北京温泉第二中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．已知()3
sin 5πα+=，则sin()cos()
sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭
（ ） A ．4
5
-
B ．
45
C ．
35
D ．
35
2．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12
π
个单位长度后，得到函数()g x 的图
象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6
x π
=
B ．12
x π
=
C ．3
x π
=
D ．24
x π
=
3．计算cos 20cos80sin160cos10+=（ ）． A ．
12
B
C ．12
-
D
． 4．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（ ）. A ．1
B ．12
-
C
D ．
12
5．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
B ．sin 26x y π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭ C ．sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
6．
已知函数 ()cos f x x a x =+，[0,]3
x π
∈的最小值为a ，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．[0,2]
B ．[2,2]-
C ．(],1-∞
D ．(],3-∞
7．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭个单位后得到函数()sin 2g x x =的图
象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则ϕ=（ ） A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π
8．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对
称．若2
sin 3
α=，则()cos αβ-=（ ）
A ．
19
B C ．19-
D ． 9．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．
A ．cos y x =
B ．π3y x ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
C ．tan 2
x
y = D ．22cos sin 2y x x =+
10．若1sin 63
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.
A ．7
9-
B ．13
-
C ．
13
D ．
79
11．若将函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向左平移6
π个单位长度，则平移后图象的一个对称
中心是（ ） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
12．已知2
cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝
⎭-，则sin θ=（ ） A ．
7
9 B ．
19
C ．－
19
D ．－
79
二、填空题
13．若
ππ2α<<，π02β<<，且sin α，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，则3πcos 8αβ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭______.
14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫
++-=
⎪⎝⎭
，则2sin sin cos ααα+=__________. 15．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间
2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是减函数，则ω的取值范围为______.
16．设α、β都是锐角，且()3
cos ,sin 55
ααβ=
+=，则cos β=____________. 17．已知tan 2α=，则cos2=α__．
18．已知α，β，且()()1tan 1tan 2αβ-+=，则αβ-=______．
19．在①a =2，②S =2c
cos B ，③C =3
π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，
3b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
___________. 三、解答题
21．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当,612x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的值域. 22．已知函数()()3sin 0,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛
⎫
=+>-≤<
⎪⎝
⎭
的图象关于直线3
x π
=
对称，
且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()y f x =的最大值和最小值. 23．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示.
（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值； （2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的单调增区间. 24．（1）求值：4cos130tan140︒︒-；
（2）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求2
sin 22sin 1tan x x x
+-的值. 25．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．
（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？ 26．已知向量a ＝3cos x ，－1)，b ＝(sin x ，cos 2x )，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间[2
π
-
，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】 ∵3sin()sin 5παα+=
=-，∴3sin 5
α=-， 则
sin()cos()sin (cos )3
sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-
⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故选：C
2．D
解析：D 【分析】
由()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π
个单位长度得到()52212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再
令52122
x k ππ
π+
=+求解. 【详解】
因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，
由题意得()5212g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以52122x k ππ
π+
=+， 解得1,224
x k k Z π
π=+
∈， 故选：D
3．A
解析：A 【分析】
将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】
cos 20cos80sin160cos10+
cos 20cos80sin 20sin80=+()
cos 8020=-
cos60=12
=
． 故选：A ．
4．B
解析：B 【分析】
根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302
︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.
5．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】
函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动
6π
个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. 故选：D ．
6．D
解析：D 【分析】
通过参变分离转化为
2
cos
22
2sin tan
22
x x
a
x
≤==
，即
min
tan
2
a
x
⎛⎫
⎪
≤ ⎪
⎪
⎝⎭
.
【详解】
(
)cos
f x x a x
=+的最小值是a，并且观察当0
x=时，()0
f a
=，
所以当0,
3
x
π
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
cos
x a x a
+≥恒成立，即(
)
1cos
a x x
-≤，当0
x=时，a R
∈，
当0,
3
x
π
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，
2
cos
22
1cos2sin tan
22
x x
x
a
x x
x
≤==
-
恒成立，即
min
tan
2
a≤
⎪
⎝⎭
0,
3
x
π
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，tan
2
x
tan
2
的最小值是3，所以3
a≤.
故选：D
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；
分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 7．D
解析：D
【分析】
利用三角函数的最值，取自变量1x、2x的特值，然后判断选项即可.
