基于凸风险度量的投资组合选择模型研究

基于凸风险度量的投资组合 选择模型研究
培养单位：管理学院
学科专业：系统工程
研 究 生：李 梦 君
指导教师：张 忠 桢 教授
2010年5月
分类号密级
UDC 学校代码10497
学位论文
题目基于凸风险度量的投资组合选择模型研究
英文Research on Portfolio Selction Model
题目under Convex Risk Measures
研究生姓名李梦君
姓名张忠桢职称教授学位硕士
指导教师
单位名称管理学院邮编430070
申请学位级别硕士学科专业名称系统工程
论文提交日期论文答辩日期
学位授予单位武汉理工大学学位授予日期
答辩委员会主席 罗荣桂评阅人 李仁安
喻小军
2010年5月
独创性声明
本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究性工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文字特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：
关于论文使用授权的说明
本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。

（保密的论文在解密后遵守此规定）
研究生（签名）导师（签名）：日期：
中文摘要
2008年全球范围的金融危机对各大投资银行影响巨大，也为世界各地的投资者带来了庞大的经济损失。

其影响之一就是监管者对于金融机构的严格监管，要求更为谨慎的风险控制。

于是，更为合理的风险度量法以及投资组合的建立变得尤其重要。

本文在理论研究与实证研究的基础上，系统地探讨了基于凸风险度量的投资组合选择模型的相关问题。

本文首先对投资组合理论以及风险度量理论进行了介绍，并对传统的风险度量方法作为投资组合的风险度量的不足进行了阐述。

进而引出了一致性风险度量。

在本文的第3章节，详细介绍了一致性公理的内容以及经济内涵，并介绍了作为一致性风险度量方法的CVaR风险度量。

接着在本文的第4章中，提出了凸风险度量这一概念及主要方法后，将其与一致性风险度量进行了对比研究，揭示两者的区别与联系。

在本章中也介绍了作为凸风险度量方法的信息熵风险度量。

最后，本文在第5章中详细探讨了凸风险度量下的投资组合选择模型，分别建立了基于GCVaR风险度量方法和基于信息熵风险度量方法的投资组合选择模型。

在前者的研究中，本文探讨了置信水平对于GCVaR模型有效前沿的影响，并且进一步做了实证分析工作；对于后者，本文在基于最大熵原理的基础上建立了均值-信息熵投资组合选择模型，并且进一步比较研究了均值-信息熵投资组合选择模型与Markovitz的均值-方差投资组合选择模型的实际意义和数学意义的区别。

