高三数学下学期第二次月考(4月)试题(2021年整理)

河北省定州市2017届高三数学下学期第二次月考（4月）试题
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河北定州2016—2017学年第二学期高三第2次月考数学试卷
一、选择题
1．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)34=， [)1.31-=-，下列命题中正确的是( ） ①函数()[)f x x x =-的值域是(]0,1；
②若{}n a 是等差数列，则[){}n a 也是等差数列； ③若{}n a 是等比数列，则[){}n a 也是等比数列； ④若()1,2014x ∈，则方程[)1
2
x x -=
有2013个根。

A 。

②④ B 。

③④ C. ①③ D 。

①④
2．已知函数()()()ln ,23f x x g x m x n ==++，若对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）
A 。

1
B 。

1e C. 21
e D 。

e
3．已知O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线22
22:1(0)x y C b a a b
-=>>上有一点)
5,P
m （0m >），
点P 在x 轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点,过点P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A , B ，若平行四边形PAOB 的面积为1，则双曲线的标准方程是（ )
A 。

22
14y x -= B. 22123x y -= C 。

22
16
y x -= D. 2213722
x y -=
4．在Rt ABC ∆中， 4CA =， 3CB =， M ， N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）
A 。

52,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B. []4,6 C 。

11948,255⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ D. 14453,255⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 5．已知函数()()x f x x a e -=-，曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()2,e -+∞ B 。

()2,0e - C. ()2,e --+∞ D 。

()2,0e --
6．已知抛物线的焦点F 到准线l 的距离为p ，点A 与F 在l 的两侧， AF l ⊥且2AF p =， B 是抛物线上的一点， BC 垂直l 于点C 且2BC p =， AB 分别交l , CF 于点,D E ，则BEF ∆与BDF ∆的外接圆半径之比为（ ）
A 。

1
2
B. 3
C. 23
D. 2
7．已知(),0,αβπ∈，则“1
sin sin 3
αβ+<”是“()1sin 3αβ+<”的（ ）
A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8．已知函数()ln f x ax e x =+与()2
ln x g x x e x
=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的
底数,则实数a 的取值范围为( )
A 。

a e <-
B 。

1a > C. a e > D 。

3a <-或1a >
9．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为123，则准线l 的方程为（ ）
A. 2x =- B 。

22x =- C 。

2x =- D. 1x =-
10．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()()1'0x f x xf x ++>，则( ） A 。

()0f x > B 。

()0f x < C. ()f x 为减函数 D. ()f x 为增函数
11．函数()()(0)
{0lnx x f x x x >=--≤与()1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取
值范围是（ ) A. R B. (],e -∞- C 。

[),e +∞ D 。

∅
12．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02
x π
≤≤
时, ()cos 1f x x =-，则
22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）
A 。

48π-
B 。

24π- C. 2π- D 。

36π-
二、填空题
13．已知点P 为函数()x f x e =的图象上任意一点，点Q 为圆()2
2211x e y --+=上任意一点(e 为自然对数的底），则线段PQ 的长度的最小值为__________．
14．在三棱锥S ABC -中， ABC ∆是边长为3的等边三角形， 3,23SA SB ==，二面角S AB C --的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________．
15．已知函数()()22e 2
x k
f x x x kx =--+(k 是常数，e 是自然对数的底数，e ＝2。

71828…）在
区间()02，内存在两个极值点，则实数k 的取值范围是________．
16．某运动队对,,,A B C D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说:“是C 或D 参加比赛”； 乙说：“是B 参加比赛”;
丙说：“是,A D 都未参加比赛”; 丁说：“是C 参加比赛”。

若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是__________．
三、解答题
17．已知函数()ln (,f x ax x b a b =+为实数）的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. （1）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间； (2）设函数()()1f x g x x
+=
，证明()()1212()g x g x x x =<时， 122x x +>。

18．设函数()2ln f x x a x =-， ()g x = ()2a x -.
（Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x 。

