能控性及能观测性

（24）
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定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征值 互异，经过 i 线性非奇异变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是 B 矩阵中不包含元素全为零的列。
前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性 例3-10 有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。 （1）
0 7 x x 5 1 0 0 7 x x 5 1 0
T 是采样周期
定理3-19 如果线性定常系统（31）不能控（不能观测），则离散 化后的系统（32）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。
定理3-20 如果线性离散化后系统（32）能控（能观测），则离散 化前的连续系统（31）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。
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3.46 采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响
系统结构图如下
u
1 x

s
1
x1
2 x

s
1
x2
y
2
3
显然输出 y 中只有 x2 ，而无 x1 ，所以从 y 中 不能确定 x1 ，只能确定 x2 。我们称 x2 是可观测 的，x1 是不可观测的。
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2. 线性定常系统能观测性定义 线性定常系统方程为
Ax Bu x y Cx
[例 ]： 已知连续系统：
是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确 定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。 [解 ]： 先求连续系统的状态转移矩阵：
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所以：
要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：
要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：
联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，T必须满足：
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x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t τ ) Bu(τ ) d τ
t0
t
2）如果根据 [t0 , t1 ] (t0 t1 )内的输出 y(t ) 能够惟一地确定任意指定 状态 x (t1 ) ，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测 性等价。
则
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（23）
y(t ) C ai ( τ ) Ai x (0)
i 0
n 1
i 0
或者写成
y (t ) a0 (t )
a1 (t )


由于ai (t ) 是已知函数，因此，根据有限时间 [0, t1 ] 内的 y(t )能够 唯一地确定初始状态 x (0) 的充分必要条件为 QO 满秩。 （由于以上判据很简单，因此最为常用） 例3-9 系统方程如下，试判断系统的能控性
1 1 1 1 0 y x 1 1 1 0 0
试判别系统的能观测性。
解
说明：1.定理（3-12）、定理（3-13）不仅可以判断系统能观测性， 而且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。 2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的， 因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。 2018/7/20
y(k ) 1 1 1x(k )
试判断系统的能观测性。
解
C 1 1 1 rank0 3 2 3 rankQO rank CG 2 CG 2 4 6
因此，系统能观测。
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3.4.5 连续系统离散化后的能控性与能观测性

（18）
如果在有限时间区间 [t 0 , t1 ]（t1 t0）内，通过观测 y(t ) ，能够惟 一地确定系统的初始状态x (t0 )，称系统状态在 t 0 是能观测的。如果 对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。若系 统中至少有一个状态变量不能观测，则称此系统是不能完全观测的， 简称不能观测。 说明： 1） 已知系统在有限时间区间 [t0 , t1 ] (t0 t1 ) 内的输出 y(t ) ，观 测的目标是为了确定 x (t0 )。 能观测性规定为初始状态的确定。定义中之所以把能观性规定为对 初始状态的确定，是因为任意状态可在输入作用下由状态转移方程 得到。
不满秩，故系统不能观测。
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[例] 判别如下系统的能观测性
[解]：构造能观测性判别矩阵，并判断其秩
故此系统不是状态完全能观测的
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定理3-11（PBH判别法） 系统（18）为能观测的充分必要的条件 是：对于A 的每一个特征值 λi，以下矩阵的秩均为n
C rank n λi I A
λ
y 0 4 5x
（2）
3 2 0 y x 0 3 1
解 根据定理3-12可以判断，系统（1）是不能观测的,X1状态不 能观测。系统（2）是能观测的。
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说明：要注意成立条件，即A阵具有互不相同的特征值，否 则，若A阵具有相同的特征值，即使仍可化为对角线标准 型，此判别准则也不适用。
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定理3-13 如果（18）式描述的系统的A 阵具有重特征值， λ1 、λ2 、…、 λk 分别为 l1 重、l 2 重、…、 l k 重。 且
l
i 1
k
i
n ， λi λ j ，(i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵
J1 x 0
J2
3.4 离散系统的能控性和能观测性
线性定常离散系统方程为
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k )
（29）
3.4.1 能控性定义 系统（29）的任一个初始状态 x (0)，存在 k 0，在有限时间区间 [0, k ] 内，存在容许控制序列 u(k )，使得 x (k ) 0 ，则称系统是状 态完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态 能控的。
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这个例子说明
1 ）原连续系统的能控（能观测性），不能保证离散
化后的能控性（能观测性）。 2）离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决 于采样周期T。 故，线性连续定常系统离散化后，系统的能控和能 观测性变差了。
C CA QO n 1 CA nmn
（22）
证明 设 u(t ) 0 ， 系统的齐次状态方程的解为
x(t ) e At x(0) y(t ) Cx (t ) C e At x(0) n 1 应用凯-哈定理，有 e Aτ ai ( τ ) Ai
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3.4.2 能控性判据 定理3-17 系统（29）能控的充分必要条件是能控性矩阵 QC 的秩为 n，即 （30） rankQC rank H GH G n1 H n


