线性规划方法在护士值班安排中的应用研究

线性规划方法在护士值班安排中的应用研究
【摘要】本文依据线性规划模型理论，阐述了线性规划模型的标准形式及模型建立的基本步骤；在此基础上，以护士值班安排为案例，建立了一周护士需求最少的线性规划模型，确定了其边界约束条件。

计算表明，线性规划最优化方法是解决护士人力资源分配的科学可行的方法。

【Abstract】Objective Based on related theory, standard form and basic steps of the Linear Programming(LP)Model were expatiated in this paper. The linear programming model of arrangement of nurses on duty was built and the boundary condition was confirmed. It is proved that LP approach is a practical and scientific tool for allocating manpower of nurses.
【Key words】linear programming；nurse；mathematics models
最优化方法是数学模型与应用科学技术结合的产物。

最优化问题主要包括线性规划方法、约束条件下的优化、无约束条件下的优化、线性约束下的二次规划、离散规划优化、整数规划优化、多目标规划优化等内容。

最优化方法中，目前应用最广泛和最成熟的是线性规划方法，它为实际应用提供了很好的基础平台和技术方法［1 2］。

科学合理地配置人员，目的是最大限度地发挥人力资源的作用，实现各类成本最低、工作效率最高。

宋焕虎［3］针对生产管理中出现的问题，利用线性规划理论合理优化配置了劳动力资源，优化了生产工艺衔接，实现了人员、设备、材料、时间的优化配置，提高了劳动生产率和经济效益。

谭凯波［4］探讨了如何对图书馆人力资源进行合理配置，为图书馆人力资源优化配置提供了一种科学的定量化依据。

卫生资源的合理配置问题已成为我国当前和今后卫生改革发展的重点和难点，高效率的卫生服务有助于减少投入、节约卫生资源，护理人力资源配置合理与否，直接关系到护理工作的质量和效率。

本文主要对线性规划方法在护士值班安排中的应用作一分析，建立值班护士人数极小的线性规划模型，确定其边界约束条件。

计算表明，线性规划最优化方法是解决护士人力资源分配的科学可行的方法。

1 线性规划模型的建立
1.1 线性规划模型的标准形
任何一个组织的管理通常都必须面对如何向不同的活动分配资源的问题作出决策，以最好地达到组织的目标。

线性规划模型便是在解决这样的实际问题中应运而生，它包含三个组成部分：
其一，决策变量。

即未知数，是系统中有待确定的未知因素，也是决策系统
中的可控因素，需要根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。

通常采用带有不同下标的英文字母表示不同的变量，如以X1、X2、X3、…Xi…等表示不同工作日的护士需求量。

其二，目标函数。

由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数。

线性规划的目标函数是求系统目标的极值，极大值如效率极大、利润极大，或极小值，人数极小或成本极小等。

其三，约束条件。

是指由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件，其中，线性规划的变量应为正值，即非负约束，因为在实际问题中变量代表的均为实物，不能为负。

当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时，该模型称为线性规划模型。

由此，线性规划模型的标准形式为：
min z=∑nj=1c j•x j（式1）
s.t.∑nj=1aijx j=b i(i=1,2,…,m)（式2）
x j≥0 (j=1,2,…,n) （式3）
将上式展开，即
min z=c1x1+c2x2+…+c nx n（式4）
s.t.a11x1+a12x2+…+a1nx n=b1
a21x1+a22x2+…+a2nx n=b2
… …
am1x1+am2x2+…+amnx n=b m（式5）
x1,x2,…,x n≥0 （式6）
其中行向量c=(c1,c2,…,c n)称为目标函数系数向量，列向量x=(x1,x2,…,x n)T称为决策变量，b=(b1,b2,…,b m)T称为右边向量，矩阵
A=A=
a11a12...a1j (1)
a21a22...a2j (2)
………………
ai1ai2...aij (i)
………………
aM1aM2…aMj…aMN
（式7）
称为约束系数矩阵。

根据实际问题建立的模型常常不是标准形，可以通过数学方法转化为标准形，如变量代换、增加松弛变量等［1］。

1.2 护士值班安排线性规划模型某医院一周内每天（周一至周日）所需的最少值班护士人数为N1、N2、N3、N4、N5、N6和N7，每个护士一周连续工作5天，建立每周所需最少护士人数的线性规划模型。

