【单元练】四川九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试题(答案解析)

一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5C
解析：C 【分析】 连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得：PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得出OQ ，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，即可求解．
【详解】
连接PQ 、OP ，如图，
∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，
∴PQ ⊥OQ ，
在直角OPQ △中，2221OQ OP PQ OP =-=-，
当OP 最小时，OQ 最小，
当OP ⊥直线y ＝2时，OP 有最小值2，
∴OQ 的最小值为2213-=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．如图在ABC 中，∠B=90°，AC=10，作ABC 的内切圆圆O ，分别与AB 、BC 、AC 相切于点D 、E 、F ，设AD=x ，ABC 的面积为S ，则S 关于x 的函数图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．A
解析：A
【分析】
连接OD 、OE ，根据三角形内切圆证得四边形DBEO 是正方形，在根据勾股定理即可得解；
【详解】
连接OD 、OE ，如图，O 的半径为r ，
∵△ABC 的内切圆O 分别于AB 、BC 、AC 相切与点D 、E 、F ，
∴⊥OD AB ，OE BC ⊥，AF=AD=x ，CE=CF=10-x ，
易得四边形DBEO 是正方形，
∴DB BE OD r ===， ∵()()2△1110101022ABC S r AB BC AC r x r r x r r =
++=+++-+=+，
∵222AB BC AC +=，
∴
()()2221010x r x r ++-+=， ∴221010r r x x +=-+，
∴()2
210525S x x x =-+=--+（0＜x ＜10）． 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与圆心，函数图像，准确分析判断是解题的关键．
3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）
A ．4337
B ．327
C ．2337
D ．167
B 解析：B
【分析】
过C 作CF ⊥AB 于F ，根据垂径定理得出AD=2AF ，根据勾股定理求BC ，根据三角形面积公式求出CF ，根据勾股定理求出AF 即可．
【详解】
过C 作CF ⊥AB 于F ，
∵CF ⊥AB ，CF 过圆心C ，
∴AD=2AF ．
∵△ABC 中，∠ACB 是直角，AC=4，AB=7，
∴由勾股定理得：22227433AB AC -=-=
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF ，即33=7CF ，
∴CF=337
，
在△AFC 中，由勾股定理得：AF=222243316477AC CF ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AD=2AF=
327
． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF 的长． 4．如图，正方形ABCD 内接于
O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的
（ ）
A ．12
B ．16
C ．13
D ．14
D 解析：D
【分析】
连接OC 、OD ，设O 半径为r ，利用正方形性质得：MN ∥BC ，根据三角形面积公式得：
S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，利用面积差可得S 阴影部分＝S 扇形COD ，再利用正方形的性质得到∠COD ＝90°，则S 扇形＝21
4r π，所以阴影部分面积是圆的面积的
14 【详解】
解：如图，连接OC 、OD ，设
O 半径为r ，
∵直径//MN AD ，AD ∥BC
∴MN ∥BC ，
根据三角形面积公式得：S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，
∴S 阴影部分＝S 扇形COD ，
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠COD ＝90°， ∴S 扇形＝290360r π︒︒
＝214r π， ∵圆的面积为2r π
∴所以阴影部分面积是圆的面积的
14
故选：D
【点睛】
本题考查扇形面积计算公式、正方形的性质，利用了面积的和差计算不规则图形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式.
