人教版初中数学2019-2020学年九年级(上)期中模拟试卷解析版

人教版初中数学2019-2020学年九年级（上）期中模拟试卷
一．选择题
1．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长比是（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
2．二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
3．已知，在平面直角坐标系中，P为以点A（0，4）为圆心，2为半径的圆上一动点，则点P与点B（m，m）距离的最小值为（）
A．6B．2﹣2C．8D．2+2
4．把抛物线y＝﹣x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
5．关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④
6．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）
A．0≤t＜2或10＜t≤12B．0≤t≤2或10≤t≤12
C．0≤t＜2或6＜t≤8D．0≤t≤2或6≤t≤8
7．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）
A．12B．24C．36D．48
8．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）
A．7B．17C．7或17D．34
9．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是（）
A．2米B．米C．2米或米D．3米
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中，
①4ac＜b2；
②a＞b＞c；
@次函数y＝a+c的图象不经第四象限；
④m（am+b）+b＜a（m是任意实数）；
⑤3b+2c＞0；
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题
11．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是．
12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为．
14．已知a2+a＝3，b2+b＝3，则+＝；﹣＝．
15．如图，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且OM＝3，CD＝4，BD＝12，则⊙O的半径为．
16．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y有最大值为4，则m的值为．三．解答题
17．计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．
18．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0
19．长沙市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，天心阁、岳麓山、橘子洲三个景区是人们节假日游玩的热点景区，李老师对九年级1班学生五一长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；
B、游两个景区；
C、游一个景区；
D、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形
统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有学生人，请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为；
（3）若小明、小华两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区，请用列表或者画树状图的形式求出他们同时选中岳麓山的概率．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝20．
（1）求BC的长度；
（2）若∠ADC＝75°，求CD的长．
21．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得+＝16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．22．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于F．（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP 与线段CE的数量关系，并说明理由．
24．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵
，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，的最小值为；当x＜0时，的最大值为．
（2）当x＞0时，求的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版初中数学2019-2020学年九年级（上）期中模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比是1：2，
故选：B．
2．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故选：D．
3．【解答】解：设直线m为：y＝x，过点A作AB⊥m于点B，与圆A交于点P，此时P与B的距离最小．
过B作BC⊥x轴于点C，则BC＝||，OC＝|m|，
∴tan∠BOC＝，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝30°，
∴AB＝OA sin30°＝，
∵AP＝2，
∴BP＝2﹣2，
故选：B．
4．【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以所得抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：B．
5．【解答】解：垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．
故选：C．
6．【解答】解：y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，则点A0、A1的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），点的D1（0，4），
则下方图象与x轴另外一个交点坐标为：（6，0），而点D2（4，﹣4），
将点D1、D2的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线D1D2的函数表达式为：y＝﹣2x+4，
①当直线l在x轴的上方时，
x1+x2＝0，当直线l过点D1时，x3＝0，则t＝0，
当直线l在轴上时，x3＝2，则t＝2，
故0≤t＜2；
②当直线l在x轴的下方时
同理可得：10≤t≤12；
故选：A．
7．【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线．
∴点E是AC中点，
∴CE＝AE＝6．
∵DE＝5，
∴BC＝10．
∵∠BEC＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
∴根据勾股定理得，BE＝8，
∴△BCE的周长为BC+CE+BE＝10+6+8＝24．
故选：B．
8．【解答】解：如图，AE＝AB＝×24＝12，
CF＝CD＝×10＝5，
OE＝＝＝5，
OF＝＝＝12，
①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；
②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．
所以距离为7或17．
故选：C．
9．【解答】解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）米、宽为（12﹣2x）米的矩形，根据题意得：（20﹣3x）（12﹣2x）＝112，
整理得：x1＝2，x2＝，
∵当x＝时，20﹣3x＝﹣12，
∴x2＝舍去．
故选：A．
