高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形4.3三角函数的图象和性质练习(含解析)苏教版

高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形4．3
三角函数的图象和性质练习（含解析）苏教版
一、填空题
1．(2012江苏南通四校联考)若π4
是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2
x (a ∈R ，为常数)的零点，
则f (x )的最小正周期是________．
2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4
，则
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________. 3．(2012江苏盐城高三年级第二次模拟考试)函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增区间为________．
4．(2012山东高考改编)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6
－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为
________．
5．给出下列命题：
①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x ＋π2是奇函数；
②存在实数α，使得sin α＋cos α＝3
2
；
③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；
④直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0中心对称． 其中命题正确的是__________．(填序号)
6．(2012全国高考改编)若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈ [0,2π])是偶函数，则φ＝
________.
7．(2012江苏南通高三第一次调研考试)已知函数f (x )＝3sin x
2
，如果存在实数x 1，x 2，
使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．
8．(2012江苏泰州调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －1
2
的定义域为__________．
9．将函数f (x )＝
22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π
4
个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________.
二、解答题
10．(2012江苏南通四校联考)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2
x (其中x ∈R )，求：
(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调减区间； (3)函数f (x )图象的对称轴．
11.(2012江苏南通月考)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x .
(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝1
3
，求f (α)的值；
(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调增区间．
12．(2012重庆高考改编)设f (x )＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0.
(1)若周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3时，求函数y ＝f (x )的值域； (2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2
，π2上为增函数，求ω的最大值．
参考答案
一、填空题
1．π 解析：由题意，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝sin π2＋a cos 2π
4＝0，即1＋12a ＝0，解得a ＝－2.
从而f (x )＝sin 2x －2cos 2
x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，
故f (x )的最小正周期为π.
2．0 解析：由于函数f (x )＝ta n Ωx 的图象的相邻的两支截直线y ＝π
4
所得的线段长
为π4，所以该函数的周期T ＝πω＝π
4
，因此Ω＝4，函数解析式为f (x )＝ta n 4x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ta n ⎝
⎛⎭⎪⎫4×π4＝ta n π＝0.
3.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5π12，π12 4．2－ 3 解析：∵0≤x ≤9，
∴－π3≤π6x －π3≤7
6π，
当π6x －π3＝－π3时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3有最小值2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3， 当π6x －π3＝π
2
时， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6
－π3有最大值2.
∴最大值与最小值之和为2－ 3.
5．①④ 解析：①y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋π2＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝3
2
；
③α，β是第一象限角且α＜β.例如：45°＜30°＋360°， 但ta n 45°＞ta n(30°＋360°)， 即ta n α＜ta n β不成立；
④把x ＝π8代入y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4，得sin 3π2＝－1，所以直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得sin π2＝1，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0不是函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心．
综上所述，只有①④正确． 6.3π2 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3为偶函数，∴x ＝0时，f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2
(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，∵φ∈ [0,2π]，∴ k ＝0时，φ＝3π
2
符合题意．
7．2π 解析：根据题意可知，实数x 1，x 2分别表示f (x )取得最小值与最大值时x 的值，故|x 1－x 2|的最小值是半个周期，即2π.
8.⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) 解析：要使函数有意义必须有sin 0,1cos 0,2
x x >⎧⎪⎨-≥⎪
⎩
sin 0,1
cos ,2
22,(),223
3x x k x k k Z k x k πππππ
ππ>⎧⎪⎨≥⎪⎩<<+⎧⎪∈⎨-+≤≤+⎪⎩即解得
∴2k π＜x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z ，
∴函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π<x ≤π
3＋2k π，k ∈Z .
9.
62 解析：∵f (x )＝22sin 2x ＋6
2
cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝62.
二、解答题
10．解：f (x )＝52sin 2x －531＋cos 2x 2＝52sin 2x －532cos 2x －53
2
＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x －53
2
＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3－532， (1)f (x )最小正周期T ＝π.
(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得f (x )的单调减区间为k π＋5π
12
≤x ≤k π
＋11π12
，k ∈Z . (3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得f (x )的对称轴为x ＝k π2＋5π
12
(k ∈Z )．
11．解：(1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.
∵sin 2α＝1
3＝2sin αcos α＞0，α∈ [0，π]，
∴α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0.
由(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α＝43，得sin α＋cos α＝23
3，
∴f (α)＝2
3
3.
(2)∵f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，
由题意得2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π
2
，
即2k π－34π≤x ≤2k π＋π
4
，
又0≤x ≤π，
∴f (x )的单调增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.
12．解：(1)f (x )＝
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos ωx ＋12sin ωx sin Ωx ＋cos 2Ωx
＝23sin Ωx cos Ωx ＋2sin 2
Ωx ＋cos 2
Ωx －sin 2
Ωx
＝3sin 2Ωx ＋1.
因T ＝2π
2ω
＝π，所以Ω＝1，
此时2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，－12＜sin
2x ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为⎝ ⎛⎦
⎥⎤1－32，1＋3.
(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin 2Ωx ＋1(Ω＞0)在每个闭区间⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．
依题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于
是
3,24,24π
πω
ππω
⎧-≥-⎪⎪⎨
⎪≤⎪⎩ 解得Ω≤16，故Ω的最大值为16
.。