例3-12 线性定常离散系统状态方程为
判断系统的能控性。 解
1 0 0 1 x (k ) 0 u (k ) x (k 1) 0 2 2 1 1 0 1
思考：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能 控性和能观测性是否发生变化。
线性定常系统方程为 离散化后的系统方程为 其中
Ge
AT
Ax Bu x y Cx
（31）
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k )
（32）
T H e AT d t B 0
能控性及能观测性
3.3 能观测性的定义及其判据
指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答 了状态变量能否由输出反映出来。
有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不
能。
能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过
y(t)确定下来的状态称为不能观状态。
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1. 举例
3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。 4）系统的输入 u(t ) 以及确定性的干扰信号 f (t ) 均不改变系统的 能观测性。
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3. 能观测性判据
定理3-9 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格 拉姆能观性矩阵满秩，即 （19） rankWO [0, t1 ] n 其中
0 x Bu Jk
λi Ji 0
1 0 λi 1 λi
y Cx
则系统能观测的充分必要条件是矩阵 C 中与每一个约当子块第一列 对应的列，其元素不全为零。
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例3-11 如下线性定常系统
3 0 0 x 0 0 1 0 3 1 0 0 0 3 0 0 x 0 0 -2 1 0 0 0 - 2 0 0
t0
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定义 N k 1 (t ) N k (t ) A(t ) d N k (t ) dt
N 0 (t ) C (t )
(k 0,1,, n 1)
（26） （27）
定理3-16 如果线性时变系统的 A(t ) 和 C (t ) 的元是(n－1)阶连续可微 的。如果存在一个有限的 t1 t0 ，使得
2 0 1 x x u 0 5 2
C CA x (0) an 1 (t ) n 1 CA
y 0 1x
解
C 0 1 rank rank 1 CA 0 5
1 1 1 3 rankQC rank H GH G 2 H rank 0 2 6 1 1 1 所以系统能控。


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3.4.3 能观测性定义
对于（29）式所描述的系统，根据有限个采样周期的 y (k ) ，可以 惟一地确定系统的任一初始状态 x (0)，则称系统是状态完全能观测 的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。 3.4.4 能观测性判据
3.3.2 线性时变系统的能观测性判据 线性时变系统方程为
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x x (t0 )

（25）
定理3-14 状态在时刻 t 0 能观测的充分必要条件是存在一个有限时 刻 t1 t0 ，使得函数矩阵 C (t ) (t , t0 ) 的n个列在 [t1 , t0 ]上线性无关。 定理3-15 状态在时刻 t 0 能观测的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。 t1 WO [t0 , t1 ] T (t , t0 )C T (t )C (t ) (t , t0 ) d t
WO [0, t1 ]
t1 0
e
AT t
C T C e At d t
（20）
（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩 阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）
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定理3-10 秩判据 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条 件是以下能观性矩阵满秩，即 rankQO n （21）
N 0 (t1 ) N (t ) rank 1 1 n N ( t ) n 1 1
（28）
则系统在 t 0 是能观测的。
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例：线性时变系统式中A(t),C(t)分别为
试判别其能观性。 解
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容易判别，t>0,rankR(t)=3=n,所以该系统t>0时间区间上是 状态完全能观测的
定理3-18 系统（29）能观测的充分必要条件是能观性矩阵 QO 的秩 C 为n，即 CG n rankQO rank n1 CG
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例3-13 线性定常离散系统方程为
1 0 0 1 x (k ) 0 u (k ) x (k 1) 0 2 2 1 1 0 1