太原市高三数学综合检测试题答案

在 Rt△ BEF中， BE=BF= a , BD是斜边上的高； 2
∴ BD= 2 a.tg B′ DB= B B 2 2 .
4
BD
∴ B′— BE— B的大小为 arctg2 2 . 12 分
( 乙 )( Ⅰ ) 如图，设 AD=x. ∵∠ ACB=90° , AC=BC=2,
∴ AB=2 2 , DB=2 2 - x, BE=1.
3
分
从 1998 年至 2048 年，海平面共上升了： (2048-1998) × (4cm)=50 × 4(cm)=2 米 . 此时，水平面的海拔高度为 3 米 . 4 分 设该地区被水淹没的区域半径为 x.
则π x2=107( 米 2) ，∴ x2= 10 7 . 6
分
7
因此点 ( 10 ,3) 在双曲线上 .
角坐标系 . 1 分
设 AE=BF=x, 则 A′ ( a,0, a), F( a- x, a,0),
C′ (0, a, a), E( a, x,0).
AF =(- x, a,- a), C E =( a, x- a,- a). 4 分
∵ A F · C E =- xa+a( x- a)+ a2=0.
107
即 9-
=1 得， b2=10 7 . 8
分
b2
8
∴双曲线为：
y2-
8 x2 10 7
=1.
到 2098 年，即 y=4+1=5 时，π x2=30× 106( 米 2)=30 平方公里 . ∴到 2098 年，该地区 30 平方公里内的居民必须迁移 . 12 ° , ∠ A1AD=90° , ∴∠ EDB+∠ ADA1=90° . ∴∠ EDB=∠ DA1A. ∴ Rt△AA1D∽ Rt△ DEB.
∴ A1A
DB 2 .
22
x , x= 2 .
AD BE x
1
∴ AD=DB= 2 . D为 AB中点 . 4 分
又 AC=BC，∴ CD⊥ AB，∵三棱柱为直三棱柱， ∴ BB1⊥面 ABC， BB1⊥CD，∴ CD⊥面 A1ABB1. 6 分 ( Ⅱ ) 作 DF⊥ A1E于 F，连结 CF. ∵ CD⊥面 A1ABB1， ∴ CF⊥A1E. ∴∠ CFD是二面角 C— A1E—D的平面角 . 8 分
x
n
,
∴ f ( 1 )= 1 +3( 1 ) 2+5( 1 ) 3+…+(2 n-1)( 1 ) n,
③
22 2
2
2
1 f ( 1 )=(
1
)
2+3(
1
)
3+… +(2
n-3)(
1 ) n+(2 n-1)(
1 ) . n+1
④
22 2
2
2
2
— 4—
③ - ④得，
1f(
1 )=
1 +2(
1
)
2
+… +2(
2
2
3k ∴ tg QPR= 2
3,
33
3
k
2
∴∠ QPR= . 11
分
6
∴ kPQ=tg( π- )=-
3
,
6
3
∴ PQ的方程为 y=-
3 x+2.
3
3 当 P 在 Q右方时，所求直线方程为 y= x+2. 12 分
3 22.( Ⅰ) 解：∵ f (1)= a1+a2+… +an=n2,
又 { an} 为等差数列，∴ n(a1 an ) =n2, ∴a1+an=2n. 2
y 2 x2 a 2 b 2 =1(0< b<a).
c2
,
a3
a 3,
依题意，得 b 2
5 ,
解得 , b 5,
c2
c2 a2 b2.
c 2.
— 3—
2
∴椭圆方程为 y 9
2
x
=1. 4 分
5
( Ⅱ ) 解：如图，不妨设 P 在 Q的左方，且 P、 Q在准线上的 射影分别为 P′、 Q′ . 设 | PF|= k, 则 | QF|=2 k.
