(好题)初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．下列运算中，正确的是（ ）
A ．211a a a
+=+
B ．21111
a a a -⋅=-+
C ．
1b a a b b a +=-- D ．
0.22100.7710++=--a b a b
a b a b
2．下列关于分式
2
x x
+的各种说法中，错误的是（ ）． A ．当0x =时，分式无意义 B ．当2x >-时，分式的值为负数 C ．当2x <-时，分式的值为正数
D ．当2x =-时，分式的值为0
3．一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个求，若摸到白球的概率为5
7
，则盒子中原有的白球的个数为（ ） A ．10 B ．15
C ．18
D ．20
4．使分式21
x
x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0
C ．x ≠±1
D ．x 为任意实数
5．已知分式24
x x
+的值是正数，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞-4
C ．x ≠0
D ．x ＞-4且x ≠0
6．某市为有效解决交通拥堵营造路网微循环，决定对一条长1200米的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加20%，结果提前5天完成任务，求实际每天改造道路的长度和实际施工的天数．一位同学列出方程()12001200
50120%x x
+
-=+，则方程中未知数x 所表示的量是（ ）
A ．实际每天改造的道路长度
B ．实际施工的天数
C ．原计划施工的天数
D ．原计划每天改造的道路长度
7．如图，若x 为正整数，则表示3211
32
7121(1)(1)543x x x x x x x x x
--++--÷++++的值的点落在（ ）．
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④
8．下列各式中，正确的是（ ）
A ．22a a b b
=
B ．
11a a
b b +=+ C ．22
33a b a ab b
= D ．
232
131
a a
b b ++=-- 9．下列变形不正确的是（ ） A ．
1122x x
x x
+-=--- B ．
b a a b
c c
--+=- C ．a b a b
m m
-+-=- D ．22
112323x x x x
--=-
-- 10．若a b ，则下列分式化简中，正确的是（ ）
A ．
22a a
b b +=+ B ．
22a a
b b -=- C ．
33a a b b = D ．22a a b b
=
11．已知1x =是分式方程233
4ax a x +=-的解，则a 的值为（ ） A ．1-
B ．1
C ．3
D ．3-
12．若关于x 的一元一次不等式组()()1
1122
32321x x x a x ⎧-≤-
⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程
3133y ay
y y
++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．3
二、填空题
13．（1）分解因式39x x -＝ ______________． （2）已知5a b +=，3ab =，则22a b +＝ ________．
（3）某种球形冠状病毒的直径大约为0.000000102m ，这个数用科学记数法表示为________________________． 14．关于x 的分式方程
21
122
m x x x +-=--有增根，则m =______． 15．某种病毒的直径为0.0000000028米，用科学记数法表示为______米． 16．氢原子的半径约为0.00000000005m ，用科学记数法表示为______ m ． 17．当m=______时，解分式方程
1m 233(2x 1)2x 1
+=--会出现增根．
18．关于x 的分式方程
3
122m x x
-=--无解，则m 的值为_____． 19．计算()4
011152π-⎛⎫⨯---= ⎪⎝⎭
_________．
20．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．
三、解答题
21．（1）分解因式3228x xy - （2）解分式方程：
23193
x
x x +=-- （3）先化简：
2443111a a a a a -+⎡⎤
÷-+⎢⎥++⎣⎦
，然后a 在2-，1-，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值．
22．甲、乙两人做某种机器零件，每小时乙比甲多做8个．已知甲做240个零件的时间与乙做300个零件的时间相同，求甲、乙每小时各做多少个零件． 23．（1）计算：32(1263)3a a a a +-÷ （2）解方程：
211x x x
-=- 24．（1）化简分式：11
222x x x
-+---； （2）判断方程
112022x x x
-+-=--是否有解？_____（填“是”或“否”） 25．先化简，再求值：已知2cos45x =︒，2sin 45tan30y =︒-︒，求222x x xy
x y x y x y
⎛⎫-÷ ⎪
--+⎝⎭的值． 26．先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
例如：当1x =
+时，求32
122
x x x --+的值．
为解答这道题，若直接把1x =
+代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因1x =+，得1x -=算转化为有理数运算．
由1x -=2220x x --=，即222x x -=，222x x =+．
原式)(2221
222222
x x x x x x x x =+--+=+--+=． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若1x =
，求322431x x x +-+的值；
（2）已知2x =4322
955