5．如图，在等边ABC中，点O在边AB上，O过点B且分别与边AB BC
、相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）
A．若EF AC
⊥，则EF是O的切线
B．若EF是O的切线，则EF AC
⊥
C．若
3
2
BE EC
=，则AC是O的切线
D．若BE EC
=，则AC是O的切线D
解析：D
【分析】
A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到
∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到
AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=
3
2
AO≠OB，于是得到C选
项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】
解：A、如图，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、如图，∵BE=
，
2
∴CE=
BE，
3
∵AB=BC，BO=BE，
∴OB，
∴，
∴AC是⊙O的切线，
∴C选项正确．
D、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，
∴，
∴D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（）
A．5B．10C．52D．102C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】
∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=52，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若
∠=︒，则B的度数是（）
50
A
A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒D
解析：D
【分析】
连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：连接AC ，
∵点C 为BD 的中点，
∴∠BAC=12
∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠BAC=65°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
8．已知AB 是经过圆心O 的直线，P 为
O 上的任意一点，则点P 关于直线AB 的对称点P '与
O 的位置关系是（ ） A ．点P '在⊙○内 B ．点P '在O 外 C ．点P '在O 上 D ．无法确定C
解析：C
【分析】
圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．
【详解】
解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，
∴点P 关于AB 的对称点P′与⊙O 的位置为：在⊙O 上，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．
9．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为1L ，n 个小半圆弧长的和为2L ，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为3L ．则（ ）
A ．123L L L =>
B ．123L L L =<
C ．无法比较1L 、2L 、3L 间的大小关系
D ．132L L L >>A
解析：A
【分析】
利用圆周长公式计算1L 和2L 的长．根据圆周长公式分别写出1L 和2L 的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出13L L >，即可选出答案．
【详解】
解：设n 个小半圆半径依次为1r ，2r ，⋯，n r ．
则大圆半径为()12n r r r ++⋯+
()112n L r r r π∴=++⋯+，
212n L r r r πππ=++⋯+
()12n r r r π=++⋯+，
12L L ∴=；
根据“两点之间线段最短的性质”可得：13L L >，
123L L L ∴=>．．
故选A ．
【点睛】
本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大． 10．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别为S 3，S 4，S 1-S 2=14
π，则S 3-S 4的值是( )
A ．294π
B ．234π
C ．114π
D ．5
4
πD 解析：D
【分析】
根据AB 和AC 的长和圆的面积公式可求得S 1+S 3，S 2+S 4的值，然后再两值相减即可得出结论．
【详解】
解：∵AB=4，AC=2，
∴S 1+S 3=2π，S 2+S 4=2π， ∴（S 1+S 3）﹣（S 2+S 4）=（S 1﹣S 2）+（S 3﹣S 4）=
32π ∵S 1-S 2=
14
π， ∴S 3-S 4= 32π﹣14
π= 54π， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了圆的面积，正确表示出S 1+S 3，S 2+S 4的值是解答的关键．
二、填空题
11．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．
【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之
后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解
解析：13,12⎛+ ⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【分析】
先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M 的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH =、12CJ =，再根据
勾股定理求得632JM =
，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF =，即可得解．
【详解】 解：经历六次旋转后点M 落在点6M 处，过M 作MH x ⊥于点H ，过6M 作6M J x ⊥于点J ，连接6IM ，如图：
∵在Rt AFH 中，1AF =，60AFH ∠=︒，30FAH ∠=︒
∴1122
FH AF == ∵已知点M 的纵坐标是312+，即312MH =+ ∴点M 的坐标是：13,12⎛ ⎝⎭
； ∵在6Rt CJM 中，61CM =，660JCM ∠=︒，630CM J ∠=︒
∴61122CJ CM ==，22663JM CM CJ =-= ∵点I 是正六边形的中心
∴1IC IF ==
∴32
JF IF IC CJ =+-= ∴点6M 的坐标是：332⎛ ⎝⎭
．
故答案是：13,122⎛⎫+ ⎪
⎪⎝⎭；33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】 本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想．
12．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，64A ∠=︒，则OBC ∠=______°．
26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°然后根据等
腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC 的度数【详解】解：
∵∠A=64°∴∠BOC=2∠A=128°∵OB=OC ∴∠OBC=∠
