2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)

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2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)
一、选择题
1. 设集合 A = {x | x^2 5x + 6 = 0},B = {x | x^2 3x + 2 = 0},则A ∪ B 的元素个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 已知函数 f(x) = 2x 1,若 f(a) = 3,则 a 的值是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n,且 S_n = 3n^2 2n,则 a_5 的值是( )
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
4. 已知等比数列 {b_n} 的首项 b_1 = 2,公比 q = 3,则 b_4 的值是( )
A. 54
B. 56
C. 58
D. 60
5. 已知函数 g(x) = x^2 4x + 4,若g(x) ≥ 0,则 x 的取值范围是( )
A. x ≤ 2
B. x ≥ 2
C. x ≤ 0 或x ≥ 4
D. x ≤ 2 或x ≥ 2
6. 已知函数 h(x) = |x 1|,若 h(x) = 2,则 x 的取值范围是( )
A. x ≤ 1 或 x ≥ 3
B. x ≤ 0 或x ≥ 2
C. x ≤ 1 或x ≥ 3
D. x ≤ 2 或x ≥ 4
7. 已知函数 k(x) = x^3 3x^2 + 2x,若 k(x) = 0,则 x 的取值范围是( )
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = 3
8. 已知函数 m(x) = x^2 2x + 1,若m(x) ≥ 0,则 x 的取值范围是( )
A. x ≤ 1
B. x ≥ 1
C. x ≤ 0 或x ≥ 2
D. x ≤ 1 或x ≥ 1
9. 已知函数 n(x) = |x 2|,若 n(x) = 3,则 x 的取值范围是( )
A. x ≤ 1 或x ≥ 5
B. x ≤ 0 或x ≥ 4
C. x ≤ 1 或x ≥ 5
D. x ≤ 2 或x ≥ 6
10. 已知函数 p(x) = x^3 3x^2 + 2x,若 p(x) = 0,则 x 的取值范围是( )
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = 3
二、填空题
11. 已知等差数列 {a_n} 的首项 a_1 = 3,公差 d = 2,求
a_10 的值。

12. 已知等比数列 {b_n} 的首项 b_1 = 2,公比 q = 3,求 b_4 的值。

13. 已知函数 f(x) = x^2 5x + 6,求f(x) ≥ 0 时 x 的取值范围。

14. 已知函数 g(x) = |x 1|,求 g(x) = 2 时 x 的取值范围。

15. 已知函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x,求 h(x) = 0 时 x 的取值范围。

16. 已知函数 k(x) = x^2 2x + 1,求k(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

17. 已知函数 m(x) = |x 2|,求 m(x) = 3 时 x 的取值范围。

18. 已知函数 n(x) = x^3 3x^2 + 2x,求 n(x) = 0 时 x 的取
值范围。

19. 已知函数 p(x) = x^2 2x + 1,求p(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

20. 已知函数 q(x) = |x 1|,求 q(x) = 2 时 x 的取值范围。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)
三、解答题
21. 已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n,且 S_n = 3n^2
2n,求 a_5 的值。

解:由题意知,等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n = 3n^2 2n。

等差数列的前 n 项和公式为 S_n = (n/2)(2a_1 + (n1)d),其中 a_1 是首项,d 是公差。

将 S_n = 3n^2 2n 代入等差数列的前 n 项和公式,得到:
3n^2 2n = (n/2)(2a_1 + (n1)d)
化简得:
6n^2 4n = n(2a_1 + (n1)d)
6n^2 4n = 2na_1 + n^2d nd
5n^2 4n = 2na_1 + n^2d nd
5n^2 4n = n(2a_1 + d(n1))
因为 a_5 是等差数列的第 5 项,所以 a_5 = a_1 + 4d。

