浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用
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一
比】 【 ＝ 一 ３时要大。所 以可得 ｙ ￣ ＞ ｙ ２ ＞ ｙ 。 。
三、 初中数 学不等式 中的数 形结合 初 中数学 中还 涉及一个知识 点 ， 就是 不等式的 问题 ， 一元
次不等式及一元一次不等式组也是初中数学的重难点 问题 ， 因此在学 习这部分 内容 的时候 ， 教 师可 以指导学生借助数形结 合 的方法去解决 问题 。此部分 内容需要的图形 即为数轴 ， 数轴 表示实数与数轴上 的点 的一一对应关系 ， 所 以可 以利用数轴来 表示不等式（ 组） 的解集 。 如要表示不等式 ｘ － ７ ＞ ２ ６的解集 ， 那么
教 学中的实 际运用。
【 关键词】 数形结合 初中数学 教学方法 中图分类号 ： Ｇ ４ 文献标识码 ： Ａ Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ￣ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ０ ４ ０ ７ ． ２ ０ １ ７ ． ２ １ ． １ １ ９
初 中阶段 的数学是承接小 学数学之后 的又一 阶段基础知 识， 也是为 以后数学 内容 的拓展和深化做铺垫 的阶段 。但是同 样 是基础性知识 ， 初 中数 学相 比较小学数学 ， 其逻 辑性和抽象 性有所增强 ， 对 于学生数学思维能力也提出了更高的要求 ， 那 么在教学过程中教师就要 注重数学思想的传授 ， 为学生提供更 多学习数学的方法 和解题思路 ， 提高学生学 习数学 的效率和课 堂教学质量。 其中 ， 数形结合思想是 比较有效 的方法之一。 由于 数学知识的抽 象性 ， 所 以借助图形能够把 问题 的本质 内容直观 地呈现给学生 ， 简化 问题难度 ， 便于理解。 如要学生测量某一天 室外温度的变 化情 况， 那 么学 生可以按照不 同的时间点记录对 应 的温度 ， 然后建立坐标 ， 把不 同的温度 点连起来 就能得到一 条温度变化线 ， 绘制出的这条 线比起数据显示的数字不仅使 得 学生能更加直观地看到温度 的变化情况 ， 还锻炼 了学生数形 转 换的思维能力 和不断探索新兴思路的数学能力 ， 从而提高课 堂 的教学效率 。 初中数学概念 中的数形结合 数学概念是数学 家和先辈们经过千 万次的推理演 练和证 明才推导 出来的知识概括 ， 是一种理 性认识 ， 因而其逻辑 比较 抽象 ， 以学生的理解 能力通常不 能直观体会 ， 因而需要教师在 教学的过程 中教会学生使用 图形 的方法 ， 数 形结合 ， 才能掌握 数学概念及其蕴藏的本质 。 如学习数轴 、 坐标系等相关概念时 ， 就会 经常使用到图形 。 又如 ， 学习几何 中的点 、 线、 面的知识 ， 学 习角、 三角形与 四边形的 内容 ， 还有轴对称 、 旋转， 以及点和圆 、 直线和圆 、 圆和圆的位置关系等 内容 ， 如果教 师只是对学生进 行理 论的灌输 ， 学生 的脑 海 中无法形成具体 的知识理解 ， 此时 借助 图形 ， 运用数形结合 的方法 ， 学生 的思路一下变得清晰 ， 从 图形上得到关于知识点 的描述 ， 加深数学概念 的理解和应用 。 二、 初 中数学函数中的数形结合 初 中数学中 ，函数问题 一直都是教学过程 的重点和难点 ， 函数 的范围 比较广泛 ， 内容 比较抽象 ， 尤其是学 生对于二次 函 数 的学习存在抵触心理 ， 解题 过程 中比较有 压力 ， 这种情况阻 碍学生数学能力的提高 ， 影响课堂效率和教学质量 。基 于二次 函数本身与图形结合 紧密的特点 ， 在教学 过程 中需要更加强化 学生 数形结合的思维运用 ， 指导学生建立直 角坐标 系， 找到相 对应 的函数点 ， 作 出图形 ， 然后引导学生分析函数的相关 问题 。 如在学习二次 函数时 ， 会学到 ｙ ＝ ａ ｘ ２ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ 这个式子 ， 其 中参数 ａ 决定抛物线的开 口 方向， 与 Ｙ轴 的交点依据参数 ｃ ，而参数 ａ 和ｂ 共同构成二次 函数对称性 的特点 。 因此学习二次函数时借 助 图形 可 以 帮 助学 生 更 容 易 理 解 知 识 内 容 。 