高中数学选修2-1课时作业3：2.2.1 椭圆及其标准方程(一)

2.2.1 椭圆及其标准方程（一）
1．设P 是椭圆x 225＋y 216
＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )． A ．4 B ．5C ．8 D ．10
[解析] 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.
[答案] D
2．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )．
A ．椭圆
B ．直线
C ．圆
D ．线段
[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D.
[答案] D
3．如果方程x 2a 2＋y 2
a ＋6
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )． A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2
[解析] 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩
⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.故选D.
[答案] D
4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．
[解析] 由已知2a ＝8，2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，
∴椭圆标准方程为y 216
＋x 2＝1. [答案] y 216
＋x 2＝1 5．已知椭圆x 220＋y 2k
＝1的焦距为6，则k 的值为________． [解析] 由已知2c ＝6，∴c ＝3，而c 2＝9，∴20－k ＝9或k －20＝9，∴k ＝11或k ＝29.
[答案] 11或29
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，
所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.
又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212
＝1. (2)由题意知2c ＝10，2a ＝26，所以c ＝5，a ＝13，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦
点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144
＝1. 7．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )．
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
[解析] 如下图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)．又∵|PQ |＝|PF 2|，
∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.
[答案] A
8．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )．
A ．5
B ．4
C ．3
D ．1
[解析] 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，
又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，
由22＋42＝(25)2可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12
×2×4＝4，故选B.
[答案] B
9．若α∈(0，π2
)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
[解析] 方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 2
1
cos α
＝1. ∵椭圆的焦点在y 轴上，
∴
1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0，∴π4<α<π2. [答案] (π4，π2
) 10．椭圆x 212＋y 23
＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．
[解析] 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P 点的坐
标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32
＝0，∴x 1＝3.把x 1＝3代入椭圆 方程x 212＋y 23＝1，得y 1＝±32，即P 点的坐标为(3，±32)，∴|PF 2|＝|y 1|＝32
. 由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－
32＝732
， 即|PF 1|＝7|PF 2|.
[答案] 7
11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．
解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →
＝(－4＋c ，3)， F 2A →
＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.
∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．
∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 2
15＝1. 12．如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．
解 由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.
又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.
∵A (1，0)，C (－1，0)，
∴点M 的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52
，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214
. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2
214
＝1.。