解析：26
【分析】
先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC 的度数．
【详解】
解：∵∠A=64°，
∴∠BOC=2∠A=128°，
∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ，
∴∠OBC=12
（180°-128°）=26°． 故答案为26．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是______．（结果用含π的式子表示）
【分析】已知BC 为直径则∠CDB=90°在等腰直角三角
形ABC 中CD 垂直平分ABCD=DBD 为半圆的中点阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与△ADC 的面积之差【详解】解：由题可知△ACB 为等腰 解析：1π-
【分析】
已知BC 为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB ，CD=DB ，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与△ADC 的面积之差．
【详解】
解：由题可知△ACB 为等腰Rt △ACB ，
在Rt △ACB 中，AB=222222+=，
∵BC 是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt △ACB 中，CD 垂直平分AB ，
则△ADC 和△BDC 都为等腰直角三角形，CD=BD=AD ，
令 CD=BD=AD=x ，则2222x x +=，
2x =，
S 阴影部分=S 扇形ACB -S △ADC =()229021213602
ππ⨯-⨯=- ．
故答案为：1π-．
【点睛】 本题考查了扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．
【分析】利用矩形的性质得出OQ ＝MN ＝OP ＝3再利用当CQ
与此圆相切时∠QCN最大此时在直角三角形CQ′O中通过勾股定理求得答案【详解】连接OQ∵MN＝OP（矩形对角线相等）⊙O的半径为6∴OQ＝M 解析：33
【分析】
利用矩形的性质得出OQ＝1
2
MN＝
1
2
OP＝3，再利用当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，
此时，在直角三角形CQ′O中，通过勾股定理求得答案．【详解】
连接OQ，
∵MN＝OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为6，
∴OQ＝1
2MN＝
1
2
OP＝3，
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，3为半径的半圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，
此时，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O＝90°，OQ′＝3，CO＝6，
∴CQ′＝22
CO OQ
-'＝33，
即线段CQ的长为33．
故答案为：33．′
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质、点的轨迹，圆的切线等，得出当CQ与此圆相切时，∠QCN 最大是解题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM，BN交于点P，则PC长的最小值为
____________．
【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明
△ABM≌△BCN得出∠BAM＝∠CBN进而可证出∠APB＝90°于是可得点P在以AB为直径的圆上运动运动路径是弧BG连接OC交圆O于P如图则此时PC最
【分析】
根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧BG，连接OC交圆O于P，如图，则此时PC最小，进一步即可求解．
【详解】
解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，
在△ABM和△BCN中，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧BG，是这个圆的1
，如
4
图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝2，
∴OP＝OB＝1，
由勾股定理得：OC22
+=，
215
∴PC＝OC﹣OP51；
51．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
16．边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是____________．【分析】如图：连接ACBD交于点O即为正方形ABCD外接圆的圆心根据正方形的性质可得
OA=OC∠AOC＝90°根据勾股定理可得OA和OC的值即为为正方形ABCD外接圆的半径【详解】解：如图：连接AC
【分析】
如图：连接AC 、BD 交于点O ，即为正方形ABCD 外接圆的圆心，根据正方形的性质可得OA=OC ，∠AOC ＝90°，根据勾股定理可得OA 和OC 的值，即为为正方形ABCD 外接圆的半径．
【详解】
解：如图：连接AC 、BD 交于点O ，即为正方形ABCD 外接圆的圆心，
∴OA 、OB 、OC 、OD 为正方形ABCD 外接圆的半径
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OC ，∠AOC ＝90°
在Rt △AOC 中，AC 2＝OA 2＋OC 2，
∵AC ＝2，OA=OC ，
∴4＝2 OA 2，
∴OA ＝2
即正方形ABCD 外接圆的半径为2
故答案为2
【点睛】
本题考查正方形外接圆的有关知识，利用到正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学知识．
17．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.
3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在
射线OA 时⊙P 与CD 相切过P 作PE ⊥CD 与E 根据切线的性质得到PE=1cm 再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm 则⊙P 的圆心在直线AB 上 解析：3或5
【分析】
分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与E ，根据切线
的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．
【详解】
当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与E ，
∴PE=1cm ，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm ，
∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，
∴⊙P 移动所用的时间=822
-=3（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与F ，
∴PF=1cm ，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm ，
∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，
∴⊙P 移动所用的时间=
822+=5（秒）． 故答案为3或5．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.