（1）求满足条件的最小正整数a 的值; (2)求证： 1202x x F +⎛⎫
>
⎪⎝⎭
'。

19．已知函数()2
4
x x f x e x +=
+。

(I ）讨论函数的单调性，并证明当2x >-时， 240x xe x +++>； （Ⅱ）证明：当[)0,1a ∈时,函数()()
22
3(2)2x e ax a
g x x x +--=>-+有最小值，设()g x 最小值为()h a ，
求函数()h a 的值域.
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>， O 是坐标原点， 12,F F 分别为其左右焦点, 12F F =
M 是椭圆上一点， 12F MF ∠的最大值为2
3
π
（Ⅰ)求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥ （i)求证：
2
2
11OP
OQ
+
为定值;
(ii ）求OPQ ∆面积的取值范围。

21．已知函数()21ln 2a f x x x x =-+(a R ∈， a 为常数），函数()12
2112
x a g x e x --=+-(e 为自然对
数的底).
（1)讨论函数()f x 的极值点的个数;
（2）若不等式()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求实数的a 取值范围。

22．已知函数()33,f x x x x R =-∈.
（1）求()'f x 在[]2,3-上的最大值和最小值；
（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P 处的切线方程为()y g x =，求证:对于任意的正
实数x ，都有()()f x g x ≤。

23．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，离心率为1A ， 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧）,B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点。

(1）求椭圆C 的标准方程；
（2)是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向量
OP OQ +与2A B 共线？如果存在,求出直线方程；如果不存在，请说明理由.
24．已知函数()()1,x f x ax e a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调区间；
（2)当0m n >>时，证明: n m me n ne m +<+。

参考答案
1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A
13．211e e +- 14．21π
15．()()21e e e ⋃，，． 16．B
17．解析：（1）由题得，函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()1ln f x a x '=+， 因为曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-， 所以()()11{
11b 0f a f aln ===+'=，
，解得1,0a b ==.
令()1ln 0f x x =+=',得1
x e
=，
当10e x <<时， ()0f x '<， ()f x 在区间10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减;
当1e x >时， ()0f x '>， ()f x 在区间1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增.
所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，单调递增区间为1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

（2）由（1）得， ()()11ln f x g x x x
x
+=
=+
. 由()()1212g ()x g x x x =<，得121211
ln ln x x x x +=+,即212121
-ln 0x x x x x x =>。

要证
，需证()
21212121-2ln x x x x x x x x +>，即证212121
2ln x x x
x x x ->， 设
21t(1)x t x =>，则要证2121212ln x x x x x x ->，等价于证： 1
t 2ln (1)t t t
->>.
令1u(t)t 2ln t t =--,则2
2121'110t t t ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
∴()u t 在区间()1,+∞内单调递增, ()()10u t u >=,
即1
2ln t t t
->，故122x x +>。

18．解析：（Ⅰ）()22'2(0)a x a
f x x x x x
-=-=
>． 当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． 当0a >时，由()'0f x >，得2a x >
， ()'0f x <，得202
a
x <<， 所以函数()f x 的单调增区间为2a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为2a ⎛ ⎝
⎭。

（Ⅱ）（1）()()2222)(1'22(0)a x a x a x a x F x x a x x x x
----+=---=
=>（）（）
． 因为函数()F x 有两个零点,所以0a >，此时函数()f x 在,2a
⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
单调递增， 在0,2
a ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减.
所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，即244ln 02
a a a a -+-<。

因为0a >，所以4ln 402
a
a +->.
令()4ln 42
a
h a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且
()()381
220,34ln 1ln 10216
h h =-=-=-,所以存在()()002,3,0a h a ∈=。

当0a a >时, ()0h a >；当00a a <<时, ()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时， ()()()332ln30,10F F =->=，所以3a =时， ()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.
（2）证明 :不妨设120x x <<，于是()()22
111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，
()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--． 所以22
1122
1122
22ln ln x x x x a x x x x =＋－－＋－－。

因为'02
a F ⎛⎫= ⎪⎝⎭,当0,2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时， ()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时， ()'0F x >，
故只要证122x x ＋＞2a
即可，即证明22
1122121122
22ln ln x x x x x x x x x x +>＋－－＋－－，
即证()()2222
1212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，
也就是证112
212
22ln
x x x x x x <－＋。

