2021新高考数学二轮复习仿真模拟卷6+解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试·新
高考卷
数学仿真模拟卷(六)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i 是虚数单位，复数z ＝1－2i i ，则z 的共轭复数z 的虚部为( )
A ．－i
B ．1
C ．i
D ．－1
B [z ＝1－2i i ＝－i (1－2i )－i·i
＝－2－i ，则z 的共轭复数z ＝－2＋i 的虚部为1.] 2．已知集合A ＝{x ∈R |log 2x <2}，集合B ＝{}x ∈R |||x －1<2，则A ∩B ＝( )
A ．(0，3)
B ．(－1，3)
C ．(0，4)
D ．(－∞，3)
A [∵集合A ＝{x ∈R |log 2x <2}＝{x |0<x <4}，
集合B ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，
∴A ∩B ＝{x |0<x <3}＝(0，3)．]
3．已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位：元)服从正态分布N (2 000，1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1 900，2 200)内的概率为
( )
附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<u ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4.
A ．0.975 9
B ．0.84
C ．0.818 5
D ．0.477 2
C [∵ξ服从正态分布N (2 000，1002)，
∴μ＝2 000，σ＝100，
则P (1 900<ξ<2 200)＝P (μ－
σ<ξ<μ＋σ)＋12[]P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6＋12(0.954 4－0.682 6)＝0.818 5.]
4．设a ＝20.2，b ＝sin 2，c ＝log 20.2，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．b >c >a
D ．c >a >b
A [a ＝20.2>1，0<b ＝sin 2<1，c ＝log 20.2<0，
则a >b >c .]
5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －9，x ≥0x e x ，x <0
(e 为自然对数的底数)，若f (x )的零点为α，极值点为β，则α＋β＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
C [∵f (x )＝⎩⎨⎧
3x －9，x ≥0x e x ，x <0
， ∵当x ≥0时，f (x )＝0，即3x －9＝0，解得x ＝2；
当x <0时，f (x )＝x e x <0恒成立，
∴f (x )的零点为α＝2.
又当x ≥0时，f (x )＝3x －9为增函数，故在[0，＋∞)上无极值点；
当x <0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(1＋x )e x ，
当x <－1时，f ′(x )<0，当x >－1时，f ′(x )>0，
∴当x ＝－1时，f (x )取到极小值，即f (x )的极值点β＝－1，
∴α＋β＝2－1＝1.]
6．已知四棱锥P -ABCD 的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段P A ，PC 上，且EF ∥底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
D [连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝O ，
则EF ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，
由EF ∥底面ABCD ，可得EF ∥AC ，
由四边形ABCD 为菱形，可得AC ⊥BD ，
由O 为AC 的中点，P A ＝PC ，可得PO ⊥AC ，
又BD ∩OP ＝O ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，
可得AC ⊥平面PBD ，
又PB ⊂平面PBD ，
则AC ⊥PB ，
又EF ∥AC ，可得EF ⊥PB ，
即异面直线EF 与PB 所成角的大小为90°.
故选D ．]
7．在同一直角坐标系下，已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，
双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π3个单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
D [因为离心率为2，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C 方程为y 2a 2－x 2
a 2＝1(a >0)，
所以c ＝2a ，故焦点为(0，±2a )，渐近线y ＝±x ，
取(0，2a )到x －y ＝0的距离为2，得
2a 2
＝2，解得a ＝b ＝2. 所以双曲线方程为y 24－x 2
4＝1.
