 ，
b a 2b
a
2b a
……………9 分
所以 c +1 + c −1 4 ，解得 −2 c 2．
……………10 分
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( ) ( ) k e−k −1 −2k e−k ( ) 又因为当 x = e−k ， h e−k = −k − e−k +1 = e−k +1 0 ，
( ) 所以 h ( x) 在 e−k , x1 存在一个零点；
( ) ( ) 当 x = ek 时， h ek
k ek −1 = k − ek +1
（2）证明：当 k 2 时，函数 y = f (x) 的图象与直线 l 交点的个数等价于函数
h ( x) = ln x − k ( x −1) 的零点个数，
x +1
因为 h( x)
=
1 x
−
2k
( x +1)2
=
( x +1)2 − 2kx x ( x +1)2
， x (0, +) ，
………………6 分
由
x2 = 4 y = kx
y, −
2k
2
+1,
联立可得 x2 − 4kx + 8k2 − 4 = 0，
x1 + x2 = 4k,
所以
x1
x2
=
8k 2
−
4,
= −16k 2 +16 0，
所以 AB = 1+ k 2 x1 − x2 = 1+ k 2 16 −16k 2 ，
………………8 分
，
当 k 2 = 1 时，△ NAB 的面积取到最大值 16 6 ．
3
9
………………12 分
21．解：（1）因为 f ( x) = ( x +1) ln x ，所以 f ( x) = ln x + x +1 ，
x
所以 f (1) = 2 ，
………………2 分
又因为 f (1) = 0 ，所以 f ( x) 在 x = 1处的切线方程 y = 2x − 2 ； …………4 分
所以 h ( x) 在 (0, x1 ) 单调递增， ( x1, x2 ) 单调递减， ( x2, +) 单调递增．
因为 h (1) = 0 ，所以 h ( x1 ) h (1) = 0 ， h ( x2 ) h (1) = 0 ， ……………10 分
因此 h ( x) 在 ( x1, x2 ) 存在一个零点 x = 1；
23．【选修 4−5：不等式选讲】
（1）解：（1）证明：因为 a + b + b + 2 a + 2b + 2 = 4 ，
………………2 分
若 c 0 ，不等式显然成立；
若c
0 ，则
8c c2 +1
=
c
8 +
1
8 21
=
4
，
c
所以
a
+b
+
b+
2
8c ， c2 +1
当 (a + b) (b + 2) 0 ，且 c =1取到等号；
设 g ( x) = x2 + (2 − 2k ) x +1，
第3页 共 5 页
因为二次函数 g ( x) 在 x R 时， g (0) = 1 0 ， g (1) = 4 − 2k 0 ，
所以存在 x1 (0,1) , x2 (1, +) ，使得 g ( x1 ) = 0 ， g ( x2 ) = 0 ，…………8 分
22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）曲线 C 的方程可化为 x2 + y2 = 1； 2
x = −1+ t cos ,
（2）设直线
l
的参数方程为
y
=
t
sin
（ t 为参数微）信，公公众号《免费下载站》
( ) 代入椭圆 C 方程得 1+ sin2 t2 − 2t cos −1 = 0 ，
2t
=
4k
，
………………3 分
（1）直线 MN : y −1 = − 1 ( x − t ) ，即 y −1 = − 1 ( x − 2k ) ，解得点 N (0,3) ；………6 分
k
k
（2）因为直线 AB 经过点 M (t,1) ，直线 AB 的斜率为 k ，
所以可得直线 AB 的方程是： y = kx − 2k2 +1，
直线 AB 的斜率为 k ，（ k 斜率显然存在且不为 0 ）．
由
x12 x22
= =
4 y1, 4 y2 ,
可得 ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) = 4( y1 − y2 ) ，
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y N
B M
OA
x
（第 20 题）
所以
x1
+
x2
=
4
y1 x1
− −
y2 x2
，故
=
k
ek
2 +
1
0
，
( ) 所以 h ( x) 在 x2 , ek 存在一个零点；
所以，函数 y = f ( x) 的图象与直线 l : y = k ( x −1) 有 3 个交点． …………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．作答时请写清题号．
第5页 共 5 页
，
……………6 分
当 cos 0 时， cos2 + 2 2 cos − 2 = 0 ，解得 cos = 2 − 2 ，
当 cos 0 时， cos2 − 2 2 cos − 2 = 0 ，解得 cos = 2 − 2 ，
第4页 共 5 页
所以 cos = 2 − 2 或 2 − 2 ．
曲线 C2 的直角坐标方程为 x − 3y + 2 = 0或 x − 3y −10 = 0 ………………10 分
中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 5 月测试
文科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D B CDCABAD
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
根据题意可知点 P1 的横坐标为
cos
+
π 3
=
cos
cos
π 3
−
sin
sin
π 3
=
3 5
1 2
−
4 5
3 2
= 3−4 10
3
…………6 分
（2）根据题意可知点
P2020
的横坐标为
cos
+
2020π 3
=
cos
+
4 3
=
4 5
所以
cos
+
3
=
−
4 5
……………8 分
又因为
0,
O
P (第 19 题)
B
又因为 DO ⊥ AB ，所以 DO ⊥ 平面 PAB ， ………………8 分
由VD−PBC = VP−DBC 可得，
1 h 1 BC PB = 1 PO 1 BC DC ，
32
3
2
所以 h = 3 ． 2
………………12 分
20．解：设点 A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，中点 M (t,1) ，
………………5 分
所以 t1 + t2
= 2 cos 1+ sin2
，t1t2
= −1 1+ sin2
，故
PQ
=
t1 − t2
= 22 1+ sin2
，………6 分
又因为 AB =
4 cos
，
AF − BF
=
2 cos
，
………………8 分
4 所以 cos2
=
4 cos
22 1+ sin2
π 2
，所以
+
3
3
,
5π 6
，所以
sin
+
3
=
3 5
……………10 分
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所以 sin
2
+
2π 3
=
2 sin
+
π 3
cos
+
π 3
=
−
24 25
……………12 分
18．解：（1）由图可得[150,160) ，[170,180) ，[180,190]三组的频率分别为 0.1250 ，