43x x x x x x ---+-+的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据分式的运算法则及分式的性质逐项进行计算即可． 【详解】
A ：211a a a a
+=+，故不符合题意；
B ：()()21111111111a a a a a a a a a a
-+--⋅=⋅==-++，故不符合题意；
C ：1b a b a a b b a a b a b
+=-=-----，故不符合题意； D ：
0.22100.7710++=--a b a b
a b a b ，故不符合题意；
故选：D ． 【点睛】
本题考查分式的性质及运算，熟练掌握分式的性质及运算法则是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】
当0x =时，分式无意义，选项A 正确；
当2x >-时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B 错误； 当2x <-时，20x +<，分式的值为正数，选项C 正确； 当2x =-时，20x +=，分式的值为0，选项D 正确； 故选：B ．
本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．
3．D
解析：D 【分析】
设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个，根据概率建立方程求解即可． 【详解】
设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个， 根据题意，得
55
1057
x x +=++，
解得x=20，且x=20是所列方程的根， 故选D ． 【点睛】
本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义，巧妙引入未知数建立方程求解是解题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围． 【详解】
由题意，得x 2−1≠0， 解得：x≠±1， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
5．D
解析：D 【分析】
若
24
x x
+的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围． 【详解】
解：∵
2
4
x x +＞0， ∴x ＋4＞0，x≠0， ∴x ＞−4且x≠0． 故选：D ．
本题考查分式值的正负性问题，若对于分式
a
b
（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式a
b
（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 6．D
解析：D 【分析】
根据提前天数+实际工作用天数-原计划天数=0,可以判断方程中未知数x 表示的量. 【详解】
设原计划每天铺设管道x 米，则实际每天改造管道（1+20%）x ，根据题意，可列方程：
()12001200
50120%x x
+
-=+，
所以所列方程中未知数x 所表示的量是原计划每天改造管道的长度， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了由实际问题布列分式方程，解题的关键是依据所给方程等量关系．
7．B
解析：B 【分析】
将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】
原式22
1
(1)
7121
1543(1)
x x x x x x x -++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3x
x x x x
x x x x
-++=-++++ 1111x x x
-=
-++ 1
x x =
+ 又因为x 为正整数，
所以1
1 21
x
x
≤<
+
，
故选B．
【点睛】
本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．
8．C
解析：C
【分析】
利用分式的基本性质变形化简得出答案．
【详解】
A．
2
2
a a
b b
=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；
B．
1
1
a a
b b
+
=
+
，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误；
C．
2
2
33
a b a
ab b
=，从左边到右边分子和分母同时除以ab，分式的值不变，故正确；
D．
232
131
a a
b b
++
=
--
，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
9．A
解析：A
【分析】
答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：A、
11
22
x x
x x
+--
=-
--
，故A不正确；
B、
b a a b
c c
--+
=
-
，故B正确；
C、
a b a b
m m
-+-
=
-
，故C正确；
D、
22
11
2323
x x
x x
--
=-
--
，故D正确．
故答案为：A．
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．C
解析：C 【分析】 根据a b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题； 【详解】
∵a b
A 、22a a
b b
+≠+ ，故该选项错误； B 、22a a
b b
-≠- ，故该选项错误； C 、
33a a
b b
= ，故该选项正确； D 、22a a
b b ≠ ，故该选项错误；
故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，解题时需要熟练掌握分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键；
11．D
解析：D 【分析】
先将分式方程化为整式方程，再将1x =代入求解即可． 【详解】
解：原式化简为81233ax a x +=-， 将1x =代入 得81233a a +=- 解得-3a =.