将 a_5 = a_1 + 4d 代入上式,得到:
5n^2 4n = n(a_1 + 4d + d(n1))
5n^2 4n = n(a_1 + 4d + dn d)
5n^2 4n = n(a_1 + 4d + dn d)
5n^2 4n = n(a_1 + 3d + dn)
5n^2 4n = na_1 + 3dn + nd^2
5n^2 4n = na_1 + 3dn + nd^2
5n 4 = a_1 + 3d + d^2
因为 a_5 = a_1 + 4d,所以将 a_5 代入上式,得到:
5n 4 = a_5 + d^2
将 n = 5 代入上式,得到:
55 4 = a_5 + d^2
25 4 = a_5 + d^2
21 = a_5 + d^2
所以 a_5 的值是 21。

22. 已知等比数列 {b_n} 的首项 b_1 = 2,公比 q = 3,求 b_4 的值。

解:由题意知,等比数列 {b_n} 的首项 b_1 = 2,公比 q = 3。

等比数列的第 n 项公式为 b_n = b_1 q^(n1)。

将 b_1 = 2,q = 3,n = 4 代入等比数列的第 n 项公式,得到:b_4 = 2 3^(41)
b_4 = 2 3^3
b_4 = 2 27
b_4 = 54
所以 b_4 的值是 54。

23. 已知函数 f(x) = x^2 5x + 6,求f(x) ≥ 0 时 x 的取值范围。

解:要使函数f(x) = x^2 5x + 6 ≥ 0,需要找出使得 f(x) ≥ 0 的 x 的取值范围。

找出函数的零点,即解方程 f(x) = 0。

f(x) = x^2 5x + 6 = 0
解这个二次方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据二次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于二次函数的图像是一个开口向上的抛物线,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值大于等于 0。

解方程 f(x) = 0,得到 x 的两个值,然后根据二次函数的图像和性质,确定 x 的取值范围。

24. 已知函数 g(x) = |x 1|,求 g(x) = 2 时 x 的取值范围。

解:要使函数 g(x) = |x 1| = 2,需要找出使得 g(x) = 2 的x 的取值范围。

由于绝对值函数的性质,g(x) = 2 可以分解为两个方程:
x 1 = 2 或 x 1 = 2
解这两个方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据绝对值函数的性质,可以确定 x 的取值范围。

由于绝对值函数的图像是一个 V 形图像,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 2;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值等于 2。

解这两个方程,得到 x 的两个值,然后根据绝对值函数的性质,确定 x 的取值范围。

25. 已知函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x,求 h(x) = 0 时 x 的取值范围。

解:要使函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0,需要找出使得 h(x) = 0 的 x 的取值范围。

解方程 h(x) = 0。

h(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0
解这个三次方程,得到 x 的三个值,记为 x1,x2 和 x3。

然后,根据三次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于三次函数
的图像是一个连续的曲线,所以当 x 在 x1,x2 和 x3 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x3 时,函数值大于等于 0。

解方程 h(x) = 0,得到 x 的三个值,然后根据三次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

26. 已知函数 k(x) = x^2 2x + 1,求k(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

解:要使函数k(x) = x^2 2x + 1 ≥ 0,需要找出使得 k(x)
≥ 0 的 x 的取值范围。

找出函数的零点,即解方程 k(x) = 0。

k(x) = x^2 2x + 1 = 0
解这个二次方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根
据二次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于二次函数的
图像是一个开口向上的抛物线,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值大于等于 0。

解方程 k(x) = 0,得到 x 的两个值,然后根据二次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

27. 已知函数 m(x) = |x 2|,求 m(x) = 3 时 x 的取值范围。

解:要使函数 m(x) = |x 2| = 3,需要找出使得 m(x) = 3 的
x 的取值范围。

由于绝对值函数的性质,m(x) = 3 可以分解为两个方程:
x 2 = 3 或 x 2 = 3
解这两个方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据
绝对值函数的性质,可以确定 x 的取值范围。

由于绝对值函数的图像
是一个 V 形图像,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 3;
当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值等于 3。

解这两个方程,得到 x 的两个值,然后根据绝对值函数的性质,
确定 x 的取值范围。

28. 已知函数 n(x) = x^3 3x^2 + 2x,求 n(x) = 0 时 x 的取
值范围。

解:要使函数 n(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0,需要找出使得 n(x) = 0 的 x 的取值范围。

解方程 n(x) = 0。

n(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0
解这个三次方程,得到 x 的三个值,记为 x1,x2 和 x3。