10．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴b＞a＞c，所以②错误；
∵a＞0，c＜0，
∴一次函数y＝ax+c的图象经过一三四象限，不过第二象限，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值y＝a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即m（am+b）+b≥a，所以④错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴18a﹣6b+2c＝0，
∵b＝2a，则a＝b，
∴9b﹣6b+2c＝0，即3b+2c＝0，所以⑤错误．
故选：A．
二．填空题
11．【解答】解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
12．【解答】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52＝（x+1）2，解得x＝12m．13．【解答】解：∵CD为Rt△ABC中斜边AB边上的中线CD，
∴CD＝AB，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴点A到x轴的最小距离为2，即垂线段AB的最小值为2，
∴中线CD的最小值为1．
故答案为1．
14．【解答】解：∵a2+a＝3，b2+b＝3，
∴a、b看作方程x2+x＝3的两个根，
∴a+b＝﹣，ab＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣，
∵b﹣a＝±＝±
∴﹣＝＝±，
故答案为：﹣，±．
15．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠C，∠ABE＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABE，
∴△BDC∽△ABE，
∴＝＝＝，
设BE＝x，AB＝3x，
∴AE＝x，
∵OM⊥AB，
∴OM∥BE，
∵AO＝OE，AM＝BM，
∴OM＝BE＝x＝3，
∴x＝6，
∴AE＝6，
∴AO＝3，
∴⊙O的半径为3，
故答案为：3．
16．【解答】解：y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），
①若m≤﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣；
m＝﹣＞﹣2（舍去）；
②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2；
③若﹣2≤m≤1，当x＝m时，y＝m2+1＝4，
即：m2+1＝4，
解得：m＝或m＝﹣，
∵﹣2≤m≤1，
∴m＝﹣，
故答案为：2或﹣．
三．解答题
17．【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣×
＝2﹣1
＝1．
18．【解答】解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，
则x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣10x+22＝0，
∴x2﹣10x+25﹣3＝0，
则x2﹣10x+25＝3，即（x﹣5）2＝3，
∴x﹣5＝±，
∴x＝5±，
即x1＝5+，x2＝5﹣．
19．【解答】解：（1）∵A类5人，占10%，∴九（1）班共有学生有：5÷10%＝50（人）；
∴D类别人数为50﹣（5+10+15）＝20人，
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为：×360°＝72°；
故答案为：72°；
（3）分别用1，2，3表示天心阁、岳麓山、橘子洲，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，他们同时选中岳麓山的只有1种情况，
∴他们同时选中岳麓山的概率为．
20．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
在Rt△ACE中，∵∠C＝60°，
∴CE＝AC＝10，AE＝CE＝10，
在Rt△ABE中，∵∠B＝45°，
∴BE＝AE＝10，
∴BC＝BE+CE＝10+10；
（2）∵∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
而∠ADC＝75°，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠ACD＝∠BCA，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝20﹣20．
21．【解答】解：（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8＞0，
∴m＜1；
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2﹣1．
∵+＝16+x1x2
∴，
∴4（m﹣1）2＝16+3（m2﹣1），
解得：m1＝﹣1，m2＝9，
∵m＜1，
∴m＝9舍去，
即m＝﹣1．
22．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100）、（60，80）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）；
（2）W＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当x＝70时，W取得最大值为1800，
答：W与x之间的函数表达式为W＝﹣2x2+280x﹣8000，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．23．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴P A＝PC，
∵P A＝PE，
∴PC＝PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵P A＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；
（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，
∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD，∴∠CPF＝∠EDF
∵∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE；
24．【解答】解：（1）当x＞0时，≥2＝2；
当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）
∵﹣x﹣≥2＝2
∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2
∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．
故答案为：2；﹣2；
（2）由，
∵x＞0，
∴，
当时，最小值为11．
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：9＝4：S△AOD
∴：S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25
当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
25．【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），
即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，﹣x﹣2），
∵PE＝OD，OD＝﹣x，
∴PE＝（x2+x﹣2+x+2）＝x2+x，
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），
即点D（﹣5，0）
S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，
①当BD＝BM时，
过点M作MH⊥x轴于点H，
BD＝1＝BM，
则MH＝y M＝BM sin∠ABC＝1×＝，
则x M＝﹣，
故点M（﹣，）；
②当BD＝DM（M′）时，
同理可得：点M′（﹣，）；
故点M坐标为（﹣，）或（﹣，）．。