广东省中山市华侨中学20172018学年高二数学上学期第二次段考试题理

中山市华侨中学2017—2018学年第一学期高二第二次段考
数 学（理）试 卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
班级 姓名
一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．“21x >”是“1x >”的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角 B ．直角三角形 C ．锐角三角形
D ．不能确定
3．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）
A ．22
14y x -= B ．2214x y -= C ．22
12y x -= D ．2212
x y -= 4．已知等比数列{}n a 满足11
4
a =
，()35441a a a =-，则2a =
（ ） A ．1
B ．2
C ．
12
D ．1
8
5. 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2
1
，则m=（ ）
A ．3
B ．
2
3
C ．
3
8 D ．
3
2 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 7. 若直线
1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
8．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R,若a>b ，则ac 2>bc 2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中，真命题的个数是（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)4
9．若椭圆22221x y a b
+=过抛物线2
8y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则
该椭圆的方程是（）
A．
22
1
42
x y
+= B．
2
21
3
x
y
+= C．
22
1
24
x y
+= D．
2
21
3
y
x+=
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则
sin sin sin
a b c
A B C
++
++
=（）A．33B．
239
3
C．
83
3
D．
39
2
11. 设z x y
=+，其中实数x，y满足
20
x y
x y
y k
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≤≤
⎩
，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．3
-B．2-C．1-D．0
12设双曲线)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-a
b
b
y
a
x
的半焦距为c，直线)
,0(
),
0,
(b
B
a
A
l过两点，若原点O
到直线l的距离为c
4
3
，则双曲线的离心率为（）
A．2
3
3
2
或B．2 C．
3
3
2
2或D．
3
3
2
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．双曲线
22
1
416
-=-
x y
的实轴长为
14.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4
米，水位下降2米后（水足够深），水面宽米。

15．如图所示的平行六面体ABCD―A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,
∠BAD=900,∠BAA1=∠DAA1=600,则CA1的长= ；
16．已知下列命题：① 若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；
② ||||||a b a b +=+是a 、b 共线的充要条件； ③ 若,,a b c 是空间三向量，则||||||a b a c c b -≤-+-；
④ 对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），
则P 、A 、B 、C 四点共面.
其中不正确的命题的序号是 .
三．解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
cos cos 2cos a C c A b A +=.
（1）求A . （2）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.
18．（本小题满分12分）设命题 p :实数 x 满足2
240x ax a -+< ，其中a 0 ，命
题q :实数 x 满 足 ｛
22
60280
x x x x --≤+->
(1)若a 1，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a 3，前n 项之和为n s ， n
b 为等比数列， 1
b 1，
且223364,960b s b s == . (1)求 与b n n a ； (2)求和：
1
2
3
1
1
1
s s s +
+
+ …+
1
n
s .
20.（本小题满分12分）
111111
1111如图所示，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABC-A B C ,点，分别是，的中点，且=2,.
（1)求正三棱柱的体积.
（2）若点为的中点，求异面直线AM 与BO 所成的角的余弦值.
O O AC AC AA AB BC M BC ⊥
21．（本小题满分12分）
如图所示，在ABC △中, 点D 为BC 边上一点，且1BD =,E 为AC 的中点,
3272π
,cos ,273
AE B ADB ==∠=
.
（1）求AD 的长； （2）求ADE △的面积.
22．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
答案： 一．选择题：
1.C
2.A
3.C
4.B
5.D
6.D
7.C
8.B
9.C 10.B 11.D 12.B 二．填空题：
13.x R ∃∈，*
n N ∀∈，使得2
n x < 14.
32
15.①②③ 16. 1
22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 三．解答题：
17.解：（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ． n≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1=2（n ﹣1）． ∴（2n ﹣1）a n =2．∴a n =
．
当n=1时，a 1=2，上式也成立． ∴a n =． （2）=
=
﹣． ∴数列{}的前n 项和=
+
+…+
=1﹣
=
．
18.
19.解：（Ⅰ）由正弦定理可得
2sin sin sin a b c
R A B C
===， ∴sin 2a A R =
，sin 2b B R =，sin 2c C R
=，………………………………2分 ∵2
sin sin sin B A C =，
∴2
b a
c =， ……………………………4分
∴222cos 2a c b B ac +-=
21
22
ac ac ac -≥=， 而0πB << ∴π
03
B <≤
.……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）cos 4cos
2
A C
B ++ 2
π12sin 4cos 22
B B -=-+ 2
12sin 4sin 22B B =-+22sin 132
B =--+（），………………………………8分 由（Ⅰ）知π
03
B <≤
， ∴1
0sin
22
B <≤， ………………………………10分 ∴当1sin
22B =，即π3B =时，cos 4cos 2
A C
B ++取得最大值52.………………12分
20.(1)解：若3=m ，方程x 2
＋mx ＋1=0为x 2
＋3x ＋1=0 由△=05114-32
>=⨯⨯，得2
5
3±-=
x （用韦达定理判断亦可） 则方程x 2
＋mx ＋1=0有两不等的负根，p 为真。

-------------2分 若3=m ，方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0为4x 2
＋4x ＋1＝0
△=0，则方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0有两个相等的实根，q 为假。

-----4分
（2）若方程x 2
＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0
42m m 解得m ＞2
即p ：m ＞2 -------------------6分 若方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根 则Δ＝16(m －2)2
－16＝16(m 2
－4m ＋3)＜0
解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3. -------------------8分 因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真.
∴⎩
⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312
312m m m m m 或或
解得：m ≥3或1＜m ≤2. -------------------12分 21.
22.。