山东省淄博市临淄区第一中学高三数学文上学期期末试题含解析

山东省淄博市临淄区第一中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 点M的直角坐标为化为极坐标为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 已知函数实数满足若实数为方程
的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是
A ．< B．> C．< D ．>
参考答案：
D
略
4. 在平面上，，，，若
，则的取值范围是（）
A ．B．C ．
D．
参考答案：
D
根据条件知A，构成一个矩形以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
设，点O的坐标为则点P坐标为.由得则，
又由，得则，即①. 又，得，则；
同理由，得，
即有②由①②知，
所以. ,故选,故选D.
5. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
过作的平行线交于，连接，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，求出所在的三角形的各边的长，运用余弦定理可求得值.
【详解】过作的平行线交于，连接，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，
因为，，所以，，，所以
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查空间中异面直线所的角的计算，一般可通过平移的方法，使两异面直线的平行线相交，找出异面直线所成的角的平面角，在运用余弦定理求得其角，属于基础题.
6. 已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（）
A．﹣2 B．﹣C．D．2
参考答案：
D
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】直接利用向量垂直数量积为0列式求得a值．
【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1），
∴由⊥，得1×a+2×（﹣1）=0，
即a=2．故选：D．
7. 设集合，集合，则（）
A． B．C． D．
参考答案：
B
【知识点】集合的运算
【试题解析】所以。

故答案为：B
8. 设a=log36,b=log510,c=log714,则()
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
参考答案：
D
由题意知:a=log36=1+log32=
因为log23<log25<log27,所以a>b>c,略
9. 已知集合，，则等于( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【知识点】交集的运算A1
解析：因为集合，，则=,故选C.
【思路点拨】直接利用交集的定义即可.
10. 关于函数，下列说法正确的是
A．是奇函数B．在区间上单调递减
C．为图象的一个对称中心D．最小正周期为
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆M：，在圆M上随机取两点A、B，使
的概率为
.
参考答案：
12. 若命题“是真命题”，则实数a 的取值范围
是。

参考答案：
或
若命题为真，则对应方程有解，即，解得或。

13. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函
的图象，则的最小正周期是______
参考答案：
【分析】
先由图像的变化得到解析式，再由，即可求出函数的最小正周期.
【详解】依题意可得，所以的最小正周期是.
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常
考题型.
14. 当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．
参考答案：
[﹣6，﹣2]
【考点】函数恒成立问题．
【专题】导数的综合应用．
【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，
利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞
0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故答案为：[﹣6，﹣2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最
后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．
15. 甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分
钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】分别设出两个人解答一道几何题所用的时间为x，y，则5＜x＜7，6＜y＜8，甲、乙各解同
一道几何题，则乙比甲先解答完的满足x＜y，因此求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．
【解答】解：设两个人解答一道几何题所用的时间为分别为x，y，则5＜x＜7，6＜y＜8，对应区域
的面积为4，甲、乙各解同一道几何题，则乙比甲先解答完的满足x＞y，对应区域面积
=，由几何概型的个数得到所求概率为；
故答案为：．
16. 已知数列满足，（，），且是递减数列，
是时递增数列，则__________．
参考答案：
]
由于是递减数列，因此，于是①因为，所以②.由①②知.因为③逆增数列，所以
，所以.于是
所以.故填.17. 已知面积为的中，．若点为边上的一点，且满足，则当取最小时，
的长为．
参考答案：
根号下3
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足
，．数列满足，为数列的前n 项和．
（1）求、和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（1）（法一）在中，令，，
得即------------------------2分
解得，，-------------- Ks5u -----3分
．
，
．------ Ks5u -------5分
（法二）是等差数列，
． --------------------2分
由，得，
又，，则． ------------------3分(求法同法一)
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立． ----------------------6分，等号在时取得．
此时需满足． --------------------7分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立． ---------------8分是随的增大而增大，时取得最小值．
此时需满足． --------------------------9分
综合①、②可得的取值范围是． ---------------------10分（3），
若成等比数列，则，即．----11分（法一）由，可得，
即， -----------------------12分
． ---------------------13分
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列． ------------- 14分
（法二）因为，故，即，
，（以下同上）．------------------------13分
19. （本小题满分12分）
已知（其中）的最小正周期为。

（Ⅰ）求的单调递增区间；试卷
（Ⅱ）在中，分别是角A，B，C的对边，已知，
求角C。

参考答案：
解：（I）
试卷
故所求递增区间为
（II）试卷试卷
试卷试卷
去，
由,试卷
．．
20. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，以坐标原点为极点，x
轴非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.
（1）直线l 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（）.
参考答案：
（1）由直线的参数方程得，直线方程为：，极坐标方程为
. …………………5分
（2）联立，又，解得或，
所以直线与圆交点的极坐标为…………………10分21. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）求
；（2）若,,求实数的取值范围.
参考答案：
略
22. 已知数列{a n}前n项和S n满足, {b n}是等差数列,且,．（1）求{a n}和{b n}的通项公式:
（2）求数列的前2n项和．
参考答案：
（1）,；（2）.
【分析】
（1）应用，可以求出数列的通项公式，通过
,，列出方程组，可以求出等差数列的首项和公差，进而求出通项公式；（2）写出的表达式，化简，求出等差数列前项和，即可求出.
【详解】解：（1），
当时，得，
当时，，
作差得，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列,
所以.
设等差数列的公差为，
由，，
所以，，
所以，，
所以.
（2）
又因，
所以.
【点睛】本题考查了利用前项和求数列通项公式以及利用基本量计算求等差数列通项公式的问题.重点考查了求等差数列前项和的问题.。