本文对于主要的风险度量方法进行了比较系统的研究，这有助于理论研究工作的进一步开展。

另外，本文建立并详细分析了凸风险度量方法下的投资组合选择模型，这对于实际操作也有相当的指导意义。

关键词：一致性风险度量，凸风险度量，GCVaR，信息熵
Abstract
The global financial crisis happenned in 2008 brought a huge crash on the major investment banks as well as significant impact on investors around the world. As a result, all of them are suffering huge economic losses. One of the financial crisis’ effects is that supervisors begin to ask for a much more strict supervision of financial institutions, require more careful risk control. Thus, a more reasonable measure of risk on portfolios becomes particularly important.
In this paper, based on theoretical research and empirical research, a systematic study on convex risk measure of portfolio selection model was issued. Firstly, the portfolio theory and risk measurement theory are introduced, and drawbacks of the traditional risk measurement methods as a good method measuring portfolio’s are carefully described. Basing on that, this paper turns to the famous coherent risk measurement. In chapter 3 of this paper, it provides the contents of the conherent axioms of risk measurement and their economic contents, and then introduces a coherent risk measurement method whish is CVaR risk measure. In Chapter 4, this paper presents the concepts of convex risk measures and also some the main methods, and the differences and similarities between coherent risk measures and convex risk measures are compared. In this paper, it also describes methods for convex risk measures and the information entropy risk measure is detailedly analyzed. Finally, Chapter 5 discusses in detail convex risk measuers of portfolio selection models and respectively were built based on GCVaR risk measurement method and information entropy risk measurement method. In the former study, the paper discusses how the confidence level influences the efficient frontier of GCVaR model and furthermore the empirical analysis is done; for the latter, based on maximum entropy principle this paper bulits the mean-information entropiy risk portfolio selection model and furthermore a comparative study between the mean – entropy portofolio selection modeal and Markovitz’s mean-variance portfolio selection model is carefully discussed on both aspect of real meaning and mathematic meaning.
This paper makes a systematical research on risk measurement, which could
help to further theoretical research. In addition, a detailed analysis of portfolio selection model which bases on convex risk measures is also deserved considerable practical significance.
Key words: Coherent risk measure, Convex risk measure, GCVaR, Information entropy
目录
中文摘要 (I)
Abstract (II)
第1章绪论 (1)
1.1 研究的背景与意义 (1)
1.1.1 研究的背景 (1)
1.1.2 研究的意义 (2)
1.2 国内外研究研究文献综述 (4)
1.2.1 风险度量理论的研究现状 (4)
1.2.2 投资组合选择理论的研究现状 (5)
1.3 本文研究内容 (7)
1.3.1 研究内容 (7)
1.3.2 研究方法 (8)
第2章投资组合选择理论与计算方法 (10)
2.1投资组合选择理论的框架与基本概念 (10)
2.1.1 现代投资组合选择理论的框架 (10)
2.1.2 预期回报 (11)
2.1.3 投资组合的标准差 (12)
2.2 Markowitz的均值-方差投资组合选择模型 (14)
2.2.1 均值-方差证券投资组合选择模型 (14)
2.2.2 具有凸交易成本的均值-方差模型 (15)
2.2.3 具有凸借款成本的均值-方差模型 (16)
2.3 求解投资组合选择模型的旋转算法 (18)
2.3.1 旋转算法介绍 (18)
2.3.2 旋转算法求解线性规划问题 (18)
2.3.3 旋转算法求解二次凸规划问题 (20)
第3章风险度量与一致性风险度量 (22)
3.1 风险及风险度量 (22)
3.1.1 风险的定义 (22)
3.1.2 风险度量方法概述 (23)
3.1.3 传统风险度量方法及其不足 (24)
3.2 一致性风险度量 (26)
3.2.1 可接受集 (26)
3.2.2 一致性公理 (28)
3.2.3 一致性公理的经济含义 (28)
3.3 CVaR 风险度量模型 (29)
3.3.1 VaR风险度量模型 (29)
3.3.2 CVaR风险度量模型 (30)
3.3.3 CVaR的计算及其一致性 (31)
第4章凸风险度量 (33)
4.1 凸风险度量的提出与内容 (33)
4.1.1 凸风险度量的提出 (33)
4.1.2 凸风险度量的可接受集 (34)
4.1.3 凸风险度量的表示定理 (35)
4.2 凸风险度量的主要方法 (36)
4.2.1 GCVaR (36)
4.2.2 Shortfall Risk (36)
4.2.3 信息熵 (36)
4.3 凸风险度量与一致性风险度量的比较 (37)
4.3.1 两者的区别 (37)
4.3.2 两者的联系 (38)
4.4 信息熵风险度量模型 (38)
4.4.1 信息熵的定义 (38)
4.4.2 信息熵的含义 (39)
4.4.3 信息熵风险度量 (40)
第5章基于凸风险度量的证券投资组合选择模型 (41)
5.1 凸风险度量下的投资组合选择模型 (41)
5.1.1 模型的建立与特点 (41)
5.1.2 模型的求解 (41)
5.2 GCVaR风险度量下的投资组合选择模型 (42)
5.2.1 假设条件与符号表示 (42)
5.2.2 基于均值-GCVaR的投资组合选择模型 (43)
5.2.3 均值-GCVaR模型的有效前沿分析与实证研究 (43)
5.3 信息熵风险度量下的投资组合选择模型 (48)
5.3.1最大熵原理 (48)
5.3.2均值-信息熵投资组合选择模型的建立 (48)
5.3.3均值-信息熵模型与均值-方差模型的比较 (50)
第6章全文总结和研究展望 (53)
6.1 全文总结 (53)
6.2 研究展望 (54)
致谢 (55)
参考文献 (56)
附录 (59)
第1章 绪论
1.1 研究的背景与意义
1.1.1 研究的背景
当经济的发展到达一定水平的时候，无论是个人投资者还是机构投资者，在投资活动的数量和规模上都会有所增加。

