江苏省宿迁市—高一数学苏教暑期作业及答案：平面与平面的位置关系

高一数学暑假作业十七（平面与平面的位置关系）
一、填空题
1．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β的四个结论： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ⊥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；
④若l ⊂α，m ⊂α，l∩m＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中错误结论的序号是________． 2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d ，则在平面β内，下面说法正确的是________(填序号)．
①有且只有一条直线与平面α的距离为d ；②所有直线与平面α的距离都等于d ； ③有无数条直线与平面α的距离等于d ； ④所有直线与平面α的距离都不等于d.
3．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β.给出下面四个结论：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确结论的序号是________．
4．平面α∥平面β，△ABC 和△A ′B ′C ′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．（填“相似”或“全等”） 5．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题：
①
⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 不共面； ④
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥βm ∥α
⇒m ∥β，其中错误的是________(填序号)．
6．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是____(填序号)．
①平面ABC 必平行于α；②平面ABC 必与α相交；③平面ABC 必不垂直于α； ④存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内．
7．已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，
F ，已知AB ＝6，DE DF ＝2
5
，则AC ＝________.
8．设平面α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，当点S 在平面α，β之间时，CS 等于________． 9．下列说法中，正确说法的序号是________．
①平行于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行．
二、解答题
10．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点．
求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .
11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .
求证：MN ∥平面AA 1B 1B . 证明：
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
13．过点S引不共面的直线SA，SB，SC，如图，∠BSC＝90°，∠ASC＝∠ASB＝60°，若截取SA＝SB＝SC＝a.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
14．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．
(1)求证：PB∥平面EAC；
(2)若AD＝2AB＝2，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
高一数学暑假作业十七（平面与平面的位置关系）答案
一、填空题
1．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的四个结论：
①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l⊥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中错误结论的序号是________．
解析：①依据异面直线判定定理知其正确．②l、m在α内的射影为两条相交直线，记为l′、m′，则l′∥l，m′∥m.又∵n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′.∴n⊥α.故②正确．③满足条件的l和m可能相交或异面，故错误．④依据面面平行的判定定理知其正确．答案：③
2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下面说法正确的是________(填序号)．
①有且只有一条直线与平面α的距离为d；
②所有直线与平面α的距离都等于d；
③有无数条直线与平面α的距离等于d；
④所有直线与平面α的距离都不等于d.
解析：两个平面平行，其中一个平面内的所有直线到另一个平面的距离等于这两个平面间的距离．
答案：②
3．已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个结论：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.
其中正确结论的序号是________．
解析：由α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n 或m 、n 异面，∴②错． 答案：①③
4．平面α∥平面β，△ABC 和△A ′B ′C ′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．
解析：由于对应顶点的连线共点，则AB 与A ′B ′共面， 由面与面平行的性质知AB ∥A ′B ′，
同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′，故两个三角形相似． 答案：相似
5．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题：
①
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 不共面；④
⎭
⎪⎬
⎪
⎫α∥βm ∥α⇒m ∥β，其中错误的是________(填序号)． 解析：
由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于②，n 可能在平面β内．对于③，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊂平面AD 1，CC 1⊂平面CD 1，而AA 1∥C 1C ，从而A 1A 与CC 1可确定一个平面AA 1C 1C ，即AA 1、C 1C 可以共面．对于④，m 可能在平面β内．故②③④错．
答案：②③④ 6．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．
①平面ABC 必平行于α； ②平面ABC 必与α相交； ③平面ABC 必不垂直于α；
④存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内．
解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A 、B 、C 在α的同侧，则平面ABC 必平行于α；若A 、B 、C 在α的异侧，平面ABC 必与α相交且交线是△ABC 的一条中位线所在直线，排除①②③.
答案：④
7．已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，
E ，
F ，已知AB ＝6，DE DF ＝2
5
，则AC ＝________.
解析：∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝
DE
EF
. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，∴AB BC ＝23
. 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15.
答案：15
8．设平面α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，当点S 在平面α，β之间时，CS 等于________．
解析：
如图，由题意知，
△ASC∽△BSD，
∵CD＝34，∴SD＝34－CS.
由AS∶BS＝CS∶(34－CS)知，
8∶9＝CS∶(34－CS)，∴CS＝16.
答案：16
9．下列说法中，正确说法的序号是________．
①平行于同一直线的两个平面平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③平行于同一平面的两个平面平行．
解析：①不正确，如图，直线a与平面α和平面β都平行，且α∩β＝b(易知a∥b)；
②正确；③正确．
答案：②③
二、解答题
10．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：如图，连结A1C交AC1于点E，连结DE，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连结ED，
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED.
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.
又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN. 求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：
如图，作MP∥BB1，交BC于点P，连结NP，
∵MP∥BB1，∴CM
MB1
＝
CP
PB
，
∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，
∵CM
MB1
＝
DN
NB
，∴
CP
PB
＝
DN
NB
，
∴NP∥CD∥AB，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解：能．如图，取AB，C1D1的中点M，N，连结A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连结MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝5，MN＝22，
∴A1H＝ 3.
∴S △A 1MN ＝1
2
×22×3＝ 6.
故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.
13．过点S 引不共面的直线SA ，SB ，SC ，如图，∠BSC ＝90°，∠ASC ＝∠ASB ＝60°，若截取SA ＝SB ＝SC ＝a .
求证：平面ABC ⊥平面BSC .
证明：法一：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∠ASC ＝∠ASB ＝60°， ∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形．∴AB ＝AC ＝a . 取BC 的中点为H ，连结AH ，SH .
∴AH ⊥BC ，SH ⊥BC .
在Rt △BSC 中，BS ＝CS ＝a ， ∴BC ＝2a .
∴AH 2＝AC 2－CH 2
＝a 2
－(22a )2＝a 2
2.
∴SH 2
＝SC 2
－CH 2
＝a 2
－(22a )2＝a
2
2
.
在△SHA 中，∵AH 2
＝a 2
2，SH 2
＝a 2
2
，SA 2＝a 2
， ∴SA 2＝SH 2＋AH 2
.
∴AH ⊥SH .∴AH ⊥平面SBC .
又∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC . 法二：∵SA ＝AC ＝AB ，
∴顶点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心． 又△SBC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点． ∴AH ⊥平面SBC .∵AH ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面SBC .
14．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点．
(1)求证：PB ∥平面EAC ；
(2)若AD ＝2AB ＝2，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．
解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，因为O、E分别为BD、PD的中点，所以EO ∥PB，
EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
所以PB∥平面EAC.
(2)设N为AD中点，连结PN，则PN⊥AD.
又面PAD⊥底面ABCD，
所以，PN⊥底面ABCD，
所以∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角，
又AD＝2AB＝2，则PN＝3，NB＝2，
所以tan∠PBN＝3
2
＝
6
2
，
即PB与平面ABCD所成角的正切值为
6
2
.。