18．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm ，母线长为10cm ，则该圆锥的侧面积为_____cm 2（结果保留π）50π【分析】首先求得圆锥的底面周长然后利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查
解析：50π
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π， 则圆锥的侧面积是：12×10π×10＝50π（cm 2）． 故答案是：50π．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 19．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB 与这个圆的位置关系分别是_________．相交【分析】根据勾股定理作于点则的长即为圆心到的距离利用等积法求出的长与半径比较大小再作判断【详解】解：如图作于点∵的两条直角边斜边即半径是直线与圆相交【点睛】此题考查的是勾股定理直线与圆的位置关系
解析：相交
【分析】
根据勾股定理，5AB =．作CD AB ⊥于点D ，则CD 的长即为圆心C 到AB 的距离．利用等积法求出CD 的长，与半径比较大小，再作判断．
【详解】
解： 如图， 作CD AB ⊥于点D ．
∵Rt ABC 的两条直角边3BC =，4AC =，
∴斜边5AB =．
1122
ABC S AC BC AB CD ∆=
=，即 512CD ，
2.4CD ．
半径是2.5 2.4>，
∴直线与圆C 相交 ．
【点睛】
此题考查的是勾股定理，直线与圆的位置关系，熟悉相关性质是解题的关键． 20．如图，直线33y x =+x 轴于点A ，交y 轴于点B ．以A 为圆心，以AB 为半径作弧交x 轴于点A 1；过点A 1作x 轴的垂线，交直线 AB 于点B 1，以A 为圆心，以AB 1为半径
作弧交x轴于点 A2；…，如此作下去，则点n A的坐标为___________；
（2n﹣10）【分析】根据题意先求出点AB的坐标再
利用勾股定理求出AA1AA2AA3……AAn的长可得到点A1A2A3……An的坐标找到规律即可解答【详解】解：当x=0时y=当y=0时x=﹣1∴A(
解析：（2n﹣1，0）
【分析】
根据题意，先求出点A、B的坐标，再利用勾股定理求出AA1、AA2、AA3……AA n的长，可得到点A1、A2、A3……A n的坐标，找到规律即可解答．
【详解】
解：当x=0时，3y=0时，x=﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(03，
∴AA122
++=，则点A1(1，0)，B1(1，3，
(01)(3)2
∴AA2=AB122
++=，则点A2(3，0)，B2(3，3，
(11)(23)4
∴AA3=AB222
(31)(43)8
++=，则点A3(7，0)，B3(7，3，
……
∴可以得到A n的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：（2n﹣1，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、图形的规律探究、圆的基本知识、勾股定理，解答的关键是利用勾股定理求得AA1、AA2、AA3……AA n的长，进而得到A1、A2、
A3……A n的坐标的变化规律．
三、解答题
21．如图，在⊙O中，C是AB的中点，∠ACB=∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．
解析：见解析
【分析】
如图，连接OC ．欲证明四边形OACB 是菱形，只需推知====AC BC OC OA OB 即可．
【详解】
证明：如图，连接OC ． C 是AB 的中点，
∴AC BC =，
AC BC ∴=，
在AOC ∆和BOC ∆中，
AC BC OA OB OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AOC BOC SSS ∴∆≅∆． 12ACO BCO ACB ∴∠=∠=∠，12
AOC BOC AOB ∠=∠=∠． 又ACB AOB ∠=∠．
ACO BCO AOC BOC ∴∠=∠=∠=∠．
AC BC OC OA OB ∴====，
∴四边形OACB 是菱形．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，菱形的判定，以及圆心角、弧、弦间的关系，难度不大． 22．已知：如图，ABC 中，BC AC =，以BC 为直径的O 交AB 于点O ，过点D 作
DE AC ⊥于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD BD =，（2）DF 是O 的切线． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】 （1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90BDC ∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一即可得证；
（2）先根据等腰三角形的三线合一可得ACD BCD ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得ODC BCD ∠=∠，从而可得ACD ODC ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得OD DF ⊥，最后根据圆的切线的判定即可得证．
