华东理工大学复变函数复习
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( 3) 在除去负实轴 (包括原点)的复平面内 , 主值支 和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
36
注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
Im z 0 Im w 0
az b w (a, b, c, d R，ad bc 0) cz d
Im z 0 | w | 1 | z | 1 | w | 1
za we Im(a) 0) ,( R， za
i
za we a 1) ,( R， 1 az
2 2
复
习
19
第一章：
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
注意：他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意：这是与实变函数完全不同的)
39
40
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
( 3) Im(i z ) 4.
(4) z 1 z 1 4;
积 z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
26
Re( z ) 当 z 0 时的极限 例1 证明函数 f ( z ) z 不存在.
第二章
1. 能够利用C-R条件判断函数解析性
2. 知道对数函数，幂函数，三角函数的定义， 导数，及相应运算 3. 能够利用已知函数求出相应调和函数
28
f ( z ) 在一点解析 f ( z ) 在一点可导
复习与回顾
1
分式线性映射的性质
1.一一对应性 2.保角性 3. 保圆性 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 4. 保对称性
(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时, 这二圆 弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.
41
共轭调和函数
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
n
1 n
23
复变函数的极限 和连续性
一、函数的极限 二、函数的连续性
25
定理三
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在z0 x0 iy0 连续的充要条件是 : u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
iz
iz
,
e e sinz 2
iz
iz
.
奇偶性 周期性 解析性
sin( z ) sin z , cos( z ) cos z .
sin( z 2) sin z , cos( z 2) cos z .
(sin z ) cos z , (cos z ) sin z .
集合相等，并且下面的 等式将不再成立：
Lnz 2 2Lnz ,
Ln n z 1 n Lnz
而应是：Lnz 2 2 ln | z | i 2 arg z 2ki,
1 Ln n z 1 ln | z | i n n argz 2ki
37
四、三角函数
e e cos z 2
例：如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在 区域 D 内为一常数 .
证
u v v u f ( z ) i i 0, x x y y
u v u v 故 0, x y y x
所以 u 常数, v 常数,
(w)
Im( ) 0 的一个映射.
解
(z)
0 a
b
we ?
i ( z a ) b a
0
( )
i
πi (z a) ba
0
w e
13
例 求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>1/2保角映射成上 半平面. ( w ) ( z ) 2 i
i 2·
z w1 z i
16
初等函数映射：
1. 角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面） 时利用幂函数（角度增加）或根式函数（角度减少） 2.横向带型区域映射成角型区域（或上半 平面，或有隔阂复平面利用指数函数反之 利用对数函数 因此对于这种情况，经常需要对带状区域平移旋转压缩
17
1 1 w u iv z x iy u x u2 v2 1 u u 2 v 2 1 1 z x iy v w u iv v0 y 2 0 u v2 1 1 2 u v , v 0 2 2
特殊地:
2π 角形域 0 n (z)
2 n
角形域 0 2π (w)
0
0
沿正实轴剪开的w平面
根式函数z= w : 0 n 0
n n
2 0 0 ( 0 ) n
于是 w=z 和z= n w 的映射特点是扩大与缩小角形域。
1)
(z)
直线 x 常数
例如,
f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ),
2 2
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 , 处连续, v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续
故 f ( x , y ) 在复平面内除原点外处 处连续.
二. 对数函数
满足方程 ew z ( z 0) 的函数 w f ( z ) 称为对数函数, 记为 w Lnz, 易见:Lnz ln z iArgz.
ln z ln z i arg z（主值）
(1) Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
z1 ( 2) Ln Lnz1 Lnz2 , z2
定理 区域D内的函数解析 共轭调和函数.
虚部为实部的
42
第四章. 幂级数
1. 能够利用收敛半径的公式求得收敛半径；
2. 能够将解析函数在给定点展开成泰勒公式； 3. 能够在解析环域将函数展开成洛朗级数。
此点和其某领域内点点满足 导数定义 ·
仅在此点满足导数定义
·
·
一点解析 一点可导，反之不对
29
因为区域为开集，故点点可导
点点解析
反之显然
f ( z ) 在区域内可导
f ( z)
在区域内解析
30
可导（解析）充要条件
定理
设函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导(在区域内解析）的充要 条件是 : u ( x, y ) 与 v( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微（在区域内可微） , 并且在该点（在区域内 ）满足柯西－黎曼方程 u v 1 u v u v u v i . , . 且f ( z ) x y y x x x i y y
(w1 )
1 i 2
z 0 w1 0 z i w1 1 z i w1 2
i
z w1 z i 1 w1 ( i ) 2
1 2
w3 2 w2 w e w3
w2 e w1 iw1 i
2
i
(w3 )
若u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程, 推论 ：
则f ( z) u iv在 z x iy 处可导.
