04-03005圆轴扭转的应力、强度条件(1)
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第三章 扭转
第 四节 圆轴扭转的应力、强度条件（1）
§3-4 圆轴扭转时的应力、强度条件
问题：横截面上产生何种应力？如何分布？各点应力的计算？
一、圆轴扭转时横截面上的应力 Me
pq
1.实验分析
现象：（1）两圆周线的大小、形状、 间距均未改变，只是绕杆轴线相对旋转 一个角度。 （2）纵向线均倾斜了一个角度 γ 。
AB
pq
x
dx
平面假设：
Me
O
x
横截面在变形后仍保持为平面，且形状和大小不变，半径仍保持为直线， 如刚性圆盘般绕轴线转动。
推论：横截面上没有正应力，只有切应力，且方向垂直于半径。
一、圆轴扭转时横截面上的应力
2.应力公式推导
Me
(1)变形几何方面
取微段dx研究
γρ
tanγ ρ
=
B' C ' dx
d
dx
(1)
式中 d ——单位长度扭转角
dx
即：对给定的截面，与成正比。
pq
AB
pq
Me
O
x
x
dx
p T
q T
R
A' O1
B'
O2
d
A B C'
C
p
q
dx
一、圆轴扭转时横截面上的应力 d
γ ρ = ρ dx
2.应力公式推导
(2)物理方面
max
o
由剪切胡克定律
G
G d
dx
(2)
即：对给定的截面， 与 成正比。 的方向：与半径垂直
一、圆轴扭转时横截面上的应力
2.应力公式推导 (3)静力学方面
d
τ ρ = Gρ dx
由合力矩定理
T
A
dA
G 2 dA
G d dx
A
2dA
G
I
p
d
dx
令
IP =
ρ2dA
A
d T
即：
dx GIp
(3)
式中 GIp——圆轴的扭转刚度 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
2.应力公式推导
将(3)式
d T
= dx GI p
代入(2)式
τρ
=
Gρ
d，得到
dx
Tρ τρ = Ip
圆轴扭转时横截面上 任一点的切应力计算
公式
式中 T ——所求点所在横截面的扭矩
——所求点到圆心的距离 IP= A 2dA——横截面对圆心O的极惯性矩，单位：m4
一、圆轴扭转时横截面上的应力
3.最大切应力
max
TR Ip
即：
max
T Wp
令
Wp
Ip R
Wp ——扭转截面系数，单位：m3。
注意：推导中以平面假设为主要依据，且使用了胡克定律。所以，以上公式
仅适用于线弹性范围内的等直圆截面杆或空心圆截面杆。
感谢聆听！
第 四节 圆轴扭转的应力、强度条件（1）
§3-4 圆轴扭转时的应力、强度条件
问题：横截面上产生何种应力？如何分布？各点应力的计算？
一、圆轴扭转时横截面上的应力 Me
pq
1.实验分析
现象：（1）两圆周线的大小、形状、 间距均未改变，只是绕杆轴线相对旋转 一个角度。 （2）纵向线均倾斜了一个角度 γ 。
AB
pq
x
dx
平面假设：
Me
O
x
横截面在变形后仍保持为平面，且形状和大小不变，半径仍保持为直线， 如刚性圆盘般绕轴线转动。
推论：横截面上没有正应力，只有切应力，且方向垂直于半径。
一、圆轴扭转时横截面上的应力
2.应力公式推导
Me
(1)变形几何方面
取微段dx研究
γρ
tanγ ρ
=
B' C ' dx
d
dx
(1)
式中 d ——单位长度扭转角
dx
即：对给定的截面，与成正比。
pq
AB
pq
Me
O
x
x
dx
p T
q T
R
A' O1
B'
O2
d
A B C'
C
p
q
dx
一、圆轴扭转时横截面上的应力 d
γ ρ = ρ dx
2.应力公式推导
(2)物理方面
max
o
由剪切胡克定律
G
G d
dx
(2)
即：对给定的截面， 与 成正比。 的方向：与半径垂直
一、圆轴扭转时横截面上的应力
2.应力公式推导 (3)静力学方面
d
τ ρ = Gρ dx
由合力矩定理
T
A
dA
G 2 dA
G d dx
A
2dA
G
I
p
d
dx
令
IP =
ρ2dA
A
d T
即：
dx GIp
(3)
式中 GIp——圆轴的扭转刚度 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
2.应力公式推导
将(3)式
d T
= dx GI p
代入(2)式
τρ
=
Gρ
d，得到
dx
Tρ τρ = Ip
圆轴扭转时横截面上 任一点的切应力计算
公式
式中 T ——所求点所在横截面的扭矩
——所求点到圆心的距离 IP= A 2dA——横截面对圆心O的极惯性矩，单位：m4
一、圆轴扭转时横截面上的应力
3.最大切应力
max
TR Ip
即：
max
T Wp
令
Wp
Ip R
Wp ——扭转截面系数，单位：m3。
注意：推导中以平面假设为主要依据，且使用了胡克定律。所以，以上公式
仅适用于线弹性范围内的等直圆截面杆或空心圆截面杆。
感谢聆听！