然后,根据三次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于三次函数
的图像是一个连续的曲线,所以当 x 在 x1,x2 和 x3 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x3 时,函数值大于等于 0。

解方程 n(x) = 0,得到 x 的三个值,然后根据三次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

29. 已知函数 p(x) = x^2 2x + 1,求p(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

解:要使函数p(x) = x^2 2x + 1 ≥ 0,需要找出使得 p(x)
≥ 0 的 x 的取值范围。

找出函数的零点,即解方程 p(x) = 0。

p(x) = x^2 2x + 1 = 0
解这个二次方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根
据二次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于二次函数的
图像是一个开口向上的抛物线,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值大于等于 0。

解方程 p(x) = 0,得到 x 的两个值,然后根据二次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

30. 已知函数 q(x) = |x 1|,求 q(x) = 2 时 x 的取值范围。

解:要使函数 q(x) = |x 1| = 2,需要找出使得 q(x) = 2 的
x 的取值范围。

由于绝对值函数的性质,q(x) = 2 可以分解为两个方程:
x 1 = 2 或 x 1 = 2
解这两个方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据
绝对值函数的性质,可以确定 x 的取值范围。

由于绝对值函数的图像
是一个 V 形图像,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 2;
当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值等于 2。

解这两个方程,得到 x 的两个值,然后根据绝对值函数的性质,
确定 x 的取值范围。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)
四、解答题
31. 已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n,且 S_n = 3n^2
2n,求 a_10 的值。

解:由题意知,等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n = 3n^2 2n。

等差数列的前 n 项和公式为 S_n = (n/2)(2a_1 + (n1)d),其中 a_1 是首项,d 是公差。

将 S_n = 3n^2 2n 代入等差数列的前 n 项和公式,得到:
3n^2 2n = (n/2)(2a_1 + (n1)d)
化简得:
6n^2 4n = n(2a_1 + (n1)d)
6n^2 4n = 2na_1 + n^2d nd
5n^2 4n = 2na_1 + n^2d nd
5n^2 4n = n(2a_1 + d(n1))
因为 a_10 是等差数列的第 10 项,所以 a_10 = a_1 + 9d。

将a_10 = a_1 + 9d 代入上式,得到:
5n^2 4n = n(a_1 + 9d + d(n1))
5n^2 4n = n(a_1 + 9d + dn d)
5n^2 4n = n(a_1 + 9d + dn d)
5n^2 4n = n(a_1 + 8d + dn)
5n^2 4n = na_1 + 8dn + nd^2
5n^2 4n = na_1 + 8dn + nd^2
5n 4 = a_1 + 8d + d^2
因为 a_10 = a_1 + 9d,所以将 a_10 代入上式,得到:
5n 4 = a_10 + d^2
将 n = 10 代入上式,得到:
510 4 = a_10 + d^2
50 4 = a_10 + d^2
46 = a_10 + d^2
所以 a_10 的值是 46。

32. 已知等比数列 {b_n} 的首项 b_1 = 2,公比 q = 3,求 b_5 的值。

解:由题意知,等比数列 {b_n} 的首项 b_1 = 2,公比 q = 3。

等比数列的第 n 项公式为 b_n = b_1 q^(n1)。

将 b_1 = 2,q = 3,n = 5 代入等比数列的第 n 项公式,得到:b_5 = 2 3^(51)
b_5 = 2 3^4
b_5 = 2 81
b_5 = 162
所以 b_5 的值是 162。

33. 已知函数 f(x) = x^2 5x + 6,求f(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

解:要使函数f(x) = x^2 5x + 6 ≥ 0,需要找出使得 f(x)
≥ 0 的 x 的取值范围。

找出函数的零点,即解方程 f(x) = 0。

f(x) = x^2 5x + 6 = 0
解这个二次方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根
据二次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于二次函数的
图像是一个开口向上的抛物线,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值大于等于 0。

解方程 f(x) = 0,得到 x 的两个值,然后根据二次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

