人教版高中数学高一A版必修4导学案 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(三)

课堂导学
三点剖析
1.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简，求值和证明
【例1】求值：（tan10°-3）·
︒︒50sin 10cos 解法1：（tan10°-3）
︒︒50sin 10cos =(tan10°-tan60°)︒
︒50sin 10cos =（︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin ）︒
︒50sin 10cos =︒
︒•︒•︒︒-50sin 10cos 60cos 10cos )50sin( =.260cos 1-=︒
- 解法2：（tan10°-3)︒
︒50sin 10cos =(tan10°-tan60°)︒
︒50sin 10cos =tan(10°-60°)(1+tan10°tan60°)︒
︒50sin 10cos =-tan50°(1+tan10°·tan60°）︒
︒50sin 10cos =-tan50°（1+sin10°·︒︒•︒︒60cos 60sin 10cos 60sin ）︒
︒50sin 10cos =.250sin 10cos 60cos 10cos 50cos 50cos 50sin -=︒
︒•︒•︒︒•︒︒- 温馨提示
（1）在给角问题中，既有弦函数又有切函数的往往将切函数化为弦函数；
（2）在给角求值问题中应首先观察角之间的关系，要根据减元的思想即尽量减少一般角的个数.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用
【例2】 化简：3sin （x+20°）-5sin （x+80°）+32cos （x+20°）
思路分析：注意到式子中涉及的两角x+80°与x+20°之差为60°，是特殊角，进行变换化简. 解：原式=3sin （x+20°）-5sin ［（x+20°）+60°］+32cos （x+20°）
=3sin （x+20°）-5sin （x+20°）cos60°-5cos （x+20°）sin60°+23cos （x+20°）
=2
1sin （x+20°）-23cos （x+20°） =sin （x+20°）cos60°-cos （x+20°）sin60°
=sin （x+20°-60°）
=sin （x-40°）
温馨提示
对公式的灵活运用，主要从整体结构入手.还要特别注意角的联系及三角函数的名称.
3.注意角与角之间的联系，从整体入手解决问题
【例3】 化简：sin （α+β）cosα-2
1［sin （2α+β）-sinβ］. 思路分析：本题中出现α+β，α，2α+β，β四个角，为尽量减少角的个数，可以将2α+β，表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α，然后再利用两角差和的正余弦公式便可获解. 解：sin （α+β）cosα-
21［sin （2α+β）-sinβ］ =sin （α+β）cosα-2
1［sin （α+β+α）-sin （α+β-α）］ =sin （α+β）cosα-2
1［sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα-sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα］ =sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα
=sin （α+β-α）=sinβ.
温馨提示
本题仍是抓住题目中角之间的联系，利用角的变换将2α+β表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α.不要盲目的展成单角α与β的三角函数，那将会使题目变得相当复杂. 各个击破
类题演练1 求值：
︒
︒-︒20cos 20sin 10cos 2. 解：︒︒-︒-︒=︒︒-︒20cos 20sin )2030cos(220cos 20sin 10cos 2 =.320cos 20sin 20sin 20cos 320cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2=︒
︒-︒+︒=︒︒-︒︒+︒︒ 变式提升1
化简：sin50°(1+3·tan10°).
解：原式=sin50°(1+︒
︒10cos 10sin 3) =sin50°·︒
︒+︒10cos 10sin 310cos =sin50°·︒
︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(2 =sin50°·
︒
︒•︒+︒•︒•10cos )10sin 30cos 10cos 30(sin 2 =sin50°·︒︒10cos 40sin 2
=
︒
︒•︒10cos 40cos 40cos 2 =.110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 40cos 40sin =︒︒=︒︒=︒︒•︒+︒•︒ 类题演练2
tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA=___________.
解析：tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA
=tanA （1+tan3A·tan2A ）-tanA-tan3A·tan2A·tanA
=tanA·tan2A·tan3A-tan3A·tan2A·tanA
=0.
答案：0
变式提升2
(2004重庆)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ） A.-21 B.2
1 C.-23 D.23 解析：原式=sin （180°-17°）·sin （180°+43°）+sin （180°+73°）·sin （360-47°） =sin17°·（-sin43°）+（-sin73°）·（-sin47°）
=-sin17°·sin43°+cos17°·cos43°
=cos （43°+17°）=cos60°=
2
1. 答案：B
类题演练3 求证：
αβαsin )2sin(+-2cos （α+β）=α
βsin sin . 证明：左边=α
αβααβαsin sin )cos(2])sin[(+-++ =α
αβααβααβαsin sin )cos(2sin )cos(cos )sin(+-+++ =α
αβααβαsin sin )cos(cos )sin +-+( =α
αβαsin ])sin[(-+ =αβsin sin =右边. ∴原式得证.
变式提升3
已知3sinβ=sin （2α+β），求证：tan （α+β）=2tanα.
证明：∵3sinβ=sin （2α+β），
∴3sin ［（α+β）-α］=sin ［（α+β）+α］，
3sin （α+β）cosα-3cos （α+β）sinα=sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα.
∴2sin （α+β）cosα=4cos （α+β）sinα.
∴tan （α+β）=2tanα.。