对于中国市场而言，进一步深入的改革开放以及融入全球金融环境之中已经形成了一股庞大的趋势，带动着更多的资本投入到国内市场和国际市场的资本市场之中，寻找更优质的投资产品和更合理的投资组合。

下图列出了我国近年来的股票交易金额统计趋势，从中可以看出资本的投资需求在总体上是不断增加的。

155.96110.31194.34158.63124.25326.52
1551.22
866.83
1894.75
图1-1 我国股票交易金额趋势图（单位：百亿元）
一方面，当前的金融环境和金融监管要求投资者持有更为可靠的风险头寸，以保护金融市场的整体稳定水平。

2008年起因于美国“次贷危机”的金融海啸，给全世界范围内的投资者带来的损失是极其庞大的。

作为全球第一的美国经济受到次贷危机的重创。

曾经叱诧风云的华尔街五大投资银行或倒闭或被并购，一批商业银行破产。

保险业巨头AIG、巨型商业银行CITI BANK以及Fannie Mae 和Freddie Mac两大美国政府赞助企业，只因美国联邦政府巨额财政救助才免遭
灭顶之灾。

而在欧洲，各国也深受国际金融动荡的严重影响，从冰岛的国家破产再到最近的希腊主权债务危机。

越来越复杂的国际金融环境以及伴随而来的更为严格的金融监管就是当前国际金融投资环境的两大特点。

另一方面，投资组合领域的理论研究也是在不断地发展之中。

从最开始的在单期情形下，利用方差作为风险衡量水平的均值-方差投资组合选择模型的建立，到一致性风险度量，再到凸风险度量。

研究范围也不再固定于单期静态情形下对于资产收益率波动水平的研究，而是在多期动态情形下，对于投资组合选择模型进行着不断深入的探讨。

更为准确的风险度量方法带来的是对于投资组合更为理性的计量，从而达到合理的风险控制水平。

1.1.2 研究的意义
在丰富的金融投资理论中，资产组合选择理论占有极其重要的地位，毕竟投资决策在金融机构的经营活动中是最为基本的决策之一。

现代投资组合选择理论的主要目标就是以控制风险水平并且达到收益最大化，也即是投资者通过不同资产选择并赋予各自的权重以构成自己的投资组合，然后在获得预期收益率的前提下把风险控制在最小或者在可接受风险水平之下，达到效益最大。

即使是在现代投资组合选择理论出现之前，投资者就已经认识到了将资金进行分散化的投资可以降低投资风险水平，提高投资收益。

这就像一句通俗的投资理念一样“不要把鸡蛋放在一个篮子里”。

但是第一个对此问题做出系统分析的是美国经济学家Harry Max Markowitz以及他所创立的均值-方差投资组合选择理论。

在1952年的《Journal of Finance》杂志上，Markowitz发表了Portfolio Selection一文，标志着投资组合选择理论的正式诞生。

Markowitz根据每一种证券的预期收益率、方差以及所有证券相互之间的协方差矩阵，计算得出证券投资组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定出了最佳投资组合。

当然，Markowitz的均值-方差投资组合选择理论也有一定的局限性，其中讨论比较多的就是以收益率的方差作为风险的度量标准是否合理。

同时，对于Markowitz的均值-方差投资组合的协方差计算也是非常复杂的过程之一。

Markowitz的均值-方差投资组合选择理论的局限性也体现出了现代投资组合选择理论的两方面的发展方向。

诚如CVaR理论的主要贡献者之一Stanislav Uryasev（2001）所说“投资组合选择理论的发展来源于两个方面：（1）在选择效用函数，风险度量，约束条件方面建立更为合理的投资组合选择模型；（2）这样的模型在大规模计算上具有可计算性，有效性。

”
对于经典的均值-方差投资组合选择模型的简化也是Markowitz的后继者所致力于的主要工作之一。

在一系列的假设条件下，Sharp（1963,1964）等学者提出了资本资产定价模型CAPM（capital asset pricing model，），简化了Markowitz的均值-方差投资组合选择模型。