31
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
zi w ie zi
i 0
e
π i ( 0 ) 2
zi z i
0
0
基本公式： 已知条件
分式线性映射公式
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
已知相异三点： z1 w1 , z2 w2 , z3 w3
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
商
幂
z r e z r
2 2 1 1
i ( 2 1 )
.
z2 Arg Argz2 Argz1 . z1
对于任何正整数n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
方根
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1)
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
初等函数
一 指数函数的定义:
z x
z x iy
w e e (cos y i sin y)
加法定理 周期性 解析性
exp z1 exp z2 exp(z1 z2 )
exp z 的周期是2ki ,
(e )' e
z
z
35
we
z 2 i z i
( w)
14
求将区域
{z
z 2 z 1 1}
映射为上半平面的一个共形映射.
z z 2
z1
z z 2
e
2 i z2ຫໍສະໝຸດ z1e( 旋转 )2 z
i
2
2
e
分式线性：
1. 有两个交点的弧段映射成角形区域 2.半圆映射成某一个象限 3. 将线段映射成射线 4.只有一个交点的弧段映射成带型区域。
i
| z | 1, Im z 0 Re w 0, Im w 0
z 1 w z 1
7
一、幂函数 w z
n
(n 2为自然数)
2π 角形域 0 0 n
(z)
角形域 0 n 0
(w)
0
0
n 0
0
即在 z 0 处角形域的张角经过映 射变为原 来的 n 倍.
(w) 圆周 常数
0
2)
(z)
0
(w)
直线 y 常数
射线 常数
0
11
0
3) 带形域 0 Im( z ) a ( 0 a 2 )
ai ( z )
角形域 0 arg w a
(w)
0 特殊地:
2i
(z)
0
(w)
0
0
12
例
求把带形域a Im( z ) b 映射成上半平面
3
映射的角形区如图所示
(z ) y i
v
C2' 1 x C1' O (w)
-1
O
u
C2
-i
4
C1
z
zR w . zR
w
R
0
R
1
(z)
C1 0 1 i
i.
C2
zi i zi
0
( )
因此所求映射为:
逆时针旋转 0 w e i 0
(w)
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
36
注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
Im z 0 Im w 0
az b w (a, b, c, d R，ad bc 0) cz d
Im z 0 | w | 1 | z | 1 | w | 1
za we Im(a) 0) ,( R， za
i
za we a 1) ,( R， 1 az
2 2
复
习
19
第一章：
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
注意：他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意：这是与实变函数完全不同的)
39
40
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
( 3) Im(i z ) 4.
(4) z 1 z 1 4;
积 z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
26
Re( z ) 当 z 0 时的极限 例1 证明函数 f ( z ) z 不存在.
第二章
1. 能够利用C-R条件判断函数解析性
2. 知道对数函数，幂函数，三角函数的定义， 导数，及相应运算 3. 能够利用已知函数求出相应调和函数
28
f ( z ) 在一点解析 f ( z ) 在一点可导
复习与回顾
1
分式线性映射的性质
1.一一对应性 2.保角性 3. 保圆性 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 4. 保对称性
(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时, 这二圆 弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.
41
共轭调和函数
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
n
1 n
23
复变函数的极限 和连续性
一、函数的极限 二、函数的连续性
25
定理三
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在z0 x0 iy0 连续的充要条件是 : u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
iz
iz
,
e e sinz 2
iz
iz
.
奇偶性 周期性 解析性
sin( z ) sin z , cos( z ) cos z .
sin( z 2) sin z , cos( z 2) cos z .
(sin z ) cos z , (cos z ) sin z .
集合相等，并且下面的 等式将不再成立：
Lnz 2 2Lnz ,
Ln n z 1 n Lnz
而应是：Lnz 2 2 ln | z | i 2 arg z 2ki,
1 Ln n z 1 ln | z | i n n argz 2ki
37
四、三角函数
e e cos z 2
例：如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在 区域 D 内为一常数 .
证
u v v u f ( z ) i i 0, x x y y
u v u v 故 0, x y y x
所以 u 常数, v 常数,
(w)
Im( ) 0 的一个映射.