函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π3个单位后得到曲线D 的方程为： y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x . 同一坐标系下作出曲线C 、D 的图象：
由图可知，当B 点为y ＝－cos 2x 与y 轴的交点(0，－1)，A 点为双曲线的下顶点(0，－2)时，|AB |最小为1.故选D ．]
8．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位
参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道
题后至少答对两道题的概率( )
A ．112125
B ．80125
C ．113125
D ．124125
A [该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：
P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫453＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452
⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝112125
.] 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知向量a ＋b ＝(1，1)，a －b ＝(－3，1)，c ＝(1，1)，设a ，b 的夹角为θ，则下列正确的是( )
A ． |a |＝|b |
B ．a ⊥c
C ．b ∥c
D ．θ＝135° BD [根据题意，a ＋b ＝(1，1)，a －b ＝(－3，1)，则a ＝(－1，1)，b ＝(2，0)， 依次分析选项：
对于A ，|a |＝2，|b |＝2，则|a |＝|b |不成立，A 错误；
对于B ，a ＝(－1，1)，c ＝(1，1)，则a ·c ＝0，即a ⊥c ，B 正确；
对于C ，b ＝(2，0)，c ＝(1，1)，b ∥c 不成立，C 错误；
对于D ，a ＝(－1，1)，b ＝(2，0)，则a ·b ＝－2，|a |＝2，|b |＝2，则cos θ＝－222
＝－22，则θ＝135°，D 正确；故选BD ．]
10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则下列正确的是( )
A ．－2≤f (x )≤2
B ．f (x )在区间(0，π)上只有1个零点
C ．f (x )的最小正周期为π
D ．x ＝π3为f (x )图象的一条对称轴
ACD [已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6，x ∈R ， 则－2≤f (x )≤2，A 正确，
当2x －π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，f (x ) 在区间(0，π)上只有2个零
点，B 错误；
f (x ) 的最小正周期为π，C 正确；
当x ＝π3时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π3－π6＝2， 所以x ＝π3为f (x )图象的一条对称轴，D 正确．故选ACD ．]
11．已知数列{}a n 的前n 项和为S ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n a n ·a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则下列选项正确的为( )
A ．数列{}a n ＋1是等差数列
B ．数列{}a n ＋1是等比数列
C ．数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1
D ．T n <1
BCD [由S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1，
可化为a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，由S 1＝a 1＝1，可得数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1，
又2n a n a n ＋1＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，可得T n ＝1－122－1＋122－1
－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1
<1，
故A错误，B，C，D正确．故选BCD．]
12．已知四棱台ABCD-A1B1C1D1上下底面均为正方形，其中AB＝22，A1B1＝2，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下述正确的是()
A．该四棱台的高为3
B．AA1⊥CC1
C．该四棱台的表面积为26
D．该四棱台外接球的表面积为16π
AD[由棱台性质，画出切割前的四棱锥，
由于AB＝22，A1B1＝2，可知△SA1B1与△SAB相似比为1∶2，
则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝23，则OO1＝3，该四棱台的高为3，A对；
因为SA＝SC＝AC＝4，则AA1与CC1夹角为60°，不垂直，B错；
该四棱台的表面积为S＝S
上底＋S
下底
＋S
侧
＝2＋8＋4×
()
2＋22
2×
14
2＝10＋
67，C错；
由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1上，
在平面B1BOO1中，由于OO1＝3，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则r＝OB＝2，该四棱台外接球的表面积为16π，D对，故选AD．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若x∈(0，＋∞)，4x＋x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围为________．
(]
－∞，4[因为∀x∈(0，＋∞)，4x＋x－1＝4x＋1
x≥24x·
1
x＝4，当且仅当
4x ＝1x ，即x ＝12时取等号，又x ∈(0，＋∞)，4x ＋x －1≥a 恒成立，∴a ≤4.]
14．已知函数f (x )的定义域为R ，f ()x ＋1为奇函数，f ()0＝1，则f ()2＝________.
－1 [根据题意，函数f (x ＋1)为奇函数，则函数f (x )的图象关于点(1，0)对称， 则有f (x )＝－f (2－x )，
又由f (0)＝1，得f ()2＝－f ()0＝－1.]
15．已知a ∈N ，二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1x 6
展开式中含有x 2项的系数不大于240，记a 的取值集合为A ，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有________个．
18 [二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1x 6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(a ＋1)r ·x 6－2r ， 令6－2r ＝2，求得r ＝2，可得展开式中含有x 2项的系数为C 26·
(a ＋1)2＝15(a ＋1)2.
再根据含有x 2项的系数不大于240，可得15(a ＋1)2≤240，求得－4－1≤a ≤4－1.
再根据a ∈N ，可得a ＝0，1，2，3，即A ＝{0，1，2，3 }，
则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共A 13·A 23＝3×3×2＝18.] 16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q (0，－3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O .