【详解】
（1）如图，连接CD ， BC 是O 的直径，
90BDC ∴∠=︒，即CD AB ⊥，
又BC AC =，
CD ∴是AB 边上的中线（等腰三角形的三线合一），
AD BD ∴=；
（2）如图，连接OD ，
,BC AC CD AB =⊥，
ACD BCD ∴∠=∠，
OC OD =，
ODC BCD ∴∠=∠，
ACD ODC ∴=∠∠，
//OD AC ∴，
DE AC ⊥，即DF AC ⊥，
OD DF ∴⊥，
又OD 是O 的半径，
DF ∴是O 的切线．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理、圆的切线的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键．
23．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．
（1）求证：PT 是⊙O 的切线；
（2）若3PT BT ==，求图中阴影部分的面积．
解析：（1）证明见解析；（2）
364
π- 【分析】 （1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；
（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12
AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．
【详解】
（1）证明：连接OT ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠B+∠OAT=90°，
∵OA=OT ，
∴∠OAT=∠2，
∵∠PTA=∠B ，
∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，
∴直线PT 与⊙O 相切；
（2）∵3PT BT ==， ∴∠P=∠B=∠PTA ，
∵∠TAB=∠P+∠PTA ，
∴∠TAB=2∠B ，
∵∠TAB+∠B=90°， ∴∠TAB=60°，∠B=30°，
在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，
∴a 2+(3)2＝(2a)2，
解得：a=1，
∴AT=1，
∵OA=OT ，∠TAO=60°，
∴△AOT 为等边三角形， 1331224
AOT S ∴=⨯⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOT
S S ππ⨯=-=-=-扇形． 【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．
24．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，求大正方形的面积．
解析：64cm 2
【分析】
连接OA 、OB 、OE ，证Rt △ADO ≌Rt △BCO ，推出OD=OC ，设AD=a ，则OD=
12a ，由勾股定理求出5a ，求出EF=FC=4cm ，在△OFE 中由勾股定理求出a ，即可求出答案．
【详解】
解：连接OA、OB、OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt△ADO和Rt△BCO中
∵
OA OB AD BC
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO，∴OD=OC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，
设AD=acm，则OD=OC=1
2
DC=
1
2
AD=
1
2
acm，
在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=
5
2
acm，
∵小正方形EFCG的面积为16cm2，∴EF=FC=4cm，
在△OFE中，由勾股定理得：(
5
2
a)2=42+(
1
2
a+4)2，
解得：a=-4（舍去），a=8，
∴正方形面积为2
64cm
故答案为：64cm²．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．
25．如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧AB=弧AF，BF与AD交于E，求证：
（1）AE BE
=
（2）若A，F把半圆三等分，12
BC=，求AD的长．
解析：（1）见解析；（2）33
【分析】
（1）连接AC ，则∠BAC=90°，进而证得∠C=∠BAE ，由弧AB=弧AF 证得∠C=∠ABF ，则∠ABE=∠BAE ，根据等腰三角形的等角对等边证得结论；
（2）由A ，F 把半圆三等分可得∠ACB=30°，再由BC=12和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=6，由勾股定理求得AC=63=AC ，进而可求得AD 的长．
【详解】
（1）证明：连AC ，如图，
∵BC 为直径，则90BAC ∠=︒，
90C ABC ∴∠+∠=︒，
又∵AD ⊥BC
90BAE ABC ∴∠+∠=︒，
C BAE ∴∠=∠，
由弧AB=弧AF ，可得C ABF ∠=∠，
ABE BAE ∴∠=∠，
AE BE ∴=；
（2）∵A ，F 把半圆三等分，
30ACB ∴∠=︒，
在直角三角形ABC 中，12BC =，则162AB BC =
