【志鸿全优设计】2013-2014学年八年级数学上册 第二章 2 平方根例题与讲解 北师大版

2 平方根
1．平方根
(1)平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2
＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32
＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.
(2)平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号
a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2.
(3)平方根的性质：若x 2
＝a ，则有(－x )2
＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02
＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．
我明白了，一个数a 的平方根可以表示成±a .
你可要小心哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2a ≥0时才有意义,因为负数没有平方根.
【例1－1】 求下列各数的平方根： (1)81；(2)(－7)2
；(3)11549
.
分析：根据平方根的定义，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的数．
解：(1)∵(±9)2
＝81，
∴81的平方根是±9，即±81＝±9. (2)∵(－7)2
＝72＝49，
∴(－7)2
的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449，
∴11549的平方根是±87
，
即±1
1549＝±87
. 【例1－2】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22
. 分析：
解：(1)∵94是正数，∴4有两个平方根．
又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝9
4，∴94的平方根是±32.
(2)0只有一个平方根，是它本身． (3)∵－9是负数，∴－9没有平方根． (4)∵|－0.81|＝(±0.9)2
，是正数， ∴|－0.81|的平方根是±0.9. (5)∵－22
＝－4，是负数， ∴－22
没有平方根．
(1)算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2
＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．
(2)算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”． (3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
淡重点算术平方根的性质
(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；
(2)一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．
【例2】 求下列各数的算术平方根： (1)0.09；(2)121
169
.
分析：根据算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，首先要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确定a 的算术平方根的值．
解：2
＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3， 即0.09＝0.3；
(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169
，
∴
121169的算术平方根是1113
. 析规律如何确定一个数的算术平方根
求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应特别注意数的符号．
3．开平方
求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．
(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．
(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．
(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决． 【例3】 小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2
的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？
解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2
＝20，则x 2x ＝±0.5. ∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.
∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖． 4.a 2
与(a )2
的关系
a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术
平方根，依据算术平方根的定义，若a ≥0，则a 2
的算术平方根为a ；若a ＜0，则a 2
的算术
平方根为－a ，即a 2
＝|a |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≥0，－a ，a <0.
(1)区别：①意义不同：(a )2
表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2
表示实数a 的平方的算术平方根．②取值X 围不同：(a )2
中的a 为非负数，即a ≥0；a 2
中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2
是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2
是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2
中，幂指数2在根号的外面；而在a 2
中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2
＝a ；a
2
＝|a |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≥0，
－a ，a <0.
(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2
≥0，a 2
≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2
＝a 2
.
点技巧巧用(a )2
＝a
将(a )2
＝a 反过来就是a ＝(a )2
，利用此式可使某些运算更为简便． 【例4】 化简：(6)2
＝__________；(－7)2
＝__________. 解析：(－7)2
＝|－7|＝7. 答案：6 7
5．平方根与算术平方根的关系 (1)区别： ①概念不同
平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2
＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根． 算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2
＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．
②表示方法不同
平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．
算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 可以看成是正数a 的算术平方根的相反数．
③读法不同
a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．
④结果和个数不同
一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．
(2)联系：
①平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根a，就可以直接写出这个正数的平方根±a了．
②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．
③0的平方根和算术平方根都是
0.
【例5－1】 (1)求(－3)2的平方根；
(2)计算144；
(3)求(π－3.142)2的算术平方根；
(4)求16的平方根．
(1)±81；(2)－16；(3)
925
；(4)(－4)2. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；
925表示925
的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2
的算术平方根，故其结果必为正数．
解：(1)∵92
＝81，∴±81＝±9. (2)∵42
＝16，∴－16＝－4.
(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝9
25
，∴
925＝35
. (4)∵42
＝(－4)2
，∴(
－4)2
＝4. 释疑点与平方根相关的三种符号
弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这类问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．
6．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根a 具有双重非负性： (1)被开方数具有非负性，即a ≥0.
(2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负
数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：
(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋＝0，( )2＋＝0〕，甚至同一道题目中同时出现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．
(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．
【例6－1】若－x2＋y＝6，则x＝__________，y＝__________.
解析：由－x2有意义得x＝0，故y＝6.
答案：0 6
【例6－2】若|m－1|＋n－5＝0，则m＝__________，n＝__________.
解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0，所以m＝1，n＝5.
答案：1 5
注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
【例6－3】如果y＝x2－4＋4－x2
x＋2
＋2 013成立，求x2＋y－3的值．
分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；
又x＋2≠0，即x≠－2，
所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，
∴x2－4＝0，
即x＝±2.
又∵x＋2≠0，
即x≠－2，
∴x＝2.
将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2
x＋2
＋2 013，
可得y＝2 013.
∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.
点评：解答这类问题时，先确定题目中非负数的类型，然后根据类型“对症下药”．不
要误认为x＝±2.。