(1)若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为________；
(2)若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
(1)3 (2)125 [(1)根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(－4，0)，(4，0)，
设公切线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)且k 存在，
则⎩⎨⎧ ||－4k ＋m 1＋k 2＝2
||4k ＋m 1＋k 2＝2 ，
解得k ＝±33，m ＝0，
故公切线方程为y ＝±33x ，则Q 到直线l 的距离d ＝332，
故l 截圆Q 的弦长＝232
－(332)2＝3； (2)设方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： d 1＝|－4k ＋m |1＋k 2，d 2＝|4k ＋m |1＋k 2，d 3＝|3＋m |1＋k 2
， 则d 2＝4(4－d 21)＝4(4－d 22)＝4(9－d 23)，
即有⎝ ⎛⎭⎪⎫|－4k ＋m |1＋k 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫|4k ＋m |1＋k 22
，① 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4k ＋m |1＋k 22＝9－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|3＋m |1＋k 22，② 解①得m ＝0，代入②得k 2＝421，
则d 2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－16×4211＋421＝14425，即d ＝125.]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，等比数列{}b n 的前n
项和为T n .已知a 1b 1＝2，S 2＝6，S 3＝12，T 2＝43，n ∈N *.
(1)求{}a n ，{}b n 的通项公式；
(2)是否存在正整数k ，使得S k <6k 且T k >139？若存在，求出k 的值；若不存在，
请说明理由．
[解] (1)设数列{}a n 的公差为d ，在数列{}a n 中，S 3－S 2＝a 3＝6，
又因为S 2＝a 1＋a 2＝a 3－2d ＋a 3－d ＝12－3d ＝6，所以d ＝2，
从而a 1＝a 3－2d ＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，
由a 1b 1＝2得b 1＝T 1＝1，
因为b 2＝T 2－T 1＝43－1＝13，设数列{}b n 的公比为q ，
所以q ＝b 2b 1
＝13，所以b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. (2)由(1)知，S k ＝k ()a 1＋a k 2
＝k (k ＋1)， 所以S k ＝k (k ＋1)<6k ，整理得k 2－5k <0，解得0<k <5，
又因为T k ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 1－13
＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＝32－12×3k －1， 所以T k ＝32－12×3k －1>139，即13
k －1<19，解得k >3， ∴存在正整数k ＝4，使得S k ＜6k 且T k ＞139.
18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．
(1)求角C ；
(2)若c ＝210，D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ；
条件②：cos B ＝255.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理知b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，
所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A )，所以b ＝c (cos A －sin A )，
又由正弦定理知b c ＝sin B sin C ，得sin B ＝sin C (cos A －sin A )，
所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A )，
即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ，
所以sin A cos C ＝－sin C sin A ，
因为sin A ≠0，所以cos C ＝－sin C ，所以tan C ＝－1，
又因为0<C <π，所以C ＝3π4.
(2)选择条件①：△ABC 的面积S ＝4且B ＞A ．
因为S △ABC ＝4＝12ab sin C ＝12ab sin 3π4.
所以ab ＝8 2.
由余弦定理知：c 2＝(210)2＝40＝a 2＋b 2－2ab cos 3π4.
所以a 2＋b 2＋2ab ＝40.
由⎩⎨⎧ a 2＋b 2＋2ab ＝40，ab ＝82，
解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝22或⎩⎨⎧
a ＝22，
b ＝4. 因为B ＞A ，所以b ＞a ，所以⎩⎨⎧ a ＝22，b ＝4，
所以CD ＝ 2. 在△ACD 中，AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos C ＝16＋2－2×4×2×cos 3π4＝
26.
所以AD ＝26.
选择条件②：cos B ＝255. 因为cos B ＝255，所以sin B ＝55，
因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝1010， 由正弦定理知c sin C ＝a sin A ，所以a ＝c sin A sin C ＝2 2.
在△ABD 中，由余弦定理知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，
解得AD ＝26.
19．(本小题满分12分)在如图所示的四棱锥E -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，△BCE 为边长为2的等边三角形，AB ＝AE ，点F ，O 分别为AB ，BE 的中点，OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线．
(1)证明：平面ABE ⊥平面BCE ；
(2)记△CDE 的重心为G ，求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值． [解] (1)证明：因为O 为BE 的中点，所以在等边△BCE 中，OC ⊥BE ， 又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，所以OC ⊥OF ， 又因为OF ∩BE ＝O ，OF 、BE ⊂平面ABE ，所以OC ⊥平面ABE ， 因为OC ⊂平面BCE ，所以平面ABE ⊥平面BCE .