然而，这样的简化在Uryasev所阐述的投资组合选择理论发展方向中只能算是在算法上的简化和发展。

因为，Sharp在他的CAPM理论中仍然继承了他的老师Markowitz以方差作为风险度量的前提条件。

在另一个方面，国内外一些学者在发现方差作为风险度量标准的缺陷与不足上，相继提出了一些新的投资组合选择模型。

J.P. Morgan（1996）提出的VaR （value at risk）作为风险度量方法就是最重要的风险度量方法方面的发展之一。

Gaivoronski A, Pflug G（2000）即是在这样的风险度量方法基础上提出了新的投资组合选择模型。

由于VaR的易操作性和直观性，它在金融领域的应用已经是十分广泛了。

但是，对于投资组合选择理论的研究并没有就此停止。

Artzner，Eber和Heath （1999）提出的一致性风险度量模型（coherent risk measures）可以说是在风险度量的研究上做出了一次总结性的研究。

并且Artzner等的研究也显示出VaR并非一致性风险度量。

从而新的风险度量方法相继提出，例如CVaR，ES等，基于这些一致性风险度量方法，新的投资组合选择模型也得到了发展。

理论的提出都有其限制条件，这也就为新理论的诞生提供了空间。

在发现一致性风险度量无法反映出在风险头寸增大后的流动性风险增加这一不足后，Follmer和Schied（2002）提出了凸风险度量（convex risk measures），并且指出信息熵风险度量（information entropy risk measure）即是一种凸风险度量方法。

本文的研究就建立在以凸风险度量方法作为风险的测量，并在此基础上建立相应的投资组合选择模型。

研究的理论意义在于两个方面：一方面，总结了风险度量方法在投资组合选择理论中的主要方法，这对进一步该领域的研究做出了一定的承前启后的工作；另一方面，建立了基于凸风险度量方法的投资组合选择模型，并做出了一定的实证研究工作，这既是对于投资组合优化理论发展的推进做出了一定的贡献。

同时，本文的研究也具有其实际意义。

在当前的国际金融环境大背景之下，旺盛的投资需求压力以及风险监管水平的提高形成了双重压力，更为可靠与高效的投资组合选择理论的提出以及相应优化模型的研究则可以为投资者提供相应的思路与工具以缓解此压力。

1.2 国内外研究研究文献综述
1.2.1 风险度量理论的研究现状
风险（risk）本身是中性的，V on和Morgenstern（1953）、Savage（1954）以及Dreze（1974）都将风险定义为对未来事件的不确定性的暴露（exposure to uncertainty）。

在本文的研究中，风险均指金融风险1。

风险度量是指将未来的不确定对应于具体的数值，即风险度量大小的值。

对于资产的风险测量有很多方法，例如灵敏度分析方法、波动性分析方法等，详见本文第3章。

（1）国外关于风险度量理论的研究现状
作为投资组合的一种风险度量，Markowitz（1952）首先是使用了统计学中的方差（variance）作为标准。

然而即使是Markowitz本人也承认方差作为风险度量的不足，其缺陷在于它对资产组合的正向的波动与负向的波动不加区别，都被视为风险。

而事实上，在实际中，投资者对于收益的正向波动是喜好而把收益的损失偏差视为风险并加以控制。

Markowitz（1959）提出将半方差（semi-variance）作为方差的替代来度量投资组合的风险大小。

Fishburn（1977）提出衡量下行风险（downside-risk）的LPM（Lower Partial Moments），指出只有在收益率低于一个给定的目标值时，风险才会发生。

Konno和Yamazaki（1991）则以资产组合收益率的绝对偏差作为风险的度量。

随之而后，更多的针对以上新的度量方法的改进也得到了进一步的研究，也使得风险度量的理论研究得到了长足的发展。

以上的风险度量方法大概来讲都可以称为对于方差风险度量方法的改进。

而真正具有突破性进展的风险度量方法可以算是于1991年由JP Morgan公司提出的VaR(value at risk)。

Jorion P（1996）对VaR进行了比较系统的理论阐述。

Stambaugh（1996）概括了使用VaR方法的优点。

在VaR的提出之后，它也成为了国际金融机构在实施风险管理的重要手段之一。

Artzner et al.（1999）在《Mathematical Finance》杂志上发表了Coherent Measures of Risk一文，对于风险度量方法做出了总结性的研究，并且指出了有效的风险度量方法应该满足一致性公理。