设1
2
(01)x t t x =
<<． 令()22
ln 1t m t t t =-－＋，则()()()
2
22
11411t m t t t t t -=-='++（）。

因为0t >，所以()0m t '≥， 当且仅当1t =时, ()0m t '=，
所以()m t 在()0,+∞上是增函数．
又()10m =，所以当()()0,1,0m m t ∈<总成立,所以原题得证． 19．解：（1）由()2
4
x x f x e x +=
+得 ()()()()()2
22
22
240,4444x x x x f x e e x x x x ++'⎛⎫+ ⎪=+=≥≠- ⎪+++⎝⎭
故()f x 在()(),44,-∞--+∞和上单调递增， 当2x >-时，由上知()()21f x f >-=-, 即
2
14
x x e x +>-+,即240x xe x +++>，得证。

（2）对()()
2
e 32x ax a
g x x --=
+求导，得
()()()()()
2
233
4e e 4422x x x
x a x a x x g x x x ++⎡⎤++⎢⎥+++⎣⎦==++'， 2x >-．
记()2
e 4
x x x a x ϕ+=
++， 2x >-． 由（Ⅰ）知，函数()x ϕ区间()2,-+∞内单调递增，
又()210a ϕ-=-+<， ()00a ϕ=>，所以存在唯一正实数0x ，使得()0
0002e 02
x x x a x ϕ-=
+=+． 于是，当()02,x x ∈-时， ()0x ϕ<， ()0g x '<，函数()g x 在区间()02,x -内单调递减； 当()0,x x ∈+∞时， ()0x ϕ>， ()0g x '>，函数()g x 在区间()0,x +∞内单调递增． 所以()g x 在()2,-+∞内有最小值()()
02002
0e 32x ax a
g x x +--=+，
由题设即()()
0202
0e 32x ax a
h a x +--=
+．
又因为0200e 4x x a x +-=
+．所以()()02001
e 4
x h a g x x +==+． 根据（Ⅰ)知, ()f x 在()2,-+∞内单调递增，
(]020
0e 1,04
x x a x +=-∈-+，所以020x -<≤．
令()21e (20)4x u x x x +=
-<≤+，则()2
3e 04
x x u x x ++
=>+'，函数()u x 在区间(]2,0-内单调递增， 所以()()()20u u x u -<≤， 即函数()h a 的值域为21e ,24⎛⎤
⎥⎝⎦
．
20．解：（1)由题意得2,1a b ==，得椭圆方程为： 2
214
x y +=
(2)i)当,OP OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =, ()()1122,,,P x y Q x y
由22{1
4
y kx
x y =+=消y 得21
2414x k =+, 2222
112414k y k x k ==+
同理得22
2244k x k =+, 2
222
22144
y x k k ==+ 故
2
2
2222112211115
4
x y x y OP
OQ
+
=
+=
++ 当,OP OQ 斜率一个为0，一个不存在时，得
2
2
11115414
OP
OQ
+
=
+= 综上得
2
2
115
4
OP
OQ
+
=
,得证。