(2)因为F 、O 为中点，所以OF ∥AE ，又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，
所以OF ⊥AB ，AE ⊥AB ，所以△ABE 为等腰直角三角形， 连接AO ，AB ＝AE ＝2，OA ＝1，
因为OA ⊥BE ，OA ⊂平面ABE ，平面ABE ⊥平面BCE 且平面ABE ∩平面BCE ＝BE ，
所以OA ⊥平面BCE ，
因此，以O 为原点，分别以OE 、OC 、OA 所在的直线为x 、y 、z 轴建系如图所示．
则A (0，0，1)，B (－1，0，0)，C (0，3，0)，E (1，0，0)， 因为四边形ABCD 为平行四边形，设D ()x 0，y 0，z 0， 因为BC →＝AD →
，所以(1，3，0)＝()x 0，y 0，z 0－1， 所以D (1，3，1)，
设面ABCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， BA →＝(1，0，1)，BC →
＝(1，3，0)，
由⎩⎨⎧
n ·BA →＝0n ·BC →＝0
⇒⎩⎨⎧
x ＋z ＝0
x ＋3y ＝0
， 令y ＝－1，则x ＝3，z ＝－3，所以n ＝(3，－1，－3)， 因为C (0，3，0)，E (1，0，0)，D (1，3，1)，
所以△CDE 的重心为G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233，13，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，233，－23， 设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n ，AG →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AG →|n |·
|AG →|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪23
37×253＝10535.
20．(本小题满分12分)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：
次类推)的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
(2)在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .
(i)求X 的分布列及E (X )；
(ii)已知每个订单由k (k ≥2，k ∈N *)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ，假设p ＝7sin πk 4k －π
k 2，q ＝sin π
k
4k ，求E (Y )取最大值时正整数k 的值．
附：回归方程y ^＝b ^x ＋a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x ·y
－
∑
i ＝1
n
x 2i －n x －2
＝
∑i ＝1
n
(x i －x －)(y i －y －
)
∑i ＝1
n
(x i －x －
)2
，a ＝y －b ^
x .
[解] (1)由已知可得： x ＝
1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝9＋12＋17＋21＋27
5
＝17.2，
∑i ＝15
x i y i ＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303，
∑i ＝1
5
x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52
＝55， 所以b ^＝
∑i
＝1
5
x i y i
－5x －·y －
∑i ＝1
5
x 2
i
－5x －2＝303－5×3×17.255－5×32
＝45
10＝4.5，
所以a ＝y －－b ^x －
＝17.2－4.5×3＝3.7， 所以y ^＝b ^
x ＋a ＝4.5x ＋3.7，
当x ＝6时，y ＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)，
所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元)． (2)(ⅰ)由题知，X 的可能取值为0，1，2， P (X ＝0)＝(1－p )(1－q )； P (X ＝1)＝(1－p )q ＋(1－q )p ； P (X ＝2)＝pq . 所以X 的分布列为：
(ⅱ)因为Y ＝kX ，
所以E (Y )＝kE (X )＝k (p ＋q )＝k ⎝ ⎛
⎭⎪⎪⎫7sin πk 4k －πk 2＋sin πk 4k ＝2sin πk －πk ， 令t ＝1k ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12，设f (t )＝2sin πt －πt ，则E (Y )＝f (t )
因为f ′(t )＝2πcos πt －π＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos πt －12，且πt ∈⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，π2
所以，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，f ′(t )>0，所以f (t )在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，13上单调递增； 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12时，f ′(t )<0，所以f (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，12上单调递减；
所以，当t ＝13即k ＝3时，f (t )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＝3－π3，
所以E (Y )取最大值时k 的值为3.
21．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，F 2点又恰为抛物线D ：y 2＝4x 的焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，|AB |＝d 1＋d 2.直线l 与C 相交于E ，F 两点，记△OAB ，△OEF 的面积分别为S 1，S 2.