∵ a· b=2,| a- b|=| BA |=2, ∴ | a| 2+| b| 2-2 a· b=4, 即 | a| 2+| b| 2=8. 3 分
由余弦定理，得
2
2
2
a b BA
cos θ =
2a b
2
2
a b4
2a b
2
.
ab
6分
1
1
∴ S△ = ABC | a| · | b|sin θ= | a| · | b| ·
三、 17. 解：∵ f ( x) 在 (-1 ， 1) 内可导，且 f ′( x)<0,
∴ f ( x) 在 (-1 ， 1) 上为减函数 . 2 分
又当 a、b∈ (-1,1), a+b=0 时， f ( a)+ f ( b)=0,
∴ f ( b)=- f ( a), 即 f (- a)=- f ( a),
∴ AF ⊥CE. 6 分 ( Ⅱ ) 设 BF=x, BE=y, 则 x+y=a.
1
ax
V = B′— BEF xya≤ (
y)2
a3
.
6
62
24
当且仅当 x=y= a 时，等式成立 . 2
因此，三棱锥 B′— BEF的体积取最大值时， BE=BF= a . 10 分 2
连 BO交 AC于 D，连 B′ D, 则∠ B′DB是二面角 B′— EF— B 的平面角 .
太原市高三数学综合检测试题（四）答案
一、 1.C 2.D 3.B 4.A 5.(
理)A ( 文 )C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.(
11.B 12.D
二、 13.(-
3 ,1) 14.
1 15. y=( x-1) 2 等 2
16. a+( b* c)=( a+b)*( a+c) 或 ( a* b)+ c=( a* c)+( b* c) 等
∴V
C
A1 DE
=
1 3
S△
A1
CDE · CD= 1 · 1 A1D·DE· CD= 1 ·
32
6
6·
3·
2 =1. 12
分
20. 解：如图建立平面直角坐标系 . 1 分.
y2 设双曲线方程为 a 2
x2 b 2 =1( a>0, b>0).
由已知 a=1, 故双曲线方程为
y2- x 2 =1. b2
A1D= A1 A2 AD 2
6, DE
DB 2 BE 2
3.
— 2—
∵∠ A1DE=90° , ∴ A1E= A1D 2 DE 2 =3.
DF= A1D DE
2,
A1E
∴∠ CFD=45° , 即二面角 C— A1E— D的平面角为 45° 10 分
( Ⅲ ) ∵V A1 CDE = V C A1DE ，在 Rt△ A1DE中， A1D= 6 ， DE= 3 ， CD= 2 ，
设 { an} 公差为 d, 则 2a1+( n-1) d=2n.
①
又 f (-1)=- a1+a2- a3+a4+… - an-1+an=n,
∴ n · d=n. d=2. 2
由①、②得 a1=1.
②3分
∴ an=1+( n-1)2=2 n-1. 6 分
(Ⅱ) f
( x)= x+3x2+5x3+… +(2 n-1)
1
(
2
2
)
2
2
ab
理 )C ( 文 )A
9分
当 | a| 2=-
8
=4 时， S△ABC最大 .
2 ( 1)
此时 | b| 2=8-| a| 2=4. 11 分
— 1—
因此，当△ ABC面积最大时， cos θ= 4 4 4 1 , θ=60° . 12
分
24 2
19.( 甲)( Ⅰ ) 证明：如图，以 O为原点建立空间直
PF
由 e=
PP
2 QF ,
3 QQ
2
,得
3
| PP′ |= 3 k,| QQ′|=3 k. 7 分 2
过 P 作 PR⊥ QQ′于点 R，则 | QR|=3 k- 3 k= 3 k, 22
| PQ|= k+2k=3k. 9 分
在 Rt△ PRQ中， | PR|= (3k) 2 ( 3 k) 2 3 3 k,
∴ f ( x) 在 (-1 ， 1) 上为奇函数 . 6 分 故 f (1- m)+ f (1- m2)>0 f (1- m)>- f (1- m2), 8 分
f (1- m)> f ( m2 -1)
1 1m 1 1 m2 1 1, 10 分 1 m m 2 1.
1<m< 2
∴原不等式的解集为 (1 ， 2 ). 12 分 18. 解：设∠ AOB=θ.
1
n
) -(2
n-1)(
222 2
2
1 ∴ f ( )=1+1+(
1 )+ … +( 1 ) n-1 -(2 n-1)(
1n
)
2
2
2
2
1 n+1
).
2
10 分
说明：在解 17～ 22 题时，其他解法可参照上述标准评分 .
— 5—