一元函数极限的求法

一元函数极限的求法
摘要：本文用举例的方法来介绍函数极限的定义，函数极限的求解方法. 关键词：函数极限的定义；求解方法
The soulution of function extremity
Abstract:This article introduced some application of the definition of the function extremity ,the soulution of function extremity . Key Words:the definition of function extremity ；soulution
前言
极限是数学分析中最重要的概念之一，微分，积分等概念的引入，都与极限的概念密切相关.而这些概念引进后，利用这些知识又充实了求极限的方法。

本文主要通过一些具体例子来讨论函数极限的求解方法.
1.一元函数极限的定义
1.1 x 趋于∞时的函数极限
设函数f 为定义在[,)a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数
()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，
记为()lim x f x A →+∞
=或()()f x A x →→+∞.
1.2 x 趋于0x 时函数的极限
设函数f 在点0x 的某个空心邻域()
0'0;U x δ内有定义，A 为定数，若对任给
的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作()0
lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→.
2.一元函数极限的求法总结
2.1 利用定义及极限的四则运算法则求极限
利用该法求极限，方法简单也易于掌握.但多数情况下是不能直接用，应掌
握一些变形技巧.
例1 求()lim 1n n q q →∞
<.
解 对0ε∀>，取正整数lg lg N q
ε
⎡⎤>⎢
⎥
⎣⎦
，则当n N >时，有lg lg n q ε
>，即lg lg n q ε<，从而n
q ε<，故0n q ε-<，由定义，则有()lim 01n n q q →∞
=<.
例2 求22323
lim 1
n n n n →∞+++.
解 2
22
222
2323
33lim lim 323300lim lim 31111011lim x x n n x n n n n n n n n
n →∞→∞→∞→∞→∞++++++++====++++. 2.2 利用代入法求极限
若所给的函数是初等函数，且在0x 有定义，由连续性知，()()0
0lim x x f x f x →=，
求得的函数即为其极限值.
例3
求1
lim arc x →解 因为01x =是初等函数(
)f x =定义区间内的一点，
所以(
)1
lim 1arccos 26
x f π
→===. 例4
求sin 2x a a →⋅ ⎪⎝⎭.
解 因为0x a =是函数(
)sin 2f x a =
⋅ ⎪⎝⎭
定义区间内的一点，
所以4sin sin 22x a a a π
→==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
2.3 利用两个重要的极限求极限
两个重要的极限为0sin lim
1x x x →=（或0lim 1sin x x
x
→=）和()1
0lim 1x x x e →+=（或
1lim 1x
x e x →∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭）
，使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数做适当的变形，使之具有相应的形式.
例5 求201cos lim
x x
x
→-. 解 2
200sin 1cos 112lim
lim 222x x x x x x →→⎛
⎫ ⎪-== ⎪ ⎪
⎝⎭
. 例6 求()10
lim 12x
x x →+.
解 ()
()()111
2220
lim 12lim 1212x
x x x x x x x e →→⎡⎤
+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦
. 2.4 利用等价无穷小求极限
常见的等价无穷小量()0x →时： sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，
2
11cos ~
2
x x -. 例7 求极限0arctan lim
sin 4x x
x
→.
解 由于()()arctan ~0,sin 4~40x x x x x x →→, 则00arctan 1
lim
lim sin 444
x x x x x x →→==.
例8 求极限30tan sin lim sin x x x
x
→-. 解 由于()sin tan sin 1cos cos x
x x x x
-=-,
而()()()2
33sin ~0,1cos ~0,sin ~02
x x x x x x x x x →-→→,
则23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅
-=⋅=. 2.5 利用洛必达法则求极限
运用洛必达法则求极限的注意地方：
①仅对“00”与“∞
∞
”型未定式适用，其它未定式“0⋅∞”、“∞⋅∞”、“00”、
“0∞”、“1∞”都可化为“00”与“∞
∞
”型，前两种采用恒等变形的方法；后三种
采取先化为指数形式或用取对数的形式化为“00”与“∞
∞
”型.
