2023学年湖南八年级数学上学期同步知识讲练1-3-3 整数指数幂的运算法则知识讲解(含解析)

专题1.3.3 整数指数幂的运算法则（知识讲解）
【学习目标】
1．理解整数指数幂的运算法则，并熟练进行运算．
2．熟练掌握整数指数幂的性质．
3．在学习过程中进一步培养学生的逻辑思维能力与计算能力．
【知识梳理】
知识点: 整数指数幂的运算法则
我们可以把正整数指数幂的5个运算法则推广并归纳为整数指数幂的以下3个运算法则：
①a m·a n＝a m＋n(a≠0，m，n都是整数)；
②(a m)n＝a mn(a≠0，m，n都是整数)；
③(ab)n＝a n b n(a≠0，b≠0，n是整数)．
注意：对于含有负整数指数幂的运算，计算方法和整数指数幂的运算一样，一般有两种运算方法：一是首先把负整数次幂转化为正整数指数幂的形式，然后再计算；二是直接根据整数指数幂的运算法则进行计算，但要注意结果中不能含有负整数指数幂的形式．
【归纳结论】幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算.
【类型一】乘积形式的整数指数幂的运算
例1. 计算：
(1)(－a)3÷a－1÷(a－2)－2；(2)(a－2b－3)－3·(a2b)－2；
(3)(2x－3y2z－2)－2(3xy－3z2)2；(4)(－2a－3)2b3÷2a－6b－2.
解：(1)原式＝－a3÷a－1÷a4＝－a4÷a4＝－1；
(2)原式＝a6b9·a－4b－2＝a2b7；
(3)原式＝(2－2x6y－4z4)(32x2y－6z4)＝2－2·32x8y－10z8＝9x8z8 4y10；
(4)原式＝4a－6b3÷2a－6b－2＝2b5.
方法总结：整数指数幂的运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除．最后结果要化为正整数指数．
【针对训练】设a≠0、b≠0，计算下列各式(结果不含负指数)：
(1)a 4·a －8； (2)(a －3)2； (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－42； (4)(x －2y)－3. 解：(1)原式＝a －4＝1a 4； (2)原式＝a －6＝1a 6； (3) 原式＝(44)2＝48； (4)原式＝x 6y －3＝x 6y 3.
【类型二】 商形式的整数指数幂的运算
例1.计算：(1)(x 2＋x x 2＋2x ＋1)－1÷(x x ＋1)－2； (2)[(2a －3b －2c 3a －4b
－2)－1]－2； (3)[（a －b ）－3（a ＋b ）3
（a ＋b ）2（a －b ）－2
]－2. 解：(1)原式＝[x （x ＋1）（x ＋1）2]－1·(x x ＋1
)2＝x ＋1x ·x 2（x ＋1）2＝x x ＋1； (2)原式＝(2a －3b －2c 3a －4b
－2)2＝4a 2c 29； (3)原式＝（a －b ）6（a ＋b ）－6（a ＋b ）－4（a －b ）4＝（a －b ）2
（a ＋b ）2
. 方法总结：商形式的整数指数幂的运算有两种方法：一是先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再约分化简；二是先计算整数指数幂，最后再把负整数指数幂化为正整数指数幂．
【针对训练】计算：[(a ＋b)－4]2(a ＋b)2÷(a ＋b)；
解：原式＝(a ＋b)－8(a ＋b)2÷(a ＋b)＝(a ＋b)－7＝
1（a ＋b ）7； 【类型三】 逆用幂的运算法则求值
例3.已知a
－m ＝3，b n ＝2，则(a －m b －2n )－2＝________． 解析：(a －m b －2n )－2＝(a －m )－2·b 4n ＝(a －m )－2(b n )4＝3－2×24＝169.故填169.
方法总结：把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键．
例4.计算：(278)x －1·(23)3x －4.
解：(278)x －1·(23)3x －4＝(32)3x －3·(23)3x －4＝(23)3－3x ·(23)3x －4＝(23)3－3x ＋3x －4＝(23)－1＝32.
方法总结：利用负整数指数幂，把底数是互为相反数的两数可以转化为相同，再根据幂的运算法则进行计算．
【针对训练】计算：(3x －2y －3)·(－2x 2y)－3
·⎝⎛⎭⎫－16xy 2－2. 解：原式＝3x 2y 3·1（－8x 6y 3）·36x 2y 4＝－272x 10y 10. 【类型四】整数指数幂运算的实际应用
例5.某房间空气中每立方米含3×106个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1毫升杀菌剂可以杀死2×105个这种病菌，问要将长10m ，宽8m ，高3m 的房间内的病菌全部都杀死，需要多少杀菌剂？
解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)＝(720×106)÷(2×105)＝360×10＝3.6×103(毫升)．
答：需要3.6×103毫升杀菌剂才能将房间中的病菌全部杀死．
方法总结：科学记数法在实际生活中应用广泛，在运用科学记数法解题时要注意a ×10－n 中n 的值．。