当a =-3时a -x=-3-1=-4≠0 ∴a =-3 故选则：D ． 【点睛】
本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为a 的方程．
12．A
解析：A 【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．
关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪
+⎨≥⎪⎩，
∵3
25x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩
恰有3个整数解，
∴2015
a
+<
≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程
3133y ay y y ++=--，整理得：6
y a
=， ∵
3133y ay y y ++=--有正整数解且6
3a
≠， ∴满足条件的整数a 的值为：1，3 ∴所有满足条件的整数a 的值之和是4， 故选A ． 【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
二、填空题
13．x （x ＋3）（x －3）19【分析】（1）先提取公因式x 再用平方差公式分解；（2）根据完全平方公式变形求解即可；（3）绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不
解析：x （x ＋3）（x －3） 19 71.0210-⨯ 【分析】
（1）先提取公因式x ，再用平方差公式分解； （2）根据完全平方公式变形求解即可；
（3）绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】
解：（1）39x x -＝x(x 2-9)= x(x ＋3)(x －3)； （2）∵5a b +=，3ab =， ∴22a b +＝(a+b)2-2ab=25-6=19； （3）0.000000102=71.0210-⨯．
故答案为：（1）x(x ＋3)(x －3)；（2）19；（3）71.0210-⨯．
本题考查了因式分解，完全平方公式，科学记数法等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
14．5【分析】根据已知有增根即使分式方程分母为0的根即满足x-2=0；解题中分式方程先通分再去分母化成整式方程后用x 表示出未知参数m 最后将x 的值代入即可求得m 的值【详解】解：分式方程有增根得：x=2通分
解析：5 【分析】
根据已知有增根，即使分式方程分母为0的根，即满足x-2=0；解题中分式方程，先通分，再去分母，化成整式方程后，用x 表示出未知参数m ，最后将x 的值代入即可求得m 的值． 【详解】
解：分式方程有增根
20x ∴-= 得：x=2 21
122
m x x x +-=-- 通分得：
()2112
m x x -+=-
去分母得：212m x x --=- 化简得：31m x =- 将x=2代入得m=5 故答案为5． 【点睛】
这道题考察的是分式方程增根的概念和分式方程未知参数的解法．解决这类题的关键在于：确定增根，化分为整，增根代入．
15．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：000000 解析：92.810-⨯
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】
解：0.0000000028=2.8×10-9， 故答案为：92.810-⨯． 【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：用科学记数法 解析：11510-⨯
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10-11．
故答案为：5×10-11．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
17．6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0所以分式方程会出现增根只能是x=增根不符合原分式方程但是适合分式方程去分母后的整式方程于是将x=代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值【详解】解：由 解析：6
【分析】
分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程
1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根只能是x=12，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x=12代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值．
【详解】 解：由题意知分式方程()1m 2332x 12x 1+=--会出现增根是x=12
， 去分母得7-2x=m
将x=12
代入得m=6 即当m=6时，原分式方程会出现增根．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了分式方程增根的性质，增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．
18．-3【分析】先求解分式方程得到用m 表示的根然后再确定该分式方程的增
根最后让分式方程的根等于增根并求出m 的值即可【详解】解：m+3=x-2x=m+5由的增根为x=2令m+5=2解得m=-3故填：-3【
解析：-3
【分析】
先求解分式方程得到用m 表示的根，然后再确定该分式方程的增根，最后让分式方程的根等于增根并求出m 的值即可．
【详解】 解：3122m x x
-=-- 3122
m x x +=-- 312
m x +=- m+3=x-2
x=m+5 由3122m x x
-=--的增根为x=2 令m+5=2，解得m=-3．
故填：-3．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根，理解增根的定义是解答本题的关键． 19．1【分析】先计算负整数指数幂零指数幂化简绝对值再计算有理数的乘法与减法即可得【详解】原式故答案为：1【点睛】本题考查了负整数指数幂零指数幂绝对值等知识点熟练掌握各运算法则是解题关键
解析：1
【分析】
先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值，再计算有理数的乘法与减法即可得．
