坐标系与参数方程总结

极坐标系
1 极坐标系和点的极坐标
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做
M 的极坐标。

3平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

4极坐标系中P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．
5如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

6极坐标与直角坐标的互化
（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中
取相同的长度单位。

（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

Eg1：已知点M 的极坐标为)3,5(π
-，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（ ）
)3,5.(π-A )34,5.(πB )32,5.(π-C )3
5,5.(π--D 2在极坐标系中,已知
),6,2(),6,2(π
π-B A 求A,B 两点的距离 3．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ）
A 、2sin =θρ
B 、2cos =θρ
图1
C 、4cos =θρ
D 、4cos -=θρ
4．曲线2sin =θρ和)20,0(sin 4πθρθρ<≤>=的交点坐标
参数方程
解题方法：去掉参数
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩
⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
（二）常见曲线的参数方程如下：
1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：
α
αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．
2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
θ
θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：
θθ
sin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ
θsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨
⎧+=+=b y y a x x 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：
pt
y pt x 222
== （t 为参数，p ＞0）
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 练习1、将下列参数方程化为普通方程
（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t
y t x 4321 （t 是参数） （2） θθ2c o s c o s 2==y x （θ是参数） （3）⎩
⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x
2．若动点(x ,y )在曲线1422
2=+b
y x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为 A .⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b
b b
B .⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b b
C .442+b
D .2b 。

3、 已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值。

提示：2，3都是化成参数方程求解。