34. 已知函数 g(x) = |x 1|,求 g(x) = 2 时 x 的取值范围。

x 的取值范围。

由于绝对值函数的性质,g(x) = 2 可以分解为两个方程:
x 1 = 2 或 x 1 = 2
解这两个方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据
绝对值函数的性质,可以确定 x 的取值范围。

由于绝对值函数的图像
是一个 V 形图像,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 2;
当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值等于 2。

解这两个方程,得到 x 的两个值,然后根据绝对值函数的性质,
确定 x 的取值范围。

35. 已知函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x,求 h(x) = 0 时 x 的取
值范围。

解:要使函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0,需要找出使得 h(x) = 0 的 x 的取值范围。

解方程 h(x) = 0。

h(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0
解这个三次方程,得到 x 的三个值,记为 x1,x2 和 x3。

然后,根据三次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于三次函数
的图像是一个连续的曲线,所以当 x 在 x1,x2 和 x3 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x3 时,函数值大于等于 0。

解方程 h(x) = 0,得到 x 的三个值,然后根据三次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

36. 已知函数 k(x) = x^2 2x + 1,求k(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

≥ 0 的 x 的取值范围。

找出函数的零点,即解方程 k(x) = 0。

k(x) = x^2 2x + 1 = 0
解这个二次方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据二次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于二次函数的图像是一个开口向上的抛物线,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值大于等于 0。

解方程 k(x) = 0,得到 x 的两个值,然后根据二次函数的图像和性质,确定 x 的取值范围。

37. 已知函数 m(x) = |x 2|,求 m(x) = 3 时 x 的取值范围。

解:要使函数 m(x) = |x 2| = 3,需要找出使得 m(x) = 3 的x 的取值范围。

由于绝对值函数的性质,m(x) = 3 可以分解为两个方程:
x 2 = 3 或 x 2 = 3
解这两个方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据绝对值函数的性质,可以确定 x 的取值范围。

由于绝对值函数的图像是一个 V 形图像,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 3;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值等于 3。

解这两个方程,得到 x 的两个值,然后根据绝对值函数的性质,确定 x 的取值范围。

38. 已知函数 n(x) = x^3 3x^2 + 2x,求 n(x) = 0 时 x 的取值范围。

解:要使函数 n(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0,需要找出使得 n(x) = 0 的 x 的取值范围。

解方程 n(x) = 0。

n(x) = x^3 3x^2 + 2x = 0
解这个三次方程,得到 x 的三个值,记为 x1,x2 和 x3。

然后,根据三次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于三次函数
的图像是一个连续的曲线,所以当 x 在 x1,x2 和 x3 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x3 时,函数值大于等于 0。

解方程 n(x) = 0,得到 x 的三个值,然后根据三次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

39. 已知函数 p(x) = x^2 2x + 1,求p(x) ≥ 0 时 x 的取值
范围。

解:要使函数p(x) = x^2 2x + 1 ≥ 0,需要找出使得 p(x)
≥ 0 的 x 的取值范围。

找出函数的零点,即解方程 p(x) = 0。

p(x) = x^2 2x + 1 = 0
解这个二次方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根
据二次函数的图像和性质,可以确定 x 的取值范围。

由于二次函数的
图像是一个开口向上的抛物线,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数
值小于 0;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值大于等于 0。

解方程 p(x) = 0,得到 x 的两个值,然后根据二次函数的图像
和性质,确定 x 的取值范围。

40. 已知函数 q(x) = |x 1|,求 q(x) = 2 时 x 的取值范围。

解:要使函数 q(x) = |x 1| = 2,需要找出使得 q(x) = 2 的
x 的取值范围。

由于绝对值函数的性质,q(x) = 2 可以分解为两个方程:
x 1 = 2 或 x 1 = 2
解这两个方程,得到 x 的两个值,记为 x1 和 x2。

然后,根据绝对值函数的性质,可以确定 x 的取值范围。

由于绝对值函数的图像是一个 V 形图像,所以当 x 在 x1 和 x2 之间时,函数值小于 2;当 x 小于 x1 或大于 x2 时,函数值等于 2。

解这两个方程,得到 x 的两个值,然后根据绝对值函数的性质,确定 x 的取值范围。

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