并且Artzner（1999）指出WCE（worst conditional expectations）以及Tail-VaR满足一致性公理。

同时，Artzner也指出VaR 方法并不是一个一致性风险度量，因为它不满足次可加性[2]。

1金融风险，是金融机构在经营过程中，由于决策失误，客观情况变化或其他原因使资金、财产、信誉有遭受损失的可能性。

对于预期收入遭受损失的可能性，就是通常所说的金融风险。

针对VaR的不足，理论界对一致性风险度量方法提出了更进一步的研究。

Rockafeller和Uryasev（2000）提出了CVaR是一种一致性风险度量方法。

与CVaR 方法类似，Chekhlov、Uryasev和Zabarankin（2000）指出CDaR（conditional drawdown-at-risk）也是一种一致性风险度量方法。

Acerbi（2001）指出ES（expected shortfall）可以是作为VaR的替代方法，且前者满足一致性公理。

Follmer和Schied（2002）提出了凸风险度量（convex risk measures），认为凸风险度量相比一致性风险度量更能体现资产规模扩大后产生的风险波动情况，可以解释流动性风险的产生。

Jobert和Rogers（2004）则对动态凸风险度量（dynamic convex risk measures）进行了一定的研究。

当然，对于风险度量方法的研究不仅仅向着新的风险度量方法的提出这个方向进行着，同时对于多期情况的探讨等也是重要的发展方向。

（2）国内关于风险度量理论的研究现状
相比国外学者对于风险度量理论的研究，国内的相关工作开展相对较晚，但是，也算是比较充分和丰富。

王春峰（2001）对风险度量以及VaR方法做了一次总结性的研究。

高飞和赵正全（2002）则是在随机占优的理论框架内对方差、半方差等风险度量方法做了深入的讨论和研究。

高全胜（2004）介绍了一致性公理，并且对方差、半方差、VaR、CVaR、ES等风险度量方法做了一次比较全面的介绍与比较。

在此之前，国内的研究多数是以国外研究成果为基础，做出一定的介绍性和优化改进工作。

彭实戈（1997，2006）则是将倒向随机微分方程引入到风险度量之中。

这也是在国际上比较有影响力的重要研究成果之一。

林志炳（2006）在讨论风险度量的一致性公理基础上，比较了CVaR和CDaR 方法。

张晓荣（2006）在她的研究中比较了VaR和ES，并且介绍了谱风险测度以及失真风险测度。

刘小茂和田立（2007）对已经出现的风险度量方法做了一次全面的总结。

1.2.2 投资组合选择理论的研究现状
现代投资组合选择理论（Modern Portfolio Selection Theory）的开端标志是Markowitz（1952）的开创性研究。