ii) 当,OP OQ 斜率都存在且不为0时，
2
4
21
2
9421
k k k =+++ 又 224222999
021224k k k k k k <≤=+++《
所以4
15
OPQ S ∆≤<
当,OP OQ 斜率一个为0，一个不存在时， 1OPQ S ∆= 综上得
4
15
OPQ S ∆≤≤
21．解：（1）()21'a
f x x x x
=--= 32
x x a x -- (0)x >， 由()'0f x =得： 3a x x =-，记()3h x x x =-，则()2'13h x x =-, 由()'0h x =得33x =
,且303x <<时, ()'0h x >， 3
3
x >时， ()'0h x <，
所以当3
x =
时， ()h x 取得最大值23，又()00h =，
（i ）当23
a ≥
时， ()'0f x ≤恒成立,函数()f x 无极值点; （ii ）当23
0a <<
时， ()'0f x =有两个解1x ， 2x ，且10x x <<时， ()'0f x <， 12x x x <<时， ()'0f x >， 2x x >时， ()'0f x <,所以函数()f x 有两个极值点；
（iii)当0a ≤时，方程()'0f x =有一个解0x ，且00x x <<时()'0f x <， 0x x >时, ()'0f x <,所以函数()f x 有一个极值点；
（2）记()()()x g x f x ϕ=-= 12ln 1x a
e x ax x
--+-- ()1x ≥,
由()01ln110e a a ϕ=-+--=，
()12
1'2x a
x e ax x x ϕ-=--++
， ()'111332a a ϕ=--+=-， 由()2
'103
a ϕ≥⇒≥，
又当23a ≥
， 1x ≥时， ()()12312''2x a x e a x x ϕ-=++- 12311210x e a x x -⎛
⎫=++-> ⎪⎝⎭
，
()()''10x ϕϕ≥≥， ()x ϕ在区间[)1,+∞上单调递增，
所以()()10x ϕϕ≥=恒成立，即()()g x f x ≥恒成立， 综上实数a 的取值范围是2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

22．【解析】(1）由()33f x x x =-，可得()()22'3331f x x x =-=-。

令()'0f x =,解得1x =,或1x =-.
当x 变化时, ()'f x 的变化情况如下表：
所以, ()f x 在(),1-∞-， ()1,+∞上单调递减,在(]1,1-上单调递增。

（2)设点P 的坐标为()0,0x ，则03x =， '
36f =-。

曲线()y f x =在点P 处的切线方程为'33y f x =，即()(63g x x =-. 令()()()F x f x g x =-,则()()(63F x f x x =+，所以()()''6F x f x =+，
由于()()2'31f x x =-在()0,+∞上单调递减，故()'F x 在()0,+∞上单调递减。

又因为'
30F =，所以当(3x ∈时， ()'0F x >.
当()3,x ∈+∞时， ()'0F x <，所以()F x 在(3内单调递增，在)
3,+∞上单调递减，所以
对于任意的正实数x ，都有()30F x F ≤=.
故对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤。

23．【解析】（1）设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，。

依题意得22222
,
2
{
21112a b c c a a b =+=+=解得22a =, 21b =。

所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）假设存在过点(2且斜率为k 的直线l 适合题意,则因为直线l 的方程为: 2y kx =+于是联立方程， 2
22
{1
2
y kx x y =⇒+= 22122102k x kx ⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭。

由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知，
221842k k ⎛⎫
∆=-+= ⎪⎝⎭
2420k ->， 212k ∴>。

令()11,P x y ， ()22,Q x y ， ()1212,OP OQ x x y y ∴+=++，
122
4212k
x x k +=-
+, ()1212
22y y k x x +=++ 22=， 224222,1212k OP OQ k k ⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪++⎝⎭
()222
2,112k k =-+， 由题知(
)
2
2,0A ， ()0,1B ， ()
22,1A B -。

从而，根据向量OP OQ +与2A B 共线，可得22k =， 22k =，这与21
2
k >矛盾. 故不存在符合题意的直线l 。

24．解:（1）()f x 的定义域为R ,且()()1x f x ax a e =+-'，
①当0a =时, ()0x f x e =-<'，此时()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞。

②当0a >时，由()0f x '>，得1
a x a
->-； 由()0f x '<,得1
a x a
-<-。

此时()f x 的单调减区间为1,a a -⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭，单调增区间为1,a a -⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭。

③当0a <时，由()0f x '>，得1
a x a
-<-； 由()0f x '<，得1
a x a
->-
. 此时()f x 的单调减区间为1,a a -⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,a a -⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭。

(2）当0m n >>时,要证： n m me n ne m +<+,
只要证： (
)(
)
11n
m
m e n e -<-，即证： 11
m n e e m n
-->。

(*） 设()1
,0x e g x x x
-=>，则()()2
11,0x x e g x x x -+=>'， 设()()11x h x x e =-+,
由（1)知()h x 在[)0,+∞上单调递增，
所以当0x >时， ()()00h x h >=,于是()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以当0m n >>时,（*)式成立, 故当0m n >>时， n m me n ne n +<+。