高中数学平面向量及其应用6.4.3第1课时余弦定理课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴cos C<0,
∴cos
+ -
C=
=
-
2
<0,
∴
t
>5.
又 t>0,∴t> .
∴t 的取值范围是( ,3).
在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角
形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三
边.
【变式训练】 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a
∵C=,∴△ABC
为等边三角形.
1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是
否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还
要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?
有无直角或钝角?
2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和
与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与
探究二
探究三
探究一 已知两边及一角解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中,已知 a=2,b=2 ,C=15°,求角 A.
(2)在△ABC 中,已知 b=3,c=3 ,B=30°,求 a.
分析:(1)已知两边及其夹角,利用余弦定理求c,再用余弦定理
的推论求角A.
(2)已知两边及其中一边的对角,利用余弦定理b2=a2+c22accos B建立关于a的一元二次方程,解方程即可.
+ -
cos A= ,
+ -
+ -
,cos B=
,
3.做一做:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8,
c=5,则角B为(
)
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.不确定
解析:由余弦定理得 cos
+ -
B=
又 0°<B<180°,因此角 B 为钝角.
答案:C
=
+ -
=- <0.
××
三、解三角形
填空:(1)一般地,三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c
叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误
的画“×”.
得 b2=a2+c2-2accos B=82+[4( +1)]2-2×8×4( +1)cos 60°
=64+16(4+2 )-64(
+1)×=96,
∴b=4 .
cos
+ -
A=
=
+( +) -
× ×( +)
=
.
∵0°<A<180°,∴A=45°.
可得 32=a2+(3 )2-2a·3 ·cos 30°,即 a2-9a+18=0,
解得 a=6 或 a=3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法:
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出
两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,可以
由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用
余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
【变式训练 1】 (1)在△ABC 中,AC=2,AB=2( +1),A=120°,
则 BC=
.
(2)在△ABC 中,cos
A=,a=4,b=3,则
c=
.
解析:(1)由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A
=22+4(
+1)2-2×2×2(
+(-) -(+)
θ=
(-)
=
(-)
<0,
(-)
解得<a<8.∴a 的取值范围是(2,8).
随 堂 练 习
1.在△ABC中,符合余弦定理的是(
A.c2=a2+b2-2abcos C
B.c2=a2-b2-2bccos A
C.b2=a2-c2-2bccos A
+ +
D.cos C=
答案:A
)
2.在△ABC 中,已知 a2+b2=c2+ ba,则 C=(
A.30°
B.45°
C.135°
解析:由余弦定理得 cos
+ -
C=
又 C 为△ABC 的内角,得 C=45°.
答案:B
=
,
)
D.150°
3.在△ABC 中,若
故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
+ -
即
=
,∴cos C= .
又 C 为△ABC
的内角,∴C=.
∵sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
又 sin C=2cos Bsin A,
∴cos Bsin A-cos Asin B=0,sin(A-B)=0.
∵A,B 为△ABC 的内角,∴A=B.
(2)符号语言:在△ABC中,
a2= b2+c2-2bccos A ,
b2= a2+c2-2accos B ,
c2= a2+b2-2abcos C .
4.做一做:在△ABC中,AB=1由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
=1+4-2×1×2× =3.故
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解忽略了两边之和大于第三边,即a+b>c这个隐含条
件,导致t的取值范围变大.
正解:∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-a<c<a+b,
∴2-1<t<1+2=3,∴1<t<3.
又△ABC是钝角三角形,且C是最大角,
∴90°<C<180°.
A= =
× ×( + )
cos
+ -
B=
( ) +( + ) -( )
=
× ×( + )
=
∵A,B∈(0°,180°),∴A=60°,B=45°.
∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°.
=
.
,
已知三边解三角形的步骤:
解:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=
+
.
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2 ×( + )=8-4 ,
∴c= − .
∴cos
+ -
A=
=
.
又 0°<A<180°,∴A=30°.
(2)把 b=3,c=3 ,B=30°代入 b2=a2+c2-2accos B,
△ABC的形状.
解:由余弦定理,原式可化为
+ -
-·
b=
+ -
-·
a,
整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,
故 a2+b2-c2=0 或 a2=b2,
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
易 错 辨 析
忽视三角形各边满足的条件致误
2
2
c=3a,b -a = ac,则
cos B 的值为
解析:由 c=3a 和余弦定理得
+ -
cos B=
答案:
=
-+
-
= = =
.
.
4.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( +1),解此三角形.
解:由余弦定理,
一、余弦定理
【问题思考】
1.已知一个三角形的两条边及其夹角,这个三角形的大小、形
状能完全确定吗?
提示:根据三角形全等的判断方法可知,这个三角形的大小、
形状是完全确定的.
2.在△ABC 中,如果已知边 a,b 和角 C,那么从向量的角度考虑,边
c 的长度可视为什么?向量如何用已知边所对应的向量表示?
答案:
AC= .
.
二、余弦定理的推论
【问题思考】
1.在△ABC中,已知三条边,如何求出其三个内角?
提示:可将余弦定理中的三个公式变形为
cos
+ -
B=
,cos
+ -
C=
求解.