以二 次 函 数 ｙ ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ２为例 ， 在该 函数 图像上 ， 已知有 三个点 ， 分别是（ 一 １ ， ｙ １ ） 、 （ 一 ３ ， ｙ ２ ） 、 （ ２ ， ｙ ３ ） ， 要求学生 比较 ｙ 。 、 Ｙ ２ 、 Ｙ ， 的大小 。按照学生 般 的思 路 ，他们会选择 将每一个 已知 点 Ｘ 带人 方程式中求 解， 然后进行 比较， 这样的方法无疑是要进行大量 的计算 的。 而 运 用数形结合 ， 首先作 出 ｙ ＝ ３ ￣ ＋ ６ ｘ ＋ ２的函数 图形 ， 那 么对 于这 三个 点的分布状况一 目了然 ， Ｙ １ ． Ｙ ： 、 Ｙ ， 的大小也就判断 出来 了。 首先将 ｙ ＝ ３ ６ ｘ ＋ ２ 转化为 ｙ ＝ ３ （ ｘ ＋ １ １ ， 然后作 图（ 见下图 ） 。分 析图形可知 ， 】 【 ＝ 一 １ 时， 相对应的 Ｙ 值 最小 ； ｘ － ２ 时， 所得 ｙ ３ 值要
一
就可 以这样表—— — ——— ——— ——一
、
这样在数轴上就直观表现出 ｘ的取值范 围， 即一元一次不 等式 的解集为 ｘ ＞ ３ ３ 。而在一元一次不等式组的解题 过程中 ， 运 用数轴分别将两个不等式的取值范围表示 出来 ， 两个解集相交 的部 分 即为 该 不 等式 组 的解 集 。例 如 ，已 知 不 等 式 组 为 ｘ ＋ ８ ＜ ４ ｘ 一 １ ， ｘ ＞ ｍ， 其 解集 为 ｘ ＞ ３ ， 那么要求 ｍ的取值范 围应该是 ？ 首先 ， 由不等式 ｘ ＋ ８ ＜ ４ ｘ 一 １ 可得 ， ｘ ＞ ３ ， 那 么在数 轴上可以画 出它 的取值范围（ 如图 ） ： ｒ—一
教 育研究学刊
撬 浅 谈 数 形 口口 ＝ ｔ ： 思 想 在 初 中 数 学 教 学 中 的 应 用
２ ０ １ ７ ・ 十一月（ 上）
陈 日彪
（ 北京师范大学大 同附属 中学校 ， 山西 大同 ０ ３ ７ ０ ０ ０ ）
【 摘 要】 数形结合思想可以帮助学生将抽象概念具体化， 运用直观的数学图形与抽象概念加以融合， 能够使学生快速、 有效地 解决数学 问题 ， 并在解题过程 中 逐 步形成数学思维 ， 提高实际运用能力。本 文主要探讨数 形结合思想在初 中数学
比】 【 ＝ 一 ３时要大。所 以可得 ｙ ￣ ＞ ｙ ２ ＞ ｙ 。 。
三、 初中数 学不等式 中的数 形结合 初 中数学 中还 涉及一个知识 点 ， 就是 不等式的 问题 ， 一元
次不等式及一元一次不等式组也是初中数学的重难点 问题 ， 因此在学 习这部分 内容 的时候 ， 教 师可 以指导学生借助数形结 合 的方法去解决 问题 。此部分 内容需要的图形 即为数轴 ， 数轴 表示实数与数轴上 的点 的一一对应关系 ， 所 以可 以利用数轴来 表示不等式（ 组） 的解集 。 如要表示不等式 ｘ － ７ ＞ ２ ６的解集 ， 那么
教 学中的实 际运用。
【 关键词】 数形结合 初中数学 教学方法 中图分类号 ： Ｇ ４ 文献标识码 ： Ａ Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ￣ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ０ ４ ０ ７ ． ２ ０ １ ７ ． ２ １ ． １ １ ９
初 中阶段 的数学是承接小 学数学之后 的又一 阶段基础知 识， 也是为 以后数学 内容 的拓展和深化做铺垫 的阶段 。但是同 样 是基础性知识 ， 初 中数 学相 比较小学数学 ， 其逻 辑性和抽象 性有所增强 ， 对 于学生数学思维能力也提出了更高的要求 ， 那 么在教学过程中教师就要 注重数学思想的传授 ， 为学生提供更 多学习数学的方法 和解题思路 ， 提高学生学 习数学 的效率和课 堂教学质量。 其中 ， 数形结合思想是 比较有效 的方法之一。 由于 数学知识的抽 象性 ， 所 以借助图形能够把 问题 的本质 内容直观 地呈现给学生 ， 简化 问题难度 ， 便于理解。 如要学生测量某一天 室外温度的变 化情 况， 那 么学 生可以按照不 同的时间点记录对 应 的温度 ， 然后建立坐标 ， 把不 同的温度 点连起来 就能得到一 条温度变化线 ， 绘制出的这条 线比起数据显示的数字不仅使 得 学生能更加直观地看到温度 的变化情况 ， 还锻炼 了学生数形 转 换的思维能力 和不断探索新兴思路的数学能力 ， 从而提高课 堂 的教学效率 。 