(ⅰ)证明：△EFF 1的周长为定值； (ⅱ)求S 2
S 1
的最大值．
[解] (1)因为F 2为抛物线D ：y 2＝4x 的焦点，故F 2(1，0)， 所以c ＝1，
又因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知b ＝c ， 所以a ＝2，b ＝1，
所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)(ⅰ)证明：由题知，因为x ＝－1为抛物线D 的准线， 由抛物线的定义知|AB |＝d 1＋d 2＝||AF 2＋||BF 2，
又因为|AB |≤||AF 2＋||BF 2，等号当且仅当A ，B ，F 2三点共线时成立，
所以直线l 过定点F 2， 根据椭圆定义得：
|EF |＋||EF 1＋||FF 1＝||EF 2＋||EF 1＋||FF 1＋||FF 2＝4a ＝42，即△EFF 1的周长为定值．
(ⅱ)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 因为|AB |＝4，|EF |＝2，所以S 2S 1
＝|EF ||AB |＝24；
若直线l 的斜率存在，则可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， 由⎩⎨⎧
y 2＝4x y ＝k (x －1) 得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4k 2＋4
k 2， 设E ()x 3，y 3，F ()x 4，y 4，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 22＋y 2＝1y ＝k (x －1) 得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 则x 3＋x 4＝4k 21＋2k 2，x 3x 4＝2k 2－21＋2k 2
，
所以|EF |＝1＋k 2
||x 3－x 4＝1＋k 2
·()
x 3＋x 42
－4x 3x 4＝22()
1＋k 21＋2k 2
，
则S 2S 1＝|EF ||AB |＝k 22()1＋2k 2＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
11k 2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，24. 综上知S 2S 1
的最大值等于24.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ln x －x 2＋2的图象在点(1，1)处的切线方程为y ＝1.
(1)当x ∈()0，2时，证明：0<f (x )<2；
(2)设函数g (x )＝xf (x )，当x ∈(0，1)时，证明：0<g (x )<1； (3)若数列{}a n 满足：a n ＋1＝f (a n )，0<a 1<1，n ∈N *.证明：∑i ＝1n
ln a i <0.
[证明] (1)由题知f ′(x )＝a (ln x ＋1)－2x ，f ′(1)＝a －2＝0，
所以a ＝2，f (x )＝2x ln x －x 2＋2.
所以f ′(x )＝2(ln x ＋1－x )，令h (x )＝ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝1
x －1＝1－x x ， 当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0，h (x )在区间(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，2)时，h ′(x )<0，h (x )在区间(1，2)上单调递减； 所以h (x )≤h (1)＝0，即f ′(x )≤0， 所以f (x )在区间(0，2)上单调递减， 所以f (x )>f (2)＝4ln 2－2＝ln 16－ln e 2>0， 又因为h (x )＝ln x ＋1－x ≤0，所以ln x ≤x －1，
所以f (x )＝2x ln x －x 2＋2≤2x (x －1)－x 2＋2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1<2， 综上知当x ∈(0，2)时，0<f (x )<2.
(2)由题意，因为g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝4x ln x －3x 2＋2x ＋2，
所以g ′(x )＝2()2x ln x －x 2＋2＋()－x 2＋2x －2＝2f (x )＋()－x 2＋2x －2， 由(1)知f (x )在区间(0，1)上单调递减，所以f (x )>f (1)＝1， 又因为当x ∈(0，1)时，－x 2＋2x －2∈(－2，－1)，
所以g ′(x )>0，g (x )在区间(0，1)上单调递增，所以g (x )<g (1)＝1， 由(1)可知f (x )>0，又x ∈(0，1)，∴g (x )＝xf (x )>0， 综上可知0<g (x )<1. (3)由(1)(2)知：
若x ∈(0，1)，1＝f (1)<f (x )<2，若x ∈(1，2)，0<f (2)<f (x )<f (1)＝1， 因为a 1∈(0，1)，∴a 2＝f ()a 1∈(1，2)，a 3＝f ()a 2∈(0，1)，a 4＝f ()a 3∈(1，2)，
所以a 2k －1∈(0，1)，a 2k ∈(1，2)，k ∈N *， 当n ＝2k 时，
a 1×a 2×a 3×…×a n ＝()a 1a 2()a 3a 4…()a 2k －1a 2k ＝g ()a 1g ()a 3…g ()a 2k ＋1<1， 当n ＝2k －1时，
a 1×a 2×a 3×…×a n ＝()a 1a 2()a 3a 4…()a 2k －3a 2k －2a 2k －1＝g ()a 1g ()a 3…g ()a 2k －3a 2k －
1<1，所以
a 1×a 2×a 3×…×a n <1，从而 i ＝1
n
ln a i ＝ln ()a 1×a 2×…×a n <0.。