2019年江苏省南京市高考数学三模补偿训练试卷-学生版+解析版

3
33 2
则 2 (5 ， ) ， 2 (2 ,13 ) ，
36
3
6
(5 ， ) ， ( ,13 ) ，
6 12 2
6
12


(
，
)
，
(5
， 11
) ，


(13
，
5
)．
43
6 12
12 4
业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查，则 [2500 ， 3500) （元 ) 月收入段应出去 人．
5．（5 分）（2019•南京三模）设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若
S4 S2
4 ，则
S8 S4

．
6．（5 分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面
3
3
则 7 ． 6
【解答】解：解法一：函数 f (x) sin(2x )(0x ) ， 2x [ ， 7 ) ．
3
33 3
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f ( ) sin(2 ) f ( ) sin(2 ) 1 (0, 1) ， ( ) ，不妨假设 ，
15．（14 分）（2019•南京三模）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，
已知 a ， b ， c 成等比数列，且 cos B 3 ． 4
（1）若 BABC 3 ，求 a c 的值； 2
（2）求 cos A cos C 的值． sin A sin C
3
3
则
．
9．（5
分）（2019•南京三模）若函数
f
(x)

x 2x , x0
ax

lnx,
x

，在其定义域上恰有两个零点， 0
则正实数 a 的值为
．
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10．（5 分）（2019•南京三模）已知点 A(1, 0) ， B(1, 0) ，若圆 (x a 1)2 ( y a 2)2 1 上
再根据：
sin(2

) sin(2


)

2 2 cos
2

2 3
sin
2
2

2 cos(


)sin(
)
0，
故答案为： 9 ． 2
7．（5 分）（2019•南京三模）双曲线的两个焦点为 F1 ， F2 ，以 F1F2 为边作正方形 F1F2MN ，
且此双曲线恰好经过边 F1N 和 F2M 的中点，则此双曲线的离心率为
5 1 ． 2
【解答】解：如下图， |
F1F2
|
2c
，|
AF2
|
1 2
MF2

c
，|
(0.0005 0.0003) 500 0.4 ，
在 [2500 ， 3500) （元 ) 月收入段应抽出
100 0.4 40 人，
故答案为：40．
5．（5
分）（2019•南京三模）设等比数列 {an} 的前
n
项和为
Sn
，若
S4 S2
4 ，则
S8 S4

10 ．
【解答】解： S4 4 ， S2
①当 x 0 时，试判断 f (x) 与 (x c)2 的大小关系，并证明之；
②对满足题设条件的任意 b 、 c ，不等式 f （c） Mc2f （b） Mb2 恒成立，求 M 的取值 范围．
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2019 年江苏省南京市高考数学三模补偿训练试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写 在答题卡的指定位置上．
积为 18，则这个球的体积为
．
7．（5 分）（2019•南京三模）双曲线的两个焦点为 F1 ， F2 ，以 F1F2 为边作正方形 F1F2MN ，
且此双曲线恰好经过边 F1N 和 F2M 的中点，则此双曲线的离心率为
．
8．（5 分）（2019•南京三模）已知函数 f (x) sin(2x )(0x ) ，且 f ( ) f ( ) 1 ( ) ，
根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职
业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查，则 [2500 ， 3500) （元 ) 月收入段应出去 40 人．
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【解答】解：由频率分布直方图可知在 [2500 ， 3500) （元 ) 月收入段的频率为
1．（5 分）（2019•南京三模）已知集合 A {x N |1x3} ，B {2 ，3，4，5} ，则 A B
{1 ，2，3，4， 5} ． 【解答】解： A {1 ，2， 3} ， B {2 ，3，4， 5}，
A B {1，2，3，4， 5}．
故答案为：{1 ，2，3，4， 5}． 2．（5 分）（2019•南京三模）已知复数 z 满足 z(1 2i) 3 i （其中 i 为虚数单位），则 | z |
【解答】解：设正方体的棱长为 a ， 这个正方体的表面积为 18，
6a2 18 ，
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则 a2 3 ，即 a 3 ， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径，
即 3a 2R ，
即R 3， 2
则球的体积V 4 ( 3)3 9 ； 32 2
AB 的中点，直线 OD 与 l 交于点 Q ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
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19．（16 分）（2019•南京三模）已知数列 {an} 的首项 a1 2a 1(a 是常数，且 a 1) ， an 2an1 n2 4n 2(n 2) ，数列 {bn} 的首项 b1 a ， bn an n2 (n 2) ． （1）证明：{bn} 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列； （2）设 Sn 为数列{bn} 的前 n 项和，且{Sn} 是等比数列，求实数 a 的值； （3）当 a 0 时，求数列{an} 的最小项．
的值为
．
3．（5 分）（2019•南京三模）从某班抽取 5 名学生测量身高（单位： cm) ，得到的数据为
160，162，159，160，159，则该组数据的方差 s2
．
4．（5 分）（2019•南京三模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并
根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职
20．（16 分）（2019•南京三模）已知函数
f (x) x2
bx c(b,c R) ，并设 F (x)
f (x) ex
，
（1）若 F (x) 图象在 x 0 处的切线方程为 x y 0 ，求 b 、 c 的值；
（2）若函数 F (x) 是 (, ) 上单调递减，则
17．（14 分）（2019•南京三模）如图，某公园内有两条道路 AB ， AP ，现计划在 AP 上选 择一点 C ，新建道路 BC ，并把 ABC 所在的区域改造成绿化区域．已知 BAC ，
6 AB 2km ． （1）若绿化区域 ABC 的面积为1km2 ，求道路 BC 的长度； （2）若绿化区域 ABC 改造成本为 10 万元 /km2 ，新建道路 BC 成本为 10 万元 /km ．设 ABC (0 2 ) ，当 为何值时，该计划所需总费用最小？
3
18 ． （ 16 分 ） （ 2019 • 南 京 三 模 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆
C
:
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
的离心率为
2 ，且右焦点到右准线 l 的距离为 1．过 x 轴上一点 2
M (m ，0)(m 为常数，且 m (0, 2) 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，与 l 交于点 P ， D 是弦
s4 4s2 ，
4 a1(1 q2 ) a1(1 q4 ) ，
1 q
1 q
1 q2 4 ，
q2 3 ，
a1(1 q8 )

