2020-2021学年河南省信阳市灵宝第一高级中学高三数学理期末试卷含解析

2020-2021学年河南省信阳市灵宝第一高级中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.
参考答案：
B
2. 设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：
①若，则②若，则；
③若，则④若，则.
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
参考答案：
B
由平行与垂直的问题可知, ①④成立, ②可能相交; ③可能.所以选B.
3. 设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=﹣k（x＞0），若方程f （x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）
A．(，] B．(，] C．(，] D．(，)
参考答案：
C
【分析】由f（x）=0得=k，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．
【解答】解：由f（x）=﹣k=0得=k，
若x＞0，设g（x）=，
则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时，
当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，
作出函数g（x）的图象，
要使f（x）=﹣k有且仅有三个零点，
即函数g（x）=k有且仅有三个零点，
则由图象可知＜k≤，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．
4. 若集合P={x|1≤2x＜8}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）
A．{1，2} B．{1} C．{2，3} D．{1，2，3}
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合P，再由Q，求出两集合的交集即可．
【解答】解：由20=1≤2x＜8=23，
∴0≤x＜3，
∴集合P=[0，3），
∵Q={1，2，3}，
∴P∩Q={1，2}，
故选：A．
5. 下列函数中既有奇函数，又在区间上单调递增的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
6. 命题函数在区间上是增函数；命题函数的定义域为．则是成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
试题分析：命题函数在区间上是增函数，则在是增函数且，即；函数的定义域为．则恒成立，所以，，故选．
考点：1．函数的单调性；2．函数的定义域；3．充要条件．
7. 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛，（注：1丈=10尺，1尺=10寸，1斛=1.62立方尺，圆周率取3），则圆柱底圆周长约为（）
A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺
参考答案：
B 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．
【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．
于是谷仓的体积V==2000×1.62．
解得r≈9．
∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺=5丈4尺．
故选B．
8. 已知集合，，A∩B=（）
A. B. C. (0,1] D. [1,+∞)
参考答案：
B
∵集合A={x|lnx≤0}={x|0＜x≤1}，
B={x∈R|z=x+i，，i是虚数单位}={x|x≥或x}，
∴A∩B={x|}=[]．
故选：B．
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
9. 已知不等式的解集为，点在直线上，其中，
则的最小值为( )
(A) (B)8 (C)9 (D) 12
参考答案：
C 略
10. 已知数列{a n }中，，，若，则n 的最大取值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
参考答案：
D 【分析】
利用等比数列的定义求出
，解不等式，即可求出。

【详解】
，数列是公比，首项为的等比数列，
，由
，得
的最大值为.故选D 。

【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
的展开式中x 2项的系数为_______.
参考答案：
2
试题分析：由二项式定理可知
中，
，令
，可知
的系数为
，令
，可知的系数为，故的展开式中的系数为，故填：. 12. 由直线x=0，x=
，y=0与曲线y=2sinx 所围成的图形的面积等于 ．
参考答案：
3
考点：定积分．
专题：数形结合；数形结合法；导数的综合应用．
分析：由题意可得S=
，计算可得．
解：由题意和定积分的意义可得所求面积S=
=
﹣2cosx =﹣2（cos ﹣cos0）=﹣2（﹣﹣1）=3
故答案为：3
【点评】本题考查定积分的求解，属基础题． 13. 已知在等腰直角△ABC 中，
，若
，则
等于 ．
参考答案：
－2
等腰直角△ABC 中，|BA|=|BC|=2，
可得
,
故答案为：﹣2．
14. 若函数
的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式
为 ．
参考答案：
15. 已知定义在
上的函数
，满足，若
时，
，则
▲ ．
参考答案：
16. 已知
，且
是常数，又
的最小值是，则
________.
参考答案：
7
17. 一个几何体的三视图如图所示（单位：
），则这个几何体的体积为__________
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，且的解集为(－∞,－2]∪[4,+∞)
（1）求m的值；
（2）若，使得成立，求实数t的取值范围.
参考答案：
解：（1）不等式的解集为
又∵的解集为
∴，∴
（2）∵，使得成立
∴，使得∴，
令
∴，
∴∴.
19. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若?=﹣，求k的值．
参考答案：
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】（I）由题意长轴长为4求得a的值，在有椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，）建立方程求解即可；
（II）由于圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件
得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据?=﹣建立k的方程求k．
【解答】解：（I）由题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，
∵点在椭圆上，∴解得：b2=3
椭圆的方程为：；
（II）由直线l与圆O相切，得：
设A（x1，y1）B（x2，y2）由，
整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴，，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）
+m2==∴=
∵m2=1+k2∴，
解得：，
∴．
【点评】此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．
20. 求圆被直线(是参数)截得的弦长.
参考答案：
将极坐标方程转化成直角坐标方程:
即:,即; ……2分
即: , ………………………….4分
, ……………………………………6分
即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为………………7分
21. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面
，且是的中点. （1）求证：平面；
（2）求多面体的体积.
参考答案：
（1）取的中点，连接.
在中，是的中点，是的中点，
所以，又因为，
所以且.
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，故平面.
（2）
.
22. 已知动点P与双曲线的两焦点的距离之和为大于4的定值，且
的最大值为9。

（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若A，B是曲线E上相异两点，点满足，求实数的取值范围。

参考答案：
解：（Ⅰ）双曲线的两焦点
.
设已知定值为，则，因此，动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆.设椭圆方程为.（2分）
，当且仅当时等号成立.（4分）
.动点P的轨迹E的方程是.（6分）
（Ⅱ）设，则由得：
且M，A，B三点共线，设直线为l.（7分）
①当直线l的斜率存在时，设，则得，
恒成立.由韦达定理得
将代入，消去得.（9分）
当时，得.当时，，由得，
，且.（12分）
②当直线l的斜率不存在时，A，B分别为椭圆短轴端点，此时.（13分）
综上所述，的取值范围是.（14分）
略。