高三数学概率统计历年高考题(2011年-2017年)

高三数学概率统计高考题
1.(2017年新课标1，2)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
2.(2016年新课标1，3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） （A ）
13
（B ）
12
（C ）
23
（D ）
56
3.(2012年新课标1，3)在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =1
2x +1上，则这组样本
数据的样本相关系数为 （ ）
（A ）－1 （B ）0 （C ）1
2
（D ）1
4. (2011年新课标，6)．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参
加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ ） A ．1
3 B ．
12
C ．
23
D ．
34
5.(2015年新课标1，4)如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ）
310
（B ）15
（C ）
110
（D ）
120
6.(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
16
7.(2014年新课标1，13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
8. (2011年新课标，19)（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
9.(2012年新课标，18)（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

10．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
11.(2014年新课标，18)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标
（1
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
12 (2015课标全国Ⅰ，文18)（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x ，和年销售量()1,2,3,,8i y i =的数据作了初步处理，
得到下面的散点图及一些统计量的值.
（I ）根据散点图判断，y a b x =+与y c d =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II ）根据（
I
）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：
（i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u 1 v 1）,（u 2 v 2）…….. （u n v n ）,其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
13.(2016年新课标，19)（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
频数
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若n=19，求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？14.(2017年新课标1，19)（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的
12，
18.43
9
≈，
16
1
()(8.5) 2.78
i
i
x x i
=
--=-
∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16
i=⋅⋅⋅．
（1）求(,)
i
x i(1,2,,16)
i=⋅⋅⋅的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25
r<，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)
x s x s
-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)
x s x s
-+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)
i i
x y(1,2,,)
i n
=⋅⋅⋅的相关系数
()()
n
i i
x x y y
r
--
=
∑
，
0.09
≈．
高三数学概率统计复习题答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5. C
6.B
7.23
8.解：(1)当日需求量17n ≥时，利润85y = 当日需求量17n <时，利润1085y n =-
所以y 关于n 的函数解析式为*
1085 17()85 17
n n y n N n -<⎧=∈⎨≥⎩
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54
天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
1(5510652075168554)76.4100
⨯+⨯+⨯+⨯=
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
0.160.160.150.130.10.7p =++++=
9.解（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100
+，所以用A 配方生
产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100
+=，
所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B 配方生产的产品平均一件的利润为
68.2)442254)2(4(100
1=⨯+⨯+-⨯⨯（元）
10.解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得
x ＝
120
(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8
＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
y
＝
120
(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1
＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710
的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结
果有
710
的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．
11.解：（1）
…………………………4分
（2）质量指标值的样本平均数为
806902610038110221208
100100
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=
质量指标值的样本方差为
所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.………………10分 （3）依题意
38228
100
++= 68％ < 80％
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。

……………………………………12分
12.解：(1)由散点图可以判断，
y 关于年宣传费x 的回归方程式类型 （II
）令w =
y 关于w 的线性回归方程式.由于
2
8
1
8
1
()()
108.8d =
681.6
()
i i i i i w w y y w w ==--=
=-∑
∑
,56368 6.8100.6c y d w =
-=-⨯=，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w
+,因此y关于x的回归方程为
y100.66
=+
（Ⅲ）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y
的预报值y100.66576.6
=+，
年利润z的预报值z=576.60.24966.32
⨯-=……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
z=0.2(100.6+6=-120.12
x x+.
13.6
=6.8
2
=，即x=46.24时，z取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分
13.解：（1）当19
x≤时，3800
y=；当19
x>时，3800500(19)5005700
y x x
=+-=-
所以y与x的函数解析式为
3800,19;
()
5005700,19;
x
y x N
x x
≤
⎧
=∈
⎨
->
⎩
（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的
最小值为19.
（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件
上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零
件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000
100
???
.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件
上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均
数为4050
)
10
4500
90
4000
(
100
1
=
⨯
+
⨯.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
14. （12分）【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)
i
x i i=的相关系数为
16
()(8.5)
0.18
i
x x i
r
--
==≈-
∑
.
由于||0.25
r<，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变
小.
（2）（i）由于9.97,0.212
x s
=≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在
(3,3)
x s x s
-+以外，因此需对当天的生产过程进行检查.
（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
1
(169.979.22)10.02
15
⨯-=，这条
生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
16
222
1
160.212169.971591.134
i
i
x
=
=⨯+⨯≈
∑，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为22
1
(1591.1349.221510.02)0.008
15
--⨯≈，
0.09
≈.。