S8 S4

1 q a1(1 q4 )
1 q8 1q4
10 ，
1 q
故答案为：10．
6．（5 分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面 积为 18，则这个球的体积为 9 ． 2
16．（14 分）（2019•江苏二模）如图，在三棱锥 ABC A1B1C1 中， AB AC ， A1C BC1 ， AB1 BC1 ， D ， E 分别是 AB1 ， BC 的中点．求证： （1） DE / / 平面 ACC1 A1 ； （2） AE 平面 BCC1B1 ；
Hale Waihona Puke 第 2 页 共 17 页足
DE

2EC
，且
AE

BE

2
，若
AEEC

8
，则
ADBC
的值为
．
5
13．（5 分）（2019•南京三模）已知在 ABC 中， a ， b ， c 分别为三个内角 A ， B ， C 的
对边，若 tan A 2 tan B ，则 b c 的最大值为
AF1
|
2a

c
，
在直角三角形 AF1F2 中， (2a c)2 (2c)2 c2 ，
化简，得： a2 ac c2 0 ，
即： ( c )2 c 1 0 ，解得： e c 1 5 ．
aa
a2
故答案为： 5 1 ． 2
8．（5 分）（2019•南京三模）已知函数 f (x) sin(2x )(0x ) ，且 f ( ) f ( ) 1 ( ) ，
2019 年江苏省南京市高考数学三模补偿训练试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写
在答题卡的指定位置上．
1．（5 分）（2019•南京三模）已知集合 A {x N |1x3} ，B {2 ，3，4，5} ，则 A B
．
2．（5 分）（2019•南京三模）已知复数 z 满足 z(1 2i) 3 i （其中 i 为虚数单位），则 | z |
．
a
14．（5 分）（2019•南京三模）设集合 M {a | a x y ， 2x 2y 2t ，其中 x ， y ， t ， a t
均为整数 }，则集合 M
．
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
存在点 M 满足 MAMB 3 ，则实数 a 的取值范围是
．
11．（5 分）（2019•南京三模）已知 x 0 ， y 0 ，x y 1 4 ，则 x y 的最小值为 ． xy
12．（5 分）（2019•南京三模）在平面凸四边形 ABCD 中， AB 2 2 ， CD 3 ，点 E 满
160，162，159，160，159，则该组数据的方差 s2 6 ． 5
【解答】解：数据 160，162，159，160，159 的平均数是：160，
则该组数据的方差 s2 1 (02 22 12 02 12 ) 6 ，
5
5
故答案为： 6 ． 5
4．（5 分）（2019•南京三模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并
的值为 2 ．
【解答】解：由 z(1 2i) 3 i ，
得 z 3 i (3 i)(1 2i) 1 7 i ， 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5
则 | z | 的值为 (1)2 ( 7 )2 2 ．
5
5
故答案为： 2 ．
3．（5 分）（2019•南京三模）从某班抽取 5 名学生测量身高（单位： cm) ，得到的数据为