解
(z)
0 a
b
we ?
i ( z a ) b a
0
( )
i
πi (z a) ba
0
w e
13
例 求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>1/2保角映射成上 半平面. ( w ) ( z ) 2 i
i 2·
z w1 z i
16
初等函数映射：
1. 角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面） 时利用幂函数（角度增加）或根式函数（角度减少） 2.横向带型区域映射成角型区域（或上半 平面，或有隔阂复平面利用指数函数反之 利用对数函数 因此对于这种情况，经常需要对带状区域平移旋转压缩
17
1 1 w u iv z x iy u x u2 v2 1 u u 2 v 2 1 1 z x iy v w u iv v0 y 2 0 u v2 1 1 2 u v , v 0 2 2
特殊地:
2π 角形域 0 n (z)
2 n
角形域 0 2π (w)
0
0
沿正实轴剪开的w平面
根式函数z= w : 0 n 0
n n
2 0 0 ( 0 ) n
于是 w=z 和z= n w 的映射特点是扩大与缩小角形域。
1)
(z)
直线 x 常数
例如,
f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ),
2 2
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 , 处连续, v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续
故 f ( x , y ) 在复平面内除原点外处 处连续.
二. 对数函数
满足方程 ew z ( z 0) 的函数 w f ( z ) 称为对数函数, 记为 w Lnz, 易见:Lnz ln z iArgz.
ln z ln z i arg z（主值）
(1) Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
z1 ( 2) Ln Lnz1 Lnz2 , z2
定理 区域D内的函数解析 共轭调和函数.
虚部为实部的
42
第四章. 幂级数
1. 能够利用收敛半径的公式求得收敛半径；
2. 能够将解析函数在给定点展开成泰勒公式； 3. 能够在解析环域将函数展开成洛朗级数。
此点和其某领域内点点满足 导数定义 ·
仅在此点满足导数定义
·
·
一点解析 一点可导，反之不对
29
因为区域为开集，故点点可导
点点解析
反之显然
f ( z ) 在区域内可导
f ( z)
在区域内解析
30
可导（解析）充要条件
定理
设函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导(在区域内解析）的充要 条件是 : u ( x, y ) 与 v( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微（在区域内可微） , 并且在该点（在区域内 ）满足柯西－黎曼方程 u v 1 u v u v u v i . , . 且f ( z ) x y y x x x i y y
(w1 )
1 i 2
z 0 w1 0 z i w1 1 z i w1 2
i
z w1 z i 1 w1 ( i ) 2
1 2
w3 2 w2 w e w3
w2 e w1 iw1 i
2
i
(w3 )
若u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程, 推论 ：
则f ( z) u iv在 z x iy 处可导.
31
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
zi w ie zi
i 0
e
π i ( 0 ) 2
zi z i
0
0
基本公式： 已知条件
分式线性映射公式
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
已知相异三点： z1 w1 , z2 w2 , z3 w3
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
商
幂
z r e z r
2 2 1 1
i ( 2 1 )
.
z2 Arg Argz2 Argz1 . z1
对于任何正整数n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
方根
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1)
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
初等函数
一 指数函数的定义:
z x
z x iy
w e e (cos y i sin y)
加法定理 周期性 解析性
exp z1 exp z2 exp(z1 z2 )
exp z 的周期是2ki ,
(e )' e
z
z
35
we
z 2 i z i
( w)
14
求将区域
{z
z 2 z 1 1}
映射为上半平面的一个共形映射.
z z 2
z1
z z 2
e
2 i z2ຫໍສະໝຸດ z1e( 旋转 )2 z
i
2
2
e
分式线性：
1. 有两个交点的弧段映射成角形区域 2.半圆映射成某一个象限 3. 将线段映射成射线 4.只有一个交点的弧段映射成带型区域。
i
| z | 1, Im z 0 Re w 0, Im w 0
z 1 w z 1
7
一、幂函数 w z
n
(n 2为自然数)
2π 角形域 0 0 n
(z)
角形域 0 n 0
(w)
0
0
n 0
0
即在 z 0 处角形域的张角经过映 射变为原 来的 n 倍.
(w) 圆周 常数
0
2)
(z)
0
(w)
直线 y 常数
射线 常数
0
11
0
3) 带形域 0 Im( z ) a ( 0 a 2 )
ai ( z )
角形域 0 arg w a
(w)
0 特殊地:
2i
(z)
0
(w)
0
0
12
例
求把带形域a Im( z ) b 映射成上半平面
3
映射的角形区如图所示
(z ) y i
v
C2' 1 x C1' O (w)
-1
O
u
C2
-i
4
C1
z
zR w . zR
w
R
0
R
1
(z)
C1 0 1 i
i.
C2
zi i zi
0
( )
因此所求映射为:
逆时针旋转 0 w e i 0
(w)