2.填空:在△ABC 中,cos A=
cos
+ -
C=
.
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
【变式训练2】 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别
为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为
(
)
A.
B.
C.
D.
解析:∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,
如何求出||?边 c 的长度用边 a,b 和角 C 如何表示?
提示:边 c 的长度可视为||; = − ;通过向量的数量
积求||;c2=a2+b2-2abcos C.
3.填空:
(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
的取值范围.
解:∵2a+1,a,2a-1 是三角形的三边,
+ > ,
∴ > ,
解得 a> ,此时 2a+1 最大.
- > ,
∴要使 2a+1,a,2a-1 表示三角形的三边,
还需 a+(2a-1)>2a+1,解得 a>2.
设最长边 2a+1 所对的角为 θ,
则 cos
∴(a+c)(c-a)=b(b-a),即c2-a2=b2-ab,
∴由余弦定理得 cos
又
0<C<π,∴C=.
+ -
C=
=
,
答案:B
探究三 判断三角形的形状
【例3】 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Bsin A=sin C,试判
断此三角形的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得 a2+b2-c2=ab,
(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个
特例.( √ )
(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.( √ )
(3)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形.( × )
(4)在△ABC中,若b2+c2<a2,则△ABC是钝角三角形.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
【典例】 在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t
的取值范围.
错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,
∴C>90°,∴cos C<0,
+ -
∴cos C=
<0,
∴a2+b2-c2<0,即 1+4-t2<0.
∴t2>5.又 t>0,∴t> ,
即 t 的取值范围为( ,+∞).
探究二 已知三边解三角形
【例 2】 已知△ABC 的三边长分别为 a=2 ,b=2 ,
c= + ,求△ABC 各角的度数.
分析:利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和
定理求出第三个角.
解:由余弦定理的推论,
得 cos
+ - ( ) +( + ) -( )
+1)×
-
=24+12 ,
∴BC= ( + )=3 + .
2
2
2
2
(2)由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,即 16=9+c
整理得 5c -18c-35=0,解得
2
答案:(1)3 +
(2)5
-6× c,
c=5(c=-不合题意,舍去),故
c=5.
边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.
3.判断三角形形状时,还经常用到以下结论:在 △ABC中,设
a>b>c,
若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形;
若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;
若a2<b2+c2,则△ABC为锐角三角形.
【变式训练3】 在△ABC中,若(a-ccos B)·b=(b-ccos A)a,判断
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
课标定位
素养阐释
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关
系.
2.掌握余弦定理及其推论.
3.能够利用余弦定理及推论解三角形.
4.加强数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
∴cos
+ -
C=
=
-
2
<0,
∴
t
>5.
又 t>0,∴t> .
∴t 的取值范围是( ,3).
在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角
形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三
边.
【变式训练】 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a
∵C=,∴△ABC
为等边三角形.
1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是
否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还
要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?
有无直角或钝角?
2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和
与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与
探究二
探究三
探究一 已知两边及一角解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中,已知 a=2,b=2 ,C=15°,求角 A.
(2)在△ABC 中,已知 b=3,c=3 ,B=30°,求 a.
分析:(1)已知两边及其夹角,利用余弦定理求c,再用余弦定理
的推论求角A.
(2)已知两边及其中一边的对角,利用余弦定理b2=a2+c22accos B建立关于a的一元二次方程,解方程即可.
+ -
cos A= ,
+ -
+ -
,cos B=
,
3.做一做:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8,
c=5,则角B为(
)
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.不确定
解析:由余弦定理得 cos
+ -
B=
又 0°<B<180°,因此角 B 为钝角.
答案:C
=
+ -
=- <0.
××
三、解三角形
填空:(1)一般地,三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c
叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误
的画“×”.
得 b2=a2+c2-2accos B=82+[4( +1)]2-2×8×4( +1)cos 60°
=64+16(4+2 )-64(
+1)×=96,
∴b=4 .
cos
+ -
A=
=
+( +) -
× ×( +)
=
.
∵0°<A<180°,∴A=45°.
可得 32=a2+(3 )2-2a·3 ·cos 30°,即 a2-9a+18=0,
解得 a=6 或 a=3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法:
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出
两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,可以
由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用
余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
【变式训练 1】 (1)在△ABC 中,AC=2,AB=2( +1),A=120°,
则 BC=
.
(2)在△ABC 中,cos
A=,a=4,b=3,则
c=
.
解析:(1)由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A
=22+4(
+1)2-2×2×2(
+(-) -(+)
θ=
(-)
=
(-)
<0,
(-)
解得<a<8.∴a 的取值范围是(2,8).
随 堂 练 习
1.在△ABC中,符合余弦定理的是(
A.c2=a2+b2-2abcos C
B.c2=a2-b2-2bccos A
C.b2=a2-c2-2bccos A
+ +
D.cos C=
答案:A
)
2.在△ABC 中,已知 a2+b2=c2+ ba,则 C=(
A.30°
B.45°
C.135°
解析:由余弦定理得 cos
+ -
C=
又 C 为△ABC 的内角,得 C=45°.
