高中数学-空间几何体的结构特征及三视图与直观图精品习题两套

高中数学-空间几何体的结构特征及三视图与直观图精品习题两套
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1.如图，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已
知A′B′∥y′轴，O′B′＝4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′
⊥x′轴，则A′C′的长为()
A．22 B. 2
C．16 2 D．1
解析：选A因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，AB⊥OB.
又因为△ABO的面积为16，所以1
2AB·OB＝16.
因为OB＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4.
因为A′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′＝A′C′，
所以A′C′＝4·sin 45°＝22，故选A.
2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()
解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部是一条水平线段连接两个三角形，故选B.
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
解析：选D由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.
4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图为( )
解析：选D 由正视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与半个圆锥的组合体，故侧视图为D.
5.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1
内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )
A ．1∶1
B ．2∶1
C ．2∶3
D ．3∶2
解析：选A 根据题意，三棱锥P -BCD 的正视图是三角形，且底
边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.
6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )
A ．2 B.92
C.32
D ．3
解析：选D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V ＝13×1＋22
×2×x ＝3，解得x ＝3，故选D.
7．设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，
故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．
答案：①④
8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)．
∴AB＝122＋52＝13(cm)．
答案：13
9．已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．
解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就
是正四棱锥V-ABCD的高．
因为底面面积为16，所以AO＝2 2.
因为一条侧棱长为211.
所以VO＝VA2－AO 2＝44－8＝6.
所以正四棱锥V-ABCD的高为6.
答案：6
10．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图所示
的四棱柱ABCD-A1B1C1D1，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正
确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．
答案：①②
B级——中档题目练通抓牢
1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该
几何体需要的小正方体的块数是()
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C画出直观图可知，共需要6块．
2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()
解析：选B如图所示，由正视图和侧视图可知该几何体是由长方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥B1-A1BC1得到的，故其侧视图为选项B.
3．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的四个
侧面中面积最大的是()
A．3 B．2 5
C．6 D．8
解析：选C四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，
连接PM，PN，则PN＝5，PM＝3，S△PAD＝1
2×4×5＝25，
S△PAB＝S△PDC＝1
2×2×3＝3，
S△PBC＝1
2×4×3＝6.
所以四个侧面中面积最大的是6.
4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．
解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如
图所示(图中棱锥P-ABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部
是直角三角形．
答案：4
5.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从
圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小
虫爬行的最短路程为4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝43，
则cos∠POP′＝42＋42－(43)2
2×4×4
＝－
1
2，所以∠POP′＝
2π
3.
设底面圆的半径为r，则2πr＝2π
3×4，所以r＝
4
3.
答案：4 3
6．已知正三棱锥V -ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝⎛⎭
⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
7.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.
(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中， PA ＝PD 2＋AD 2＝
(62)2＋62＝6 3 cm.
C 级——重难题目自主选做
1．(·泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )
A ．圆弧
B ．抛物线的一部分
C ．椭圆的一部分
D ．双曲线的一部分
解析：选D 根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.
2.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，
按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短
爬行路线的正视图的是()
A．①②B．①③
C．③④D．②④
解析：选D由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的
一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同
一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如
图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()
解析：选B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.
2.已知点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，
DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以
M，N，Q，P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是()
解析：选C当M与F重合，N与G重合，Q与E重合，P与B1重合时，三棱锥P-MNQ 的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P-MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P-MNQ，使其俯视图为D.故选
C.
3.已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角
形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()
解析：选C由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面ABC，正
视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，
故选C.
4．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是如图2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为()
A．48B．64
C．96 D．128
解析：选C由题意可知该几何体是一个直四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，
∴它的俯视图是边长为6的菱形，∵棱柱的高为4，
故该几何体的侧面积为4×6×4＝96.
5．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是()
A．3B．2 5
C．6 D．8
解析：选C四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，
连接PM，PN，则PN＝5，PM＝3，S△PAD＝1
2×4×5＝25，
S△PAB＝S△PDC＝1
2×2×3＝3，
S△PBC＝1
2×4×3＝6.
所以四个侧面中面积最大的是6.
6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)．
∴AB＝122＋52＝13(cm)．
答案：13
7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．
解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如
图所示(图中棱锥P-ABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部
是直角三角形．
答案：4
8.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从
圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫
爬行的最短路程为4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝43，
则cos∠POP′＝42＋42－(43)2
2×4×4
＝－
1
2，所以∠POP′＝
2π
3.
设底面圆的半径为r，则2πr＝2π
3×4，所以r＝
4
3.
答案：4 3
9.如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．
(2)其侧视图如图所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝3a，AD的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a，
∴该平面图形的面积
S＝1
2·3a·3a＝
3
2a
2.
(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32
a 3. 10．已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
解：(1)直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，
∴侧视图中VA ＝
42－⎝⎛⎭
⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12
×23×23＝6. B 级——拔高题目稳做准做
1．(·邵阳模拟)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )
A ．25
B ．2 6
C ．27
D ．4 2
解析：选C 由三视图可知该四面体的直观图如图所示．
其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝
42＋(23)2＝27，AB ＝(23)2＋22＝4，而PB ＝PA 2＋AB 2＝22＋42＝
25，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC ，其长为27，选C.
2．(·泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()
A．圆弧B．抛物线的一部分
C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分
解析：选D根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.
3.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，
按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最
短爬行路线的正视图的是()
A．①②B．①③
C．③④D．②④
解析：选D由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.
4．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．
解析：由三视图知三棱锥如图所示，
底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，
PA ⊥平面ABC ，BC ＝27，
PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2，
因此xy ＝x 102－[x 2－(27)2]
＝x 128－x 2≤x 2＋(128－x 2)2
＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.
答案：64
5.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，
下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角
三角形．
(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA .
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，
其面积为36 cm 2.
(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.
由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，
所以在Rt △APD 中，
PA ＝PD 2＋AD 2＝ (62)2＋62＝6 3 cm.
6．四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .
(1)求四面体ABCD 的体积；
(2)证明：四边形EFGH 是矩形．
解：(1)由题意，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∵BD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，
∴四面体ABCD的体积V＝1
3×
1
2×2×2×1＝
2
3.
(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，又平面EFGH∩平面ABC ＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH.
同理，EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，
∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．。