高考数学模拟试卷复习试题全国统一高考数学试卷理科全国卷Ⅰ6

高考数学模拟试卷复习试题全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U （A∩B）中的元素共有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）
A．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i
3．（5分）不等式＜1的解集为（）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种
6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）
A．B．C．D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1B．2C．D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）
A．B．2C．D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．
14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=．
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．
16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且
sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
20．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+．
（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、
B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）证明：．
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数
313i
i
+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -
（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x
f x =-，则(2)f -=
（A ）1 （B ）1- （C ）
14 （D ）114
- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=
（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63
（4）已知抛物线2
4x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为
（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：
①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3
,sin cos 2
R ααα∃∈+=
③1
,sin cos 2
R ααα∀∈≤
④3,sin cos 4R ααα∃∈=
其中正确命题的序号是
①②③④
（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④
（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为
（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12
（7）已知椭圆221:
12x y C m n +=+与双曲线22
2:1x y C m n
-=共焦
点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为
（A ）2(
,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1
(0,)2
（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
310
30
10
x y
x y
x
-+≤
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-≥
⎩
，则tan AOB
∠的最大
值等于
（A）1
2
（B）
3
4
（C）
4
7
（D）
9
4
（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)
2
f x x x
π
ϕϕϕ
=+++<，且其图象关于直线0
x=对称，则（A）()
y f x
=的最小正周期为π，且在(0,)
2
π
上为增函数
（B）()
y f x
=的最小正周期为π，且在(0,)
2
π
上为减函数
（C）()
y f x
=的最小正周期为
2
π
，且在(0,)
4
π
上为增函数
（D）()
y f x
=的最小正周期为
2
π
，且在(0,)
4
π
上为减函数
（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是
（A）7（B）2 （C）3（D）5
（11）根据如图所示程序框图，若输入2146
m=，1813
n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333
（12）已知函数
|21|,2
()3
,2
1
x x
f x
x
x
⎧-<
⎪
=⎨
≥
⎪-
⎩
，若方程()0
f x a
-=有三个不同的实数根，则实数a的
取值范围为
（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）6
1()ax x
-的二项展开式中的常数项为160，则实数a=______．
（14）已知数列{}n a 满足1
221(*)n n a n n N -=+-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S =_______．
（15）由曲线sin(
)2
y x π
=与3y x =在区间[0,1]上所围成的图形面积为______．
（16）在三棱柱'''ABC A B C -中，已知'AA ⊥平面ABC ，'2AB AC AA ===，23BC =，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）设23b =，6a c +=，求△ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2AB =，2BC =，且侧面PAB 是正三角
形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点．
（Ⅰ）求证：PD AC ⊥；
（Ⅱ）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的大小为45︒．若存在，试求
AE AP
的值，若不存在，请说明理由． （19）（本小题满分12分）
某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）．跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格” ．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．
（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5分，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少．
（Ⅲ）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的认输，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．
（20）（本小题满分12分）
已知圆C 的方程为2
2
4x y +=，过点(2,4)M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，直线
AB 恰好经过椭圆22
22:1(0)x y T a b a b
+=>>的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆T 的方程；
（Ⅱ）已知直线l 与椭圆T 相交于P 、Q 两不同点，直线l 方程为3(0)y kx k =+>，O 为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值． （21）（本小题满分12分）
已知函数1
()x
f x e x a
=+-． （Ⅰ）当1
2
a =
时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； （Ⅱ）函数()f x 是否存在零点．若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