=，363AC AB ==， 在直角三角形ADC 中，1332
AD AC =
=， 所以33AD =．
【点睛】
本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的基本知识和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答的关键．
26．如图，O 的直径AB 为10，弦BC 为6，D 是AC 的中点，弦BD 和CE 交于点F ，且DF DC =．
（1）求证：EB EF =；
（2）求CE 的长．
解析：（1）见解析；（2）72CE =
【分析】 （1）运用圆周角定理证明DBE EFB ∠=∠即可得到结论；
（2）连接OE ，AE ，AC ，在CB 延长线上截取BG AC =，连EG ，可得A 、E 、B 、C 四点为共圆，可证明CAE GBE ∆∆≌，△CEG 为等腰直角三角形，运用勾股定理即可求得结论．
【详解】
（1）证明：∵DF DC =∴DCF DFC ∠=∠
又∵DCF DBE ∠=∠，DFC EFB ∠=∠∴DBE EFB ∠=∠
∴EB EF =
（2）连接OE ，AE ，AC ，
∵AB 为O 的直径
∴90ACB ∠=︒，90AEB =︒∠ 在Rt ACB ∆中，2222AC AB BC 1068=
-=-= ∵D 是弧AC 的中点
∴AD CD =
∴DBA DBC ∠=∠
又∵DBE EFB ∠=∠
∴DBE DBA EFB DBC ∠-∠=∠-∠，即ABE ECB ∠=∠
∴AOE BOE ∠=∠
∴AE BE =，AE BE =
∴45ACE BCE ∠=∠=︒
在CB 延长线上截取BG AC =，连EG
在圆内接四边形ACBE 中，180CAE CBE ∠+∠=︒
又∵180GBE CBE ∠+∠=︒∴CAE GBE ∠=∠
∴()CAE GBE SAS ∆∆≌
∴EC EG =
∴45BCE BGE ∠=∠=︒
∴在等腰Rt CEG ∆中，222()()72222
CE CG CB BG CB AC =
=+=+= 【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
27．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC ．
（1）求证：AC 平分∠DAO ；
（2）若∠DAO ＝105°，∠E ＝30°，
①求∠OCE 的度数；
②若⊙O 的半径为2EF 的长．
解析：（1）见解析；（2）①45°，②32．
【分析】
（1）由切线性质知OC ⊥CD ，结合AD ⊥CD 得AD ∥OC ，即可知∠DAC ＝∠OCA ＝∠OAC ，从而得证；
（2）①由AD ∥OC 知∠EOC ＝∠DAO ＝105°，结合∠E ＝30°可得结果；
②作OG ⊥CE ，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG ＝FG ＝OG ，由OC ＝2得出CG ＝FG ＝OG ＝2，在Rt △OGE 中，由∠E ＝30°可得GE ＝3
【详解】
（1）证明：∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC ⊥CD ．
∵AD ⊥CD ，
∴AD ∥OC ．
∴∠DAC ＝∠OCA ．
∵OC ＝OA ，
∴∠OCA ＝∠OAC ．
∴∠OAC ＝∠DAC ．
∴AC 平分∠DAO ．
（2）①∵AD ∥OC ，
∴∠EOC ＝∠DAO ＝105°．
∵∠E ＝30°，
∴∠OCE ＝180°－∠EOC －∠E ＝45°．
②作OG ⊥CE 于点G ，
∵OC ＝22，∠OCE ＝45°，
∴CG ＝OG ＝2．
∴FG ＝2．
在Rt △OGE 中，∠E ＝30°，
∴GE ＝23．
∴EF ＝GE−FG ＝232-．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理是解题的关键．
28．如图，AB 是O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF ．
（1）求证：//OD BE ；
（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．
解析：（1）见解析；（2）（2）12
OF CD =
，理由见解析 【分析】
（1）连接OE ，利用直角三角形HL 判定Rt AOD Rt EOD ∆∆≌，根据全等三角形的性质可知AOD ABE ∠=∠，根据平行线的判定即可求证结论；
（2）根据切线长定理可知DA=DE ，CB=CE ，根据切线的性质可知AB ⊥AD ，BC ⊥AB ，证得四边形ABCD 是梯形，根据梯形的中位线定理并代换即可求证.
【详解】
（1）证明：连接OE ，
∵AM ，DE 是O 的切线，OA 、OE 是O 的半径，
∴OA OE =，90DAO DEO ∠=∠=︒，
又∵OD 为公共边
∴Rt AOD Rt EOD ∆∆≌（HL ） ∴12AOD EOD AOE ∠=∠=
∠， ∵12
ABE AOE ∠=∠， ∴AOD ABE ∠=∠，
∴OD BE
（2）12
OF CD =， 理由：∵AM 、DE 是圆的切线，
∴DA=DE ，AB ⊥AD ，
同理可得：CB=CE ，BC ⊥AB ，
证得四边形ABCD 是梯形，
∵F 是CD 的中点、O 是AB 的中点，
∴OF ＝()12AD BC + ＝()12
DE CE +， ∴12
OF CD =
． 【点睛】 本题主要考查与圆有关的位置关系、切线长定理、全等三角形的判定与其性质、梯形，解题的关键是综合运用所学知识.。