【详解】
因为函数()sin2
g x x
=的周期为π，由题意可得：()()
sin2x
f xϕ
=-
⎡⎤
⎣⎦，
若()()
12
2
f x
g x
-=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有
12min3
x x
π
-=，
所以不妨取
24
x
π
=，则
1
7
12
x
π
=，即()()
sin2x
f xϕ
=-
⎡⎤
⎣⎦在1
7
12
x
π
=取得最小值，
所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎝
⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z πϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，
取24
x π=
，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π
=-取得最小值， 所以12
sin 21ϕπ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-
，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．
8．C
解析：C 【分析】
由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】
由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，
2
2
21cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫
-=--=-=-=-=⨯-=-
⎪⎝⎭
．
故选：C ．
9．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】
()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；
π
3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的周期为2π，故B 不符合题意；
画出函数tan
2x y =的图象，易得函数tan 2
x
y =的周期为2π，故C 不符合题意；
2π2cos sin 2cos 21sin 2214x x x x x ⎛
⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭，周期为π，故D 符合题
意． 故选：D
10．A
解析：A 【分析】
根据1sin 63
πα⎛⎫-= ⎪
⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233
ππαα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1
sin sin 623
3πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1cos 33
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 133
39πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
故选：A
11．A
解析：A 【分析】
先求出平移后的解析式为23sin 23
y x π⎛
⎫
=+ ⎪
⎝
⎭
，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】
将函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向左平移6
π个单位长度得：
23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=++=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 令()223x k k Z ππ+
=∈，解得：()32
k
x k Z ππ=-+∈， 当1k =时，3
2
6
x π
π
π
=-
+
=
，
所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
故选：A
12．C
解析：C 【分析】
根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=
⎪⎝
⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫
=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C
二、填空题
13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题
解析：
25
【分析】
先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，再根据两角和的余弦公式求解即可.
【详解】
由
ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，
因为π3π3π7π02888ββ<<
⇒<+<，3π3cos 85β⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
所以3π4sin 85
β⎛
⎫+
== ⎪⎝⎭， 所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫++
=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
3455
⎛⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.
【点睛】
本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.
14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：
解析：3
5
【分析】
利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】
由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-
222
222sin sin cos tan tan 933
sin sin cos sin cos tan 1915
ααααααααααα++-+====+++
故答案为：
3
5
15．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：
解析：30,4⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=
，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，可得22232π
πωππω
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.
【详解】
由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2
ϕπ
=
， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛
⎫=+=- ⎪
⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数， 又,22ππωω⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππ
ω
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.
故答案为：30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
16．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本
【分析】
由α是锐角，cos 5
α=
求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出
()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验
证即可. 【详解】
因为α是锐角，cos α=，所以sin 5α==， 因为β是锐角，所以0αβ<+<π，
又()3sin 5αβ+=，所以()4cos 5αβ+==±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++
当()4cos 5αβ+=
时， 43cos 55β==，此时cos sin βα=，即2
π
αβ+=
，与()3
sin 5
αβ+=
矛盾，舍去，
当()4cos 5αβ+=-时， 43cos +555525
β=-⨯⨯=，符合要求.
故答案为：25
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.
17．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：
35
【分析】
利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】
由tan 2α=，又由2222
222
2
cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 143
1tan 145
ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：
3
5
． 18．【分析】将原式打开变形然后根据正切的差角公式求解【详解】即即即故答案为：【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用常见的变形形式有：（1）；（2） 解析：()+4
k k Z π
π-
∈
【分析】
将原式打开变形，然后根据正切的差角公式求解. 【详解】
()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ-+=-+-=，
即tan tan 1tan tan βααβ-=+，
tan tan 11tan tan βα
αβ
-∴
=+，即()tan 1βα-=，
()π4k k Z βαπ∴-=
+∈，即()+4
k k Z π
αβπ-=-∈. 故答案为： ()+4
k k Z π
π-∈.
【点睛】
本题考查正切的和差角公式的运用，常见的变形形式有： （1）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+++⋅⋅； （2）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ-=---⋅⋅.
19．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以
解析：答案见解析. 【分析】
利用正弦定理进行边化角，得到cos 3
A =
，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可 【详解】
在ABC cos cos cos A a C c A =+，
cos sin cos sin cos B A A C C A =+
cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos 3
A =
选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c =选择②，1cos sin 2
2
c S B bc A ==，所以cos sin cos()2
B A A π
==-
所以2
B A π
=
-，即2
C π
=
，解得c =
选择③，3
C π
=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A π
π
π
=+=+
所以由
sin sin c b C B
=得sin 4sin b C
c B =
= 【点睛】
关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos A =相关公式进行求解，难度属于中档题
20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算
解析：4
5
【分析】
本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1
αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4
cos 2sin 22sin cos tan 15
παααααααα⎛
⎫
-==== ⎪++⎝
⎭， 故答案为：45
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
三、解答题
21．（1）单调递增区间为：,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；单调递减区间为：
2
,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）⎡-⎣. 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，进而根据正弦函数的单调性即可求解. （2）由题意可求范围2,663x π
ππ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
，利用正弦函数的性质即可求解其值域. 【详解】
解：（1）()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
++- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
122cos 24(cos sin )(cos sin )2222x x x x x x ⎛⎫=-+⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭
2cos 22cos 2x x x =-+
2cos2x x =+
2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈，解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈，
令32222
6
2
k x k π
π
πππ+
≤+
≤+
，k Z ∈，解得263k x k ππ
ππ+≤≤+，k Z ∈，
故函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，
单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
（2）当,612x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
可得1sin 226x π⎛
⎫-
≤+≤
⎪⎝
⎭，
可得12sin 26x π⎛
⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
()f x 的值域为⎡-⎣.