点E ，如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于F 为BA 延长线上一点，且BD BE BA BF =，求证： （Ⅰ）EF FB ⊥；
（Ⅱ）90DFB DBC ∠+∠=︒．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极
坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，直线l 的方程为32212
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ．
（Ⅰ）求点T 的极坐标；
（Ⅱ）过点T 作直线'l ，'l 被曲线C 截得的线段长为2，求直线'l 的极坐标方程． （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|1||3|f x x x =-++．
（Ⅰ）求x 的取值范围，使()f x 为常函数；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x a -≤有解，求实数a 的取值范围．
理科数学答案
一、选择题：ABCDC ，CABBA ，BD
二、填空题：13，2-；14，2
21n n S n =+-；15，
4
1
2
-
π
；16，20π．三、解答题： 17．【解析】：
（Ⅰ）由正弦定理得：
(2)cos cos a c B b C -=⇒(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=……………2分
即：2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=………4分 在ABC ∆中，0sin 0A A π<<∴≠
1cos ,023
B B B π
π∴=<<∴=又，．…………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理得：2
2
2
122cos 60()3a c ac a c ac =+-=+-……………..8分 则8ac =……………..10分
11sin 822ABC S ac B ∆∴=
=⋅= ……………..12分 18．【解析】：
取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz
（如图）．则
(1,0,0),(1,0,0),(A B D C P --………..2分
（I
）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=
-
, ………..4分
∴(1,(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC ⊥，即PD ⊥AC. ………..6分 (II) 假设在棱
PA
上存在一点
E ，不妨设
AE =λ
AP (01)λ<<，
则点E 的坐标为(1)λ-， ………..8分
∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-=
设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则
n BE n BD ⎧⊥⎪⎨
⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪
⎩(2)00200
x y z x y z λ⎧-+⋅+=⎪
⇒⎨+⋅=⎪
⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩
，
不妨取x =
EBD
的一个法向量2(3,)n λ
λ
-=--
． (10)
分
又面ABD 的法向量可以是HP ， 要使二面角EBDA 的大小等于45°，
则0
(cos 45|cos ,|(HP n
HP n HP n ⋅=<>==⋅
可解得12λ=
，即AE =1
2
AP 故在棱PA 上存在点E ，当1
2
AE AP =时，使得二面角EBDA 的大小等于45°
．……..12分 19.【解析】
（Ⅰ）中位数176178
1772
+=
=cm. ………..2分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，
用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是6
1305=， 所以选中的“合格”有26
1
12=⨯人，………..4分 “不合格”有36
1
18=⨯
人．………..6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为0,1,2．则
28212C 2814
(=0)C 6633===P X ，
1148
212C C 3216(1)C 6633
====P X ，
24212C 63
(2)C 6633
====P X ．
因此，X的分布列如下：
………..10分
14163222
012
333333333
∴=⨯+⨯+⨯==
EX．………..12分
备注：一个概率1分，表格1分，共4分
20．【解析】
（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2
x=，设另一条切线方程为：4(2)
y k x
-=- ..2分2
=，解得：
3
4
k=，此时切线方程为：
35
42
y x
=+
切线方程与圆方程联立得：
68
,
5
5
x y
=-=，则直线AB的方程为2
2=
+y
x……….4分令0
=
x，解得1
=
y，∴1
=
b；令0
y=,得2
x=,∴2
=
a
故所求椭圆方程为1
4
2
2
=
+y
x
……….6分
（Ⅱ）联立2
2 1.
4
y kx
x
y
⎧=+
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
整理得()0
8
3
8
4
12
2=
+
+
+kx
x
k，
令)
,
(
1
1
y
x
P，)
,
(
2
2
y
x
Q，则
2
2
14
1
3
8
k
k
x
x
+
-
=
+
，
2
2
14
1
8
k
x
x
+
=，
)
4
1(
32
)
3
8(2
2>
+
-
=
∆k
k，即：0
1
22>
-
k………..8分
原点到直线l
的距离为
=
d………..10分
12
|||
PQ x x
=-，
∴
12
1
||
2
OPQ
S PQ d x x
∆
=⋅=-==
=1
=≤
当且仅当k=OPQ
∆面积的最大值为1. ………..12分21．【解析】：
（Ⅰ）
1
()x
f x e
x a
=+
-
，
2
1
'()
()
x
f x e
x a
=-
-
，
2
1
'(0)1
f
a
=-．
当
1
2
a=时，'(0)3
f=-．又(0)1
f=-．………..2分
则()
f x在0
x=处的切线方程为31
y x
=--．………..4分
（Ⅱ）函数()
f x的定义域为(,)(,)
a a
-∞+∞．
当(,)
x a
∈+∞时，
1
0,0
x
e
x a
>>
-
，所以
1
()0
x
f x e
x a
=+>
-
．
即()
f x在区间(,)
a+∞上没有零点．………..6分
当(,)
x a
∈-∞时，
1()1
()
x
x
e x a
f x e
x a x a
-+
=+=
--
，
令()()1
x
g x e x a
=-+．………7分
只要讨论()
g x的零点即可．'()(1)
x
g x e x a
=-+，'(1)0
g a-=．
当(,1)
x a
∈-∞-时，'()0
g x<，()
g x是减函数；
当(1,)
x a a
∈-时，'()0
g x>，()
g x是增函数．
所以()
g x在区间(,)a
-∞最小值为1
(1)1a
g a e-
-=-．………..9分
显然，当1
a=时，(1)0
g a-=，所以1
x a
=-是()
f x的唯一的零点；
当1
a<时，1
(1)10
a
g a e-
-=->，所以()
f x没有零点；
当1
a>时，1
(1)10
a
g a e-
-=-<，所以()
f x有两个零点．………..12分22．【解析】：
（Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中
BD BE BA BF ⋅=⋅BD BF
BA BE
∴
=
………..2分 又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆………..4分 则90EFB ADB ∠=∠=
EF FB ∴⊥………..5分
(Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠=
又90EFB ∠=
∴E F A D 、、、四点共圆； ………..7分
DFB AEB ∴∠=∠………..9分
又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=，
∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠=………..10分