他的主要研究成果就是本文主要讨论的投资组合选择模型之一：均值-方差模型。

作为投资组合选择理论最重要的工作之一就是对其进行的优化工作。

关于Markowitz的均值-方差模型，国内学者的研究较为充分，并给出了一些程序化的求解方法，如屠新署(2002)、王春峰等(2002)、张忠祯(2003)等。

然而，投
资组合优化方法的研究并不是本文的主要内容。

（1）国外关于投资组合理论的研究现状
过于复杂的投资组合选择理论并不利于实际操作。

Sharpe（1971）提出的指数模型简化了协方差的计算。

Konno和Yamazaki（1991）在《Management Science》上提出基于绝对偏差即一阶中心矩作为风险度量的投资组合选择模型。

投资组合选择理论的发展也是伴随风险度量理论的发展而发展的。

Bawa和Vijay（1978）利用随机占优理论研究了投资组合选择模型的最优解。

Nawrocki 和Staples（1989）对于LPM风险度量下的投资组合做了相应的研究。

在VaR方法得到提出之后，Gaivoronski和Pflug（2000）建立了基于VaR风险度量方法的投资组合选择模型。

Rockafeller和Uryasev（2002）提出了基于CVaR的投资组合选择模型，并且给出了相应的求解算法。

Chekhlov、Uryasev和Zabarankin（2000，2005）讨论了在CDaR度量下的投资组合选择模型。

Luthi和Doege（2005）介绍了凸风险度量并且在此基础上建立了基于凸风险度量的一般化投资组合选择模型（generalized model）。

Lim，Sherali和Uryasev（2008）使用新的方法对大规模情景下的CVaR投资组合选择模型进行了算法上的仔细研究。

当然，国外关于投资组合理论的研究工作远不止以上所列，限于篇幅，在这里只是给出了研究的一条主线，即投资组合选择理论主要还是与风险度量理论的发展相一致。

（2）国内关于投资组合选择理论的研究现状
相比较国外的研究，国内对于投资组合选择理论的研究多集中在算法上的探讨。

张忠桢（2001，2002）分别利用旋转算法和逆矩阵法对均值-方差模型进行了求解。

徐绪松（2002）利用遗传算法和模拟退火算法对均值-绝对偏差和均值-半绝对偏差等投资组合选择模型进行了求解。

唐小我等（2003）也重点介绍了投资组合选择模型的算法求解，并做了总结性的研究。

张金清（2004）在基于VaR方法的基础上，讨论了在非理性下的投资偏好和投资选择问题。

刘小茂（2006）则对于在VaR以及CVaR风险度量方法下的投资组合选择模型进行了系统性的研究。

张鹏等（2006，2007，2008）在基于旋转算法的求解基础上分别探讨了允许卖空，不允许卖空的均值-方差模型，均值-半绝对偏差模型以及均值-VaR模型。

总而言之，由于历史背景和学术环境，国内的研究工作晚于欧美国家，但是在近些年的研究工作也是颇有成果，并且应用到实际风险控制之中。

例如，彭实戈（2006）与上海期货交易所共同完成了基于倒向随机微分方程的风险管
理体系的理论研究以及相应的实际应用。

1.3 本文研究内容
1.3.1 研究内容
本文的研究主要内容力求对不同类型风险度量方法下的投资组合选择模型做一定的总结性工作。

在投资组合选择理论和风险度量理论的相关基础概念的介绍基础上，阐述了传统风险度量方法的不足。

接着详细介绍了被认为是最重要的风险度量标准的一致性公理，并结合一致性风险度量公理探讨了CVaR风险度量方法与其一致性。

在这之后本文介绍了凸风险度量。

对于两种不同的风险度量，本文对两者的区别与联系做了详细的比较，并介绍了作为凸风险度量方法的信息熵风险度量。

最后，本文对基于凸风险度量方法的投资组合选择模型进行了深入的研究。

分别研究了基于GCVaR风险度量的投资组合选择模型以及基于信息熵风险度量的投资组合选择模型。

研究的主要内容放在了投资组合选择模型的建立以及相应的实证研究和比较研究。

如果把当前主要的风险度量判断标准分类如下，那么可以看出本文各章节的研究重点所在。

表1-1 本文的主要研究内容一览
研究主体所在章节研究详细
现代投资组合选择理论
（MPST）第二章
介绍了MPST的主要理论基础以及相应
的有效边界求解算法。

一致性风险度量第三章探讨了传统风险度量方法的不足，引出一致性风险度量公理，并详细介绍了CVaR 风险度量方法。

凸风险度量第四章介绍了凸风险度量相关的概念，与一致性风险度量进行比较，介绍了几种主要的凸风险度量方法并且详细介绍了信息熵风险度量方法。

凸风险度量下的MPST 第五章（1）建立GCVaR风险度量下的投资组合选择模型，对其有效前沿进行分析并做实证研究。

（2）在信息熵风险度量之下，建立了投资组合选择模型，并对模型与均值-方差模型做了进一步的对比研究。

1.3.2 研究方法
本文的研究虽然在标题上定义为凸风险度量方法下的投资组合选择理论的研究。

但是，纵观全文，本文的研究保持着理论研究的连续性和系统性，主要内容的发展基于两条主线。

一是风险度量方法的理论研究进展，另一条则是由中观到微观，从理论到实证。

本文力求在清晰表达风险度量这一概念和理论研究进展的基础上，详细介绍凸风险这一新的风险度量标准。

作为本文的重点之一，建立凸风险度量方法下的投资组合选择模型放在了文章的末尾章节。

另外，本文也做出了一定的实证研究工作。

本文拟解决的关键问题主要有：一致性风险度量方法与凸风险度量方法的区别与联系；基于GCVaR风险度量的投资组合选择模型的建立及其有效前沿分析，以及实证研究；信息熵风险度量下的投资组合选择模型的建立及其与均值-方差的比较。

全文技术路线如图1-2所示。