②应对分子分母分别求导，不能对整个分式求导.
③若()()''lim f x g x 不存在，不能由些断言()
()lim f x g x 也不存在，只能说明洛必达法
则此时失效，应采用其它方法.
例9 求()0sin lim
0sin x ax
b bx →≠.
解 ()00sin cos lim 0lim sin cos x x ax a ax a
b bx b bx b
→→≠==. 例10 求()ln lim 0n x x
n x
→+∞>.
解 ()11
ln 1
lim 0lim lim 0n n n x x x x x n x nx nx -→+∞→+∞→+∞>===.
例11 求()0
lim ln 0n
x x x n +
→>. 解 这是未定式0⋅∞，因为ln ln 1n n
x
x x x =
, 当0x +→时，上式右端是未定式∞
∞
，应用洛必达法则，得
1
00001
ln lim ln lim lim lim 0n n n n x x x x x x x x x x nx n ++++
---→→→→⎛⎫-==== ⎪-⎝⎭
. 2.6 利用泰勒展开式求极限
定理 若函数()f x 在点0x x =附近具有直到n 阶的导数，并且()()n f x 在
0x x =处还是连续的，则有
()()()()()()()()()()2
00'
000000"2!
!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο⎡⎤=+-+-+
+-+-⎣⎦特别当00x =时，
()()()()()()()()'
2
"000002!
!
n n n f f f x f f x x x x x n ο=++
+++→.
例12 求2
2
4
0cos lim x x x e x -
→-.
解 因为()22
22222
11022!22x x x x e
x ο-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪=+-+-+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()24
5cos 102!4!
x x x x x ο=-++→,
于是()2
42
4
400cos 11
lim
lim 1212x x x x x e
x x ο-
→→⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪⎝⎭
.
例13 21lim ln 1x x x x →+∞
⎡⎤
⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
解 因为当x →∞时，
1
0x
→， 所以()22
11111ln 12x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+→+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
从而()()211ln 112x x x x ο⎛⎫
+=-+→+∞ ⎪⎝⎭
,
于是()2111
lim ln 1lim 122x x x x x ο→+∞
→+∞⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦.
2.7 利用定积分的概念求极限
设函数()f x 在有限区间[],a b 上连续，把区间n 等分，作和式
1
n
k b a b a f a k n n =--⎛
⎫+⋅ ⎪⎝⎭
∑取n →∞，则定积分定义有
()1
lim n
b a n k b a b a f a k f x dx n n →∞=--⎛
⎫+⋅= ⎪⎝
⎭∑⎰.
例14
求极限x n
+
+.
解
1
3
12
2
lim
3
2
3
x x
n n
n n
x
→∞
⎫
++
====
⎪⎪
⎭
⎰.
2.8 利用两边夹法则求极限
定理若lim lim
X Y A
==，而X Z Y
≤≤，则极限lim Z A
=.
使用此法则求极限lim Z的关键是设法寻找变量X和Y，使满足X Z Y
≤≤,且lim lim
X Y A
==.
例15 求极限
222
12
lim
12
x
n
n n n n n n n
→∞
⎛⎫
+++
⎪
++++++
⎝⎭
.
解因为
22222
121212
121
n n n n n n n n n n n n n n n
++++++
<+++<
++++++++++
, 而
()
()
22
1
1211
2
lim lim lim
2222
x x x
n n
n n
n n n n n n
→∞→∞→∞
+
++++
===
++++
,
()
()
()
222
1
1
121
2
lim lim lim
112
21
x x x
n n
n n
n
n n n n n n
→∞→∞→∞
+
+
+++
===
++++++
,
由两边夹法则得，
222
121
lim
122
x
n
n n n n n n n
→∞
⎛⎫
+++=
⎪
++++++
⎝⎭
.
参考文献：
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