富足半群的拟理想恰当断面

富足半群的拟理想恰当断面
郭晓永;费秀海
【摘要】The properties of abundant semigroups with quasi-ideal adequate transversals were discussed in this paper.Their decomposition form of the product of two elements and I and Λ,equivalent characterisation of the left and right normal bands of the abundant semigroup S with the quasi-ideal adequate transversal S0,were given.%给出了具有拟理想恰当断面的富足半群中两个元素乘积的分解式,给出了含有拟理想恰当断面S0的富足半群S中I和Λ分别作成S的左正规带及右正规带的等价刻画,并对含有拟理想恰当断面的富足半群的性质进行了讨论.
【期刊名称】《玉溪师范学院学报》
【年(卷),期】2011(000)008
【总页数】4页(P12-15)
【关键词】富足半群;完全正则半群;拟理想恰当断面
【作者】郭晓永;费秀海
【作者单位】临沧师范高等专科学校数理系,云南临沧677000;临沧师范高等专科学校数理系,云南临沧677000
【正文语种】中文
【中图分类】O152.7
1 预备知识
设 S是半群,a,b∈S,S上的＊-格林关系 R＊,L＊分别定义为:aR＊b当且仅当
(∀x,y∈S1)xa= ya⇔xb=yb;aL＊b当且仅当(∀x,y∈S1)ax=ay⇔bx=by.
如果a,b∈Re gS,则aR＊b当且仅当aRb;aL＊b当且仅当aLb.
如果S是正则半群,则 R＊=R,L＊=L.如果S的每个L＊-类和每个R＊-类均含有一个幂等元,则半群S称为富足半群;如果S的幂等元集E(S)是半格,则富足半群S称为恰当半群.若S是恰当半群,容易证明,S的每个L＊-类及每个R＊-类仅含有一个幂等元.一般地,L＊a及R＊a中的幂等元分别用a＊及a+表示.如果S的幂等元集E(S)所生成的子半群《E(S)》是正则子半群,则富足半群S称为满足正则性条件.设S和S0的幂等元集分别用 E和 E0表示.
设S是一个富足半群,U是S的富足子半群,如果∀a∈U,都存在幂等元e∈L＊
a(S)∩U及幂等元f∈R＊a(S)∩U,则U称为S的一个＊-子半群.EL.Qallali在文献[8]中证明了,富足半群S的富足子半群U是S的一个＊-子半群当且仅当L＊(U)=L＊(S)∩(U×U)且R＊(U)=R＊(S)∩(U×U).
定义1 设S是富足半群,S0是S的＊-恰当子半群,如果对于每个x∈S,存在唯一的x∈S0,以及e,f∈E(S)使eL x +,f Rx ＊并且x=exf,则称S0是S的恰当断面.容易证明,e,f均被x所唯一确定,分别记为ex及fx.
设S0是富足半群S的恰当断面,对于任意x∈S,ex R＊xL＊fx.如果a∈S0,则我们取ea=a+,fa= a＊,a=a.进一步,如果a∈E0,则 a=ea=fa=a.恰当断面 S0称为是乘性的,如果fx ey∈E0(∀x,y∈S).设S0是 S的子半群,如果 S0 SS0⊆S0,则称 S0是 S 的拟理想.
设 S0是富足半群 S的恰当断面,记I={ex:x∈S},Λ={fx:x∈S}.
引理1[9] 设S是恰当半群,则
(1)∀a,b∈S,(ab)＊=(a＊b)＊,(a,b)+=(ab+)+;
(2)∀a,b∈S,aR＊b当且仅当a+=b+;aL＊b当且仅当a＊=b＊.
引理2[9] 设S是含恰当断面S0的富足半群,则
(1)I∩Λ= E0;
(2)I={e∈E:(∃l∈E0)lLe},Λ={f∈E:(∃h∈E0)hRf};
(3)IE0⊆ I,E0Λ⊆Λ.
引理3[9] 设S0是富足半群S的恰当断面,则
(1)S0是S的拟理想恰当断面当且仅当ΛI⊆S0;
(2)如果S0是S的乘性恰当断面,则S0是S的拟理想恰当断面.
引理4[9] 设S0是富足半群S的恰当断面,Re gS表示S的正则元集,则
(1)∀x∈Re gS,|V(x)∩S0|=1;
(2)如果S0是S的拟理想,则对于∀x∈Re gS,|V(x)∩S0|=1.
2 主要结论
本节主要讨论具有拟理想恰当断面的富足半群的元素特征,给出了I,Λ分别作成S 的左正规带及右正规带的充要条件.
下面的定理1在文献[7]中有相同的形式,但是在文献[7]中要求半群S是具有乘性TypeA恰当断面且满足正则性条件的富足半群.
定理1 设S是具有拟理想恰当断面S0的富足半群,对于∀x,y∈S,则
证明因为S是含拟理想恰当断面
S0的富足半群,则对于∀x,y∈S,我们有从而,
由引理3(1),fx ey∈S0.
因此,.所以又因为ex L x+,且L是右同余,则有
而,所以,
同理可证,
因为,则我们有,
因此,是一个幂等元.同理可证,也是幂等元.又因为,且由的唯一性可得:
定理2 设S0是富足半群S的拟理想恰当断面,则对于
fg eg g.
证明对于∀g∈E,由定理根据引理3可知,fg eg∈S0,从而,gfg eg∈S0,且所以,
同理,
因为S0是S的拟理想恰当断面,由引理1,则有
定理3 设S0是富足半群S的拟理想恰当断面,则下列结论是等价的:
(4)I是S的子带(Λ是S的子带);
(5)I是S的左正规带(Λ是S的右正规带).
证明 (1)⇒(2).对于∀h∈E0,∀g∈I,根据引理2,gh∈E,从而hgh∈E,并且ghL gφh.因为S0是S的拟理想恰当断面,所以,hgh∈E0.又因为gL gφ,则ghL gφh.因
此,hghL gφh.又因为S0是S的拟理想恰当断面,从而hgh=gφh.因
此,hghg=gφh·g=hgφg=h·gφ.又由于hg∈E0,所以,hg=hghg =hgφ.
(2)⇒(3)显然.
(3)⇒(1)设 E0 I⊆Re gS0,∀f∈E0,∀e∈I,记x=fe∈Re gS0.由引理4,存在x-
1∈V(x)∩S0,且eφx-1 f∈V(x)∩S0.因此,x-1=eφx-1 f.
因为
从而,x∈V(ex-1)∩S0.
又因为
因此,xx-1∈V(ex-1)∩S0.由引理4,xx-1=x,所以,x=fe即 E0 I⊆ E0.
(2)⇒(4)对于∀e,f∈I.由(2)及引理2则有,
因此 I是S的一个子带.
(4)⇒(5)设I是S的子带,则 E0 I⊆I.因为S0是S的拟理想恰当断面,根据引理3,E0 I⊆ΛI⊆S0,从而,E0 I⊆S0∩I⊆ E0.
对于∀e,f,h∈I,由(4)有,
因此I是左正规带.
(5)⇒(2)设 I是左正规带,∀h∈E0,∀g∈I,则hg=hg·gφ=h·gφ·g=h·gφ.
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