初中数学概念 中的数形结合 数学概念是数学 家和先辈们经过千 万次的推理演 练和证 明才推导 出来的知识概括 ， 是一种理 性认识 ， 因而其逻辑 比较 抽象 ， 以学生的理解 能力通常不 能直观体会 ， 因而需要教师在 教学的过程 中教会学生使用 图形 的方法 ， 数 形结合 ， 才能掌握 数学概念及其蕴藏的本质 。 如学习数轴 、 坐标系等相关概念时 ， 就会 经常使用到图形 。 又如 ， 学习几何 中的点 、 线、 面的知识 ， 学 习角、 三角形与 四边形的 内容 ， 还有轴对称 、 旋转， 以及点和圆 、 直线和圆 、 圆和圆的位置关系等 内容 ， 如果教 师只是对学生进 行理 论的灌输 ， 学生 的脑 海 中无法形成具体 的知识理解 ， 此时 借助 图形 ， 运用数形结合 的方法 ， 学生 的思路一下变得清晰 ， 从 图形上得到关于知识点 的描述 ， 加深数学概念 的理解和应用 。 二、 初 中数学函数中的数形结合 初 中数学中 ，函数问题 一直都是教学过程 的重点和难点 ， 函数 的范围 比较广泛 ， 内容 比较抽象 ， 尤其是学 生对于二次 函 数 的学习存在抵触心理 ， 解题 过程 中比较有 压力 ， 这种情况阻 碍学生数学能力的提高 ， 影响课堂效率和教学质量 。基 于二次 函数本身与图形结合 紧密的特点 ， 在教学 过程 中需要更加强化 学生 数形结合的思维运用 ， 指导学生建立直 角坐标 系， 找到相 对应 的函数点 ， 作 出图形 ， 然后引导学生分析函数的相关 问题 。 如在学习二次 函数时 ， 会学到 ｙ ＝ ａ ｘ ２ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ 这个式子 ， 其 中参数 ａ 决定抛物线的开 口 方向， 与 Ｙ轴 的交点依据参数 ｃ ，而参数 ａ 和ｂ 共同构成二次 函数对称性 的特点 。 因此学习二次函数时借 助 图形 可 以 帮 助学 生 更 容 易 理 解 知 识 内 容 。 以二 次 函 数 ｙ ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ２为例 ， 在该 函数 图像上 ， 已知有 三个点 ， 分别是（ 一 １ ， ｙ １ ） 、 （ 一 ３ ， ｙ ２ ） 、 （ ２ ， ｙ ３ ） ， 要求学生 比较 ｙ 。 、 Ｙ ２ 、 Ｙ ， 的大小 。按照学生 般 的思 路 ，他们会选择 将每一个 已知 点 Ｘ 带人 方程式中求 解， 然后进行 比较， 这样的方法无疑是要进行大量 的计算 的。 而 运 用数形结合 ， 首先作 出 ｙ ＝ ３ ￣ ＋ ６ ｘ ＋ ２的函数 图形 ， 那 么对 于这 三个 点的分布状况一 目了然 ， Ｙ １ ． Ｙ ： 、 Ｙ ， 的大小也就判断 出来 了。 首先将 ｙ ＝ ３ ６ ｘ ＋ ２ 转化为 ｙ ＝ ３ （ ｘ ＋ １ １ ， 然后作 图（ 见下图 ） 。分 析图形可知 ， 】 【 ＝ 一 １ 时， 相对应的 Ｙ 值 最小 ； ｘ － ２ 时， 所得 ｙ ３ 值要
一
就可 以这样表—— — ——— ——— ——一
、
这样在数轴上就直观表现出 ｘ的取值范 围， 即一元一次不 等式 的解集为 ｘ ＞ ３ ３ 。而在一元一次不等式组的解题 过程中 ， 运 用数轴分别将两个不等式的取值范围表示 出来 ， 两个解集相交 的部 分 即为 该 不 等式 组 的解 集 。例 如 ，已 知 不 等 式 组 为 ｘ ＋ ８ ＜ ４ ｘ 一 １ ， ｘ ＞ ｍ， 其 解集 为 ｘ ＞ ３ ， 那么要求 ｍ的取值范 围应该是 ？ 首先 ， 由不等式 ｘ ＋ ８ ＜ ４ ｘ 一 １ 可得 ， ｘ ＞ ３ ， 那 么在数 轴上可以画 出它 的取值范围（ 如图 ） ： ｒ—一
教 育研究学刊
撬 浅 谈 数 形 口口 ＝ ｔ ： 思 想 在 初 中 数 学 教 学 中 的 应 用
２ ０ １ ７ ・ 十一月（ 上）
陈 日彪
（ 北京师范大学大 同附属 中学校 ， 山西 大同 ０ ３ ７ ０ ０ ０ ）
【 摘 要】 数形结合思想可以帮助学生将抽象概念具体化， 运用直观的数学图形与抽象概念加以融合， 能够使学生快速、 有效地 解决数学 问题 ， 并在解题过程 中 逐 步形成数学思维 ， 提高实际运用能力。本 文主要探讨数 形结合思想在初 中数学