【详解】
原式16115=⨯-，
1615=-，
1=，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
20．【分析】设该轮船在静水中的速度为x 千米/时则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地已知水流速度为4千米/时所花时间为；从B 地逆流返回A 地水流速度为4千米/时所花时间为根据题意列方程即可【详解】解：设该轮船在静
解析：3636944
x x +=+- 【分析】
设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，已知水流速度为4千米/时，所花时间为
364x +；从B 地逆流返回A 地，水流速度为4千米/时，所花时间为364x -根据题意列方程3636944
x x +=+-即可． 【详解】
解：设该轮船在静水中的速度为x 千米时，根据题意列方程得：
3636944
x x +=+- 【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可． 三、解答题
21．（1）()()222x x y x y +-；（2）4x =-；（3）22a a --
+，13
【分析】
（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式进行求解即可；
（2）先去分母，然后进行整式方程的求解即可；
（3）先算括号内的，然后再进行分式的运算即可，最后选择一个使最简公分母不为零的数代值求解即可．
【详解】
解：（1）3228x xy - =()2224x x y -
=()()222x x y x y +-；
（2）23193
x x x +=-- 去分母得：()2339x x x ++=-，
整理得：312x =-，
解得：4x =-，
经检验4x =-是方程的解；
（3）2443111a a a a a -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭
=()2
22411a a a a --÷++
=()()()2211
22a a a a a -+⨯++- =22
a a --+， 把1a =代入得：原式=3
11212-
=-+． 【点睛】 本题主要考查因式分解、分式方程及分式的运算，熟练掌握因式分解、分式方程及分式的运算是解题的关键．
22．甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件．
【分析】
设甲每小时做x 个零件，乙每小时做（x +8）个零件，根据“甲做240个零件的时间=乙做300个零件的时间”列出方程求解即可．
【详解】
解：设甲每小时做x 个零件，乙每小时做（x+8）个零件， 由题意可得：
2403008
x x =+， 解得：x =32，
经检验，x =32是原方程的解，
∴x +8=40（个），
答：甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找出正确的数量关系是本题的关键．
23．（1）2421a a +-；（2）2x =
【分析】
（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）32(1263)3a a a a +-÷ 321236333a a a a a a =÷+÷-÷
2421a a =+-；
（2）去分母得：()()2
121x x x x --=-， 解得：2x =，
经检验2x =是分式方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，以及整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（1）1；（2）否．
【分析】
（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，检验即可．
【详解】
解：（1）
11222x x x -+--- =12(2)1222
x x x x x --++--- =12412
x x x -+-+- =22
x x -- =1；
（2）去分母得：1-x+2x-4+1=0，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
故答案为：否．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．1x y
-． 【分析】
根据特殊角的三角函数值，确定x ，y 的值，再对分式进行化简，后代入求值即可．
【详解】
∵2cos45x =︒，2sin 45tan30y =︒-︒，
∴2cos 45x y -=︒-⎭
=， ∵222x x xy x y x y x y
⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ =1()()()x x y x x y x y x y xy
+-⨯-+- =1()()x y x x y x y y x y x y y
++⨯-⨯-+- =
()()x y x y x y y x y +--- =()
x y x y x y +--
1x y
=-, ∴
原式
==
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练进行化简，熟记特殊角的函数值进行定值是解题的关键．
26．（1）
；（2）
32 【分析】
（1）变形已知条件得到x ＋1
x 2＋2x ＝1，再利用降次和整体代入的方法把原式化为−x ＋1，然后把x 的值代入计算即可；
（2
）变形已知条件，把2x =+x 2−4x ＝−1或x 2＝4x−1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．
【详解】
解：（1）
∵1x =
，
∴x ＋1
，
∴（x ＋1）2＝2，即x 2＋2x ＋1＝2，
∴x 2＋2x ＝1，
∴原式＝2x （x 2＋2x ）−3x ＋1
＝2x−3x ＋1
＝−x ＋1
＝−
−1）＋1
＝
；
（2）
∵2x =+
∴x−2
，
∴（x−2）2＝3，
即x 2−4x ＋4＝3，
∴x 2−4x ＝−1或x 2＝4x−1， ∴原式＝
()()()241419415513x x x x x -------+＋ ＝
12（16x 2−8x ＋1−4x 2＋x−36x ＋9−5x ＋5） ＝
12 [12（4x−1）−48x ＋15] ＝12
（48x−12−48x ＋15）
＝1
2
×3
＝3
2
．
【点睛】
本题考查了分式与整式的化简求值：化简求值题，一定要先化简再代入求值．使用整体代入和降幂的方法更简洁．。