23．【解析】：
（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2
2
40x x y -+=． ………..2分
将212
x y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
代入上式并整理得2120t -+=．
解得t =T
的坐标为． ………..4分
其极坐标为(2,
)3
π
………5分
（Ⅱ）设直线l '
的方程为(1),0y k x kx y k =--+=即．
………..7分
由（Ⅰ）得曲线C 是以(2,0)为圆心的圆，且圆心到直线l '
．
=0k =
，或k =
直线l '
的方程为y =
y =． ………..9分
其极坐标方程为sin 3
π
ρθθ==
()R ρ∈．…………………………10分
B
24．【解析】：
（Ⅰ）22,3()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪
=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
………..4分
则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数()f x 的最小值为4， ………..8分 则实数a 的取值范围为4a ≥.…..10分
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则
|AB|=．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
一等奖3红1蓝200元
二等奖3红0蓝50元
三等奖2红1蓝10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．
重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）={4}．
故选：D．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，
即可得到所求式子的最大值．
【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，
由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫
做中位数．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．
【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到
一个四棱柱，
由图知V==200．
故选：C．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．
【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；
又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．
【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，
考查转化思想与计算能力．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环 log23 3
第二次循环log23•log34 4
第三次循环log23•log34•log45 5
第四次循环log23•log34•log45•log56 6
第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．
故选：B．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出
内在规律．本题属于基础题．
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
==
===．
故选：C．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]
【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．
【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），
由=1，得，则
∵||＜，∴
∴
∴
∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，
∴y2≤1
同理x2≤1
∴x2+y2≤2②
由①②知，
∵||=，∴＜||≤
故选：D．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：|z|===．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．
【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n
项和公式即可求得答案．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，
∴=a1•（a1+4d），又a1=1，
∴d2﹣2d=0，公差d≠0，
∴d=2．
∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．
【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．
【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，
1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，
1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，
2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，
1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，
2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，
共计20+60+120+90+180+120=590种
间接法：
﹣﹣﹣+1=590
故答案为：590．
【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．
【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．
由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．
故答案为5．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．
【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．
【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），
则|AB|=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，
再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，
故答案为：（﹣∞，8]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．
【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），
由切线与y轴相交于点（0，6）．
∴6﹣16a=8a﹣6，
∴a=．
（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，
故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．
【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
一等奖3红1蓝200元
二等奖3红0蓝50元
三等奖2红1蓝10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求
（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）
∴P（A1）==
（2）X的所有可能取值为0，10，50，200
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=
P（X=50）=P（A3）P（B0）==
P（X=10）=P（A2）P（B1）==
P（X=0）=1﹣=
∴X的分布列为
x 0 10 50 200
P
EX==4元
【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；
（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，。