答案:B
=
,
)
D.150°
3.在△ABC 中,若
故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
+ -
即
=
,∴cos C= .
又 C 为△ABC
的内角,∴C=.
∵sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
又 sin C=2cos Bsin A,
∴cos Bsin A-cos Asin B=0,sin(A-B)=0.
∵A,B 为△ABC 的内角,∴A=B.
(2)符号语言:在△ABC中,
a2= b2+c2-2bccos A ,
b2= a2+c2-2accos B ,
c2= a2+b2-2abcos C .
4.做一做:在△ABC中,AB=1由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
=1+4-2×1×2× =3.故
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解忽略了两边之和大于第三边,即a+b>c这个隐含条
件,导致t的取值范围变大.
正解:∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-a<c<a+b,
∴2-1<t<1+2=3,∴1<t<3.
又△ABC是钝角三角形,且C是最大角,
∴90°<C<180°.
A= =
× ×( + )
cos
+ -
B=
( ) +( + ) -( )
=
× ×( + )
=
∵A,B∈(0°,180°),∴A=60°,B=45°.
∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°.
=
.
,
已知三边解三角形的步骤:
解:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=
+
.
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2 ×( + )=8-4 ,
∴c= − .
∴cos
+ -
A=
=
.
又 0°<A<180°,∴A=30°.
(2)把 b=3,c=3 ,B=30°代入 b2=a2+c2-2accos B,
△ABC的形状.
解:由余弦定理,原式可化为
+ -
-·
b=
+ -
-·
a,
整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,
故 a2+b2-c2=0 或 a2=b2,
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
易 错 辨 析
忽视三角形各边满足的条件致误
2
2
c=3a,b -a = ac,则
cos B 的值为
解析:由 c=3a 和余弦定理得
+ -
cos B=
答案:
=
-+
-
= = =
.
.
4.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( +1),解此三角形.
解:由余弦定理,
一、余弦定理
【问题思考】
1.已知一个三角形的两条边及其夹角,这个三角形的大小、形
状能完全确定吗?
提示:根据三角形全等的判断方法可知,这个三角形的大小、
形状是完全确定的.
2.在△ABC 中,如果已知边 a,b 和角 C,那么从向量的角度考虑,边
c 的长度可视为什么?向量如何用已知边所对应的向量表示?
答案:
AC= .
.
二、余弦定理的推论
【问题思考】
1.在△ABC中,已知三条边,如何求出其三个内角?
提示:可将余弦定理中的三个公式变形为
cos
+ -
B=
,cos
+ -
C=
求解.
2.填空:在△ABC 中,cos A=
cos
+ -
C=
.
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
【变式训练2】 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别
为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为
(
)
A.
B.
C.
D.
解析:∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,
如何求出||?边 c 的长度用边 a,b 和角 C 如何表示?
提示:边 c 的长度可视为||; = − ;通过向量的数量
积求||;c2=a2+b2-2abcos C.
3.填空:
(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
的取值范围.
解:∵2a+1,a,2a-1 是三角形的三边,
+ > ,
∴ > ,
解得 a> ,此时 2a+1 最大.
- > ,
∴要使 2a+1,a,2a-1 表示三角形的三边,
还需 a+(2a-1)>2a+1,解得 a>2.
设最长边 2a+1 所对的角为 θ,
则 cos
∴(a+c)(c-a)=b(b-a),即c2-a2=b2-ab,
∴由余弦定理得 cos
又
0<C<π,∴C=.
+ -
C=
=
,
答案:B
探究三 判断三角形的形状
【例3】 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Bsin A=sin C,试判
断此三角形的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得 a2+b2-c2=ab,
(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个
特例.( √ )
(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.( √ )
(3)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形.( × )
(4)在△ABC中,若b2+c2<a2,则△ABC是钝角三角形.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
【典例】 在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t
的取值范围.
错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,
∴C>90°,∴cos C<0,
+ -
∴cos C=
<0,
∴a2+b2-c2<0,即 1+4-t2<0.
∴t2>5.又 t>0,∴t> ,
即 t 的取值范围为( ,+∞).
探究二 已知三边解三角形
【例 2】 已知△ABC 的三边长分别为 a=2 ,b=2 ,
c= + ,求△ABC 各角的度数.
分析:利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和
定理求出第三个角.
解:由余弦定理的推论,
得 cos
+ - ( ) +( + ) -( )
+1)×
-
=24+12 ,
∴BC= ( + )=3 + .
2
2
2
2
(2)由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,即 16=9+c
整理得 5c -18c-35=0,解得
2
答案:(1)3 +
(2)5
-6× c,
c=5(c=-不合题意,舍去),故
c=5.
边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.
3.判断三角形形状时,还经常用到以下结论:在 △ABC中,设
a>b>c,
若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形;
若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;
若a2<b2+c2,则△ABC为锐角三角形.
【变式训练3】 在△ABC中,若(a-ccos B)·b=(b-ccos A)a,判断
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
课标定位
素养阐释
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关
系.
2.掌握余弦定理及其推论.
3.能够利用余弦定理及推论解三角形.
4.加强数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学