22．（1）2ω=，6
π
ϕ=-；（2）max ()f x =min ()f x = 【分析】
（1）由图象上相邻两个最高点的距离为π得()f x 的最小正周期T π=，故2ω=，由函数
图象关于直线3
x π
=
对称得23
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，k Z ∈，再结合范围得6
π
ϕ=-
；
（2）由（1）得()26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，进而得52666
x πππ-≤-≤，再结合正弦函数的
性质即可得答案. 【详解】
（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22T
π
ω==. 又因为()f x 的图象关于直线3
x π
=对称，所以23
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，k Z ∈，
又2
2
π
π
ϕ-
≤<
，
所以22
36
ππϕπ
=
-
=-. 综上，2ω=，6
π
ϕ=-
.
（2）由（1）知()26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，可知52666x πππ-≤-≤.
故当226x ππ-=，即3x π
=时，max ()f x =
当26
6
x π
π
-
=-
，即0x =时，min ()f x =. 【点睛】
本题解题的关键在于先根据0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
得52666x πππ-≤-≤，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题. 23．（1）T π=，2ω=，3
π
ϕ=；（2）,412ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【分析】
（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．
（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π
=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性． 【详解】
解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的部分图象，
可得
32134123πππ
ω=-，解得2ω=，∴最小正周期22
T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为函数过13,112π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523
k k Z π
ϕπ=-
+∈ 因为2
π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
．所以()sin(2)3f x x π
=+
（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π
=+，在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上，
所以2[3
6
x π
π
+
∈-
，
5]6π，令2632x πππ
-≤+≤，解得412
x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
求三角函数的解析式时，由2T
π
ω=
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
24．（1）2）2875
-. 【分析】
（1）先利用诱导公式将4cos130tan140︒︒-，转化为4cos50tan 40︒︒-+，然后利用三角恒等变换求解. （2）由3177cos ,4512
4x x πππ⎛⎫+=<<
⎪⎝⎭，利用平方关系求得4sin 45x π⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭，得到
cos cos 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，然后由 2sin 22sin 2sin (cos sin )
1tan 1tan x x x x x x x ++=
--求解. 【详解】
（1）4cos130tan140︒︒-，
sin 404cos50tan 404cos50cos 40
︒
︒
︒
︒
︒
=-+=-+， 04cos50cos 40sin 404sin 40cos 40sin 40cos 40cos 40
︒︒︒︒︒︒
︒
-+-+==，
02sin 80sin 402cos10sin 40cos 40cos 40
︒︒︒︒
︒
-+-+==， ()2cos 4030sin 40cos 40
︒︒︒
︒
--+=
，
040sin 40sin 40cos 40︒︒
︒-+=
，
040cos 40
︒
== （2）
1775,212434
x x ππππ
π<<∴<+<， 4sin 45x π⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，
cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=++
+ ⎪ ⎪ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
34255
10
⎫=
-
=-⎪
⎝⎭， sin ,tan 710x x ∴==-=， 22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (cos sin )
1tan 1tan 1tan x x x
x x x x x x
x x
+++∴
==
---， 2101010281775
⎛⨯--
- ⎝⎭⎝⎭==-
-. 25．
（1）2+（千米）；（2）. 【分析】
（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.
（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在
AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.
【详解】
（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1
||||||sin 2sin3021
2
PQ PR PA PAB
==∠=⨯︒=⨯
=， ||cos 2AQ PA PAB =∠==
由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，
∴
QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==
三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，
PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，
||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，
由余弦定理可知：
222
2cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，
22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，
则|RQ =
设三条街道每年能产生的经济总效益W ，
300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，
3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，
400sin θθ=++
200(2sin )θθ=++
)θϕ=++tan 2
ϕ=
，
当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】
方法点睛：解三角形应用题的两种情形：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 26．（1）,,6
3k k k π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ；（2）=2x π-时，最大值为0；=6x π
-时, 最小值为3
2
-
. 【分析】
（1）由()f x a b =⋅，根据向量的数量积的运算可得()f x 的解析式，将内层函数看作整
体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间. （2）在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出()f x 的最大值和最小值.
【详解】
解:(1)2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-
cos 21
222
x x -- 1
=sin 2cos
cos 2sin
6
62
x x π
π
-- 1
=sin 2)62
x π--（
由2,262
k x k k π
ππ
ππ-
-+∈Z 2≤≤2， 解得：,6
3
k x k k π
π
ππ-
+
∈Z ≤≤，
所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],63
k k k π
π
ππ-
+∈Z .
（2）因为02x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，，所以72666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，， 所以1sin
2)62x π
--1≤（≤，即31
sin 2)0262
x π---≤（≤， 当=2x π-时，()f x 有最大值为0；当=6x π-时, ()f x 有最小值为3
2
-.
【点睛】
关键点睛：利用三角函数的二倍角公式，化简得到， 2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-1
=sin
2)6
2
x π
--（， 进而利用复合函数的单调性进行求解，难度属于中档题。