上述护士值班安排问题可以归结为：①需求：如何知晓一周内开始连续上班的第一天的护士人数;②供给：约定在值班安排运转稳定，不考虑非正常条件下（病假等）的值班护士;③利用和配置：如何在满足每天值班护士人数前提下，尽可能节约人力资源。

本案例护士资源利用与配置的目标是护士人数的最小化，约束条件是使每天的护士人数满足当天的护士人数，且连续上班五天，休息两天。

根据以上线性规划模型理论分析，按如下三步建立护士值班安排线性规划模型：①确定决策变量：一周内开始连续上班的第一天的护士人数Xi；②建立目标函数：一周内开始连续上班的第一天的护士人数Xi之和最小，即min z=∑7i=1X i（式8）
③确定约束条件：一周内每天至少需要的护士人数，及Xi非负，即：
X4＋X5＋X6＋X7＋X1≥N1(式9a）
X5＋X6＋X7＋X1＋X2≥N2(式9b）
X6＋X7＋X1＋X2＋X3≥N3(式9c）
X7＋X1＋X2＋X3＋X4≥N4(式9d）
X1＋X2＋X3＋X4＋X5≥N5(式9e）
X2＋X3＋X4＋X5＋X6≥N6(式9f）
X3＋X4＋X5＋X6＋X7≥N7(式9g）
X i≥0且为整数（i＝1,…,7）（式10）
式中：z 一周内所需护士人数的总和；Xi一周内开始连续上班的第一天的护士人数。

线性规划模型约束条件的线性方程组如下所示：
1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1X1X2X3X4X5X6X7N1N2N3N4N5N6N7（式11）
式中符号同前。

2 案例与求解
某医院一周内每天（周一至周日）所需的最少值班护士人数为8、10、10、10、10、6和5，每个护士一周连续工作5天，试求每周所需最少护士人数，并给出值班安排。

根据上述建立的线性规划模型，将8、10、10、10、10、6和5分别代入N1、N2、N3、N4、N5、N6和N7。

采用美国芝加哥LINDO（Linear Interaction and Discrete Optimizer）公司研制的LINGO软件编程求解［6］，LINGO程序如下：
model:
sets:
days/mon tue wen sur fri sat sun/:required,start;
endsets
data:
!每天所需的最少护士人数;
required=8 10 10 10 10 6 5;
enddata
!最小化每周所需护士人数;
min=@sum(days:start);
@ for(days( I):@gin(start( I)));
@for(days(J):
@sum(days(I)| I #le# 5:
start(@wrap(J+I+2,7)))＞=required(J));
end
运行程序，得到最优化结果见表1。

表1
某医院护士值班安排（连续五天的第一天值班人数）计算成果
星期一二三四五六日合计
人数522011112
由表可知，该医院护士值班稳定运转后，每周内所需的最少护士人数为12人，其中周一至周日，连续五天的第一天值班人数分别为5、2、2、0、1、1、1人。

3 讨论
3.1 本文阐述了线性规划模型的标准形式及模型建立的基本步骤，对于如何分配资源以最好地达到目标，即解决有关求极值的实际问题具有一定通用性。

3.2 本文建立的护士值班线性规划模型，基本解决了护士值班方案编排的同
类问题，具有一定代表性；文中给出的LINGO程序，为求解该类线性规划模型提供了参考，其中要注意此例决策变量为整数。

3.3 考虑到本文中连续值班五天的方案，每名护士在周末（周六、周日）两天内休息安排不均匀，或为作为奖励，规定放弃周末休息的护士，其奖金比其他护士增加一定比例，求值班护士最少人数和开支最经济的方案问题，亦可通过线性规划方法求解，可进一步深入探讨。

3.4 护士值班问题是一个系统工程，影响值班方案编排的因素很多，在采用线性规划方法时，应根据医院的实际情况，科学建立相应的目标函数，合理确定对应的约束条件，方能达到事半功倍的效果。

参考文献
［1］束金龙,闻人凯.线性规划理论与模型应用.科学出版社，2003：10.
［2］王金南,潘向忠.线性规划方法在环境容量资源分配中的应用.环境科学，2005,26(6):195 198.
［3］宋焕虎，郭立稳，赵树果.线形规划理论在企业劳动生产率管理中的应用研究，2010,492(4):127 129.
［4］谭凯波,申理哲.基于线性规划的图书馆人力资源配置研究.中国科技博览，2009,13:194 194.
［5］HELP OF LINGO5.0 MODEL. Linear Interaction and Discrete Optimizer(LINDO).1999.。