2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第8讲 指数与指数函数

13
2
原式=
42
g42
ga
3 2
ga
3 2
3
gb 2
3
gb 2
100
= 4 a0 gb0 = 4 .
25
25
13
【拓展演练1】
化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)
(a
2 3
gb1
)
1 2
a
1 2
1
gb3
；
6 agb5
(2)
56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.
(2)对于定义域内任意 x，有
f(－x)＝(a－x1－1＋12)·(－x)3 ＝(1－axax＋12)·(－x)3
＝(－1－ax－1 1＋12)·(－x)3
＝(ax－1 1＋12)·x3＝f(x)，
所以 f(x)是偶函数．
25
(3)当 a＞1 时，对 x＞0， 由指数函数的性质知 ax＞1， 所以 ax－1＞0，ax－1 1＋12＞0. 又 x＞0 时，x3＞0，所以 x3＞0， 即当 x＞0 时，f(x)＞0. 又由(2)知 f(x)为偶函数，即 f(－x)＝f(x)， 则当 x＜0 时，－x＞0，有 f(－x)＝f(x)＞0 成立． 综上可知，当 a＞1 时，f(x)＞0 在定义域上恒成立．
6
3．化简4x14y23(－6x14y－13)÷(－3x－21y－23)(其中x>0，y>0)的
结果是( A ) A．8xy
1
B．4xy3
C．2xy
1
D．x2y
7
11 21
11
解析：原式
24x 4 4 y 3
1 2
3
24x 2 gy3
1 2
=
3x 2 y 3 3x 2 gy 3
(11) (12)
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二 指数函数的图象及应用
【例2】已知函数y＝(31)|x＋1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间； (3)若曲线y＝f(x)与直线y＝b没有公共点，求b的取值范 围．
17
解析：(1)(方法一)由函数解析式可得y＝(
1 3
)|x＋1|＝
13x＋1 x≥－1 ，其图象由两部分组成． 3x＋1 x<－1
8gx 2 2 gy 3 3
8xy.故选A.
8
4.若函数f(x)＝2x＋1 1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( A )
A．单调递减无最小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
9
解析：设 y＝f(x)，t＝2x＋1， 则 y＝1t ，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)． t＝2x＋1 在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 因此 y＝1t 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．
10
11
一 有关指数幂的运算问题
【例1】计算：
(1) (0.027)－13－(－17)－2＋(297)12－( 2－1)0；
(2)
(
1 4
1
)2
g
4ab1 3
1
0.12 ga3b3 2
.
12
解析： (1)原式＝(120700)－13－(－7)2＋(295)12－1
＝130－49＋35－1 ＝－45.
(2)
3
4＝3
1
2＝23.
4
2．设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则(
D
)
A．y3>y2>y1
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
5
解析：y1＝40.9＝21.8， y2＝80.48＝21.44， y3＝(12)－1.5＝21.5.
又因为 y＝2x 在 R 上是单调增函数，1.8>1.5>1.44， 所以 y1>y3>y2.
第8讲 指数与指数函数
1
2
1．(1)化简(351)0－(0.01)0.5＝ (2)下列各式正确的是( B )
6 A.
1
－22＝(－2)3
3 C.
2
a2＋b2＝(a＋b)3
；
3 B.
1
4＝23
D．(ba)5＝a5·b15
3
解析： (1) (315)0－(0.01)0.5＝1－(1010)12＝1－110＝190.
(1)若直线 y＝2a 与 y＝|ax－1|(a>0，且 a≠1)的图象有两个
公共点，则 a∈
.
(2)已知 f(x)＝(ax－1 1＋12)x，x≠0，若 f(x)>0 在定义域内恒
成立，则 a 的取值范围为
.
28
解析：(1)数形结合法．当 a>1 时，作图知无解； 当 0<a<1 时，作图知 0<2a<1⇒0<a<12. (2)f(x)＝2xaaxx＋－11>0⇔x(ax－1)>0. 当 x>0 时，ax－1>0⇔ax>a0，又 x>0，所以 a>1； 当 x<0 时，ax－1<0⇔ax<a0，又 x<0，所以 a>1. 综上，a 的取值范围为(1，＋∞)．
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三. 指数函数的性质及应用
【例3】已知函数f(x)＝(ax－1 1＋21)·x3(a＞0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性； (3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
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解析：(1)由于 ax－1≠0，即 ax≠1，所以 x≠0.
所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}．
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1 1 1 1
解析：1 原式=
a
3b 2 ga
15
2b3
a6b6
111 115
=a 3 2 6 gb 2 3 6
=1. a
15
(2)原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12
＝－45a－16b－3÷(a13·b－32)
＝－45a－12·b－32
＝－45·
1 ab3
＝－54aabb2 .
(3)由图象可知(13)|x＋1|∈(0,1]，要使直线 y＝b 与曲线 y＝ f(x)无交点，则 b 的取值范围为(－∞，0]∪(1，＋∞)．
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【拓展演练 2】 函数 y＝eexx＋－ee－－xx的图象大致为( A )
22
解析：y＝ee22xx＋ －11＝1＋e2x2－1，当 x＞0 时，e2x－1＞0 且随 着 x 的增大而增大，故 y＝1＋e2x2－1＞1 且随着 x 的增大而减 小，即函数 y 在(0，＋∞)上恒大于 1 且单调递减，又函数 y 是 奇函数，故选 A.
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． 当 0＜a＜1 时，f(x)＝2axa＋x－11x3. 当 x＞0 时，1＞ax＞0，ax＋1＞0， ax－1＜0，x3＞0，此时 f(x)＜0，不满足题意； 当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．
综上可知，所求 a 的取值范围是 a＞1.
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【拓展演练 3】
一部分是y＝(13)x(x≥0) 向 1个左单平位移 y＝(13)x＋1(x≥－1)，
另一部分是y＝3x(x<0) 向 1个左单平位移 y＝3x＋1(x<－1)，
18
如下图所示．
19
(方法二)将y＝(
1 3
)|x|向左平移1个单位，即可得y＝(
1 3
)|x＋1|的
图象，如图．
20
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋ ∞)上是减函数．