江苏省常州市市理想中学2019-2020学年高三数学文上学期期末试卷含解析

江苏省常州市市理想中学2019-2020学年高三数学文上
学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在平面四边形ABCD中，若＝（2，4）,＝(1,3)，则等于（）
A. （2，4）
B. （3，5）
C. （－3，－5）
D. （－2，－4）
参考答案：
C
2. 设i为虚数单位，则复数=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
参考答案：
A
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】通过将分子、分母同乘以i进行分母有理化，计算即得结论．
【解答】解： ===2+i，
故选：A．
3. 在等比数列{a n}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是 ( )
A．14 B．16 C．18
D．20
参考答案：
B
4. 已知命题p：“若直线ax+y+1=0与直线ax－y+2=0垂直，则a=1”；命题q：“”是“”的充要条件，则
（A）p真，q假（B）“”真（C）“”真（D）“”假参考答案：
D
略
5.
设椭圆的两个根分别为在（）
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．以上三种情况都有可能
参考答案：
答案:A
6. 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）
A. 0
B. 1
C.
D.
参考答案：
D
7.
若P为双曲线右支上一点，P到右准线的距离为，则点P到双曲线左焦点的距离为（）
A．1 B．2 C．6 D．8
参考答案：
答案:D
8. 如图（1），把棱长为1的正方体沿平面和平面截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
9. 已知直线，则“”是“
的
（）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
10. 已知函数的定义域为(-3,0),则函数的定义域为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若为奇函数，则最小正数的值为 .
参考答案：
12. 设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即,,,,,,…,将数列中各项按照上小下大、左小右大的原则排场如图所示的等腰直角三角形数表，则
（含的式子表示）
参考答案：
略
13. 已知直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角
三角形，则m= ．
参考答案：
2或14
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，
∴圆心C（m，0）到直线2x+my﹣8=0的距离d=rsin45°，即=，
解得：m=2或14，
故答案为2或14．
【点评】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
14. 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围
是
参考答案：
【知识点】二分法求方程的近似解.L1
(0,3) 解析：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，
解得：0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：（0，3）
【思路点拨】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．
15. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f （1﹣）=．
参考答案：
﹣
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据已知，先求出f（﹣1）的值，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），
∴f（﹣1）=log2=，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（1﹣）=﹣f（﹣1）=﹣，
故答案为：﹣．
16. 已知正数x，y满足，则当x______时，的最小值是______．参考答案：
1
【分析】
将化简成只关于的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.
【详解】正数x,y满足,
,可得,
,
令则且,
,
当且仅当即,此时取最小值1,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型.
17. 经过圆：的圆心，且与直线垂直的直线方程
是
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点（a，b）在直线2xcosB﹣
ycosC=ccosB上．
（1）求cosB的值；
（2）若a=，b=2，求角A的大小及向量在方向上的投影．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用点在直线上，得到三角形边角关系式，利用正弦定理变形求cosB；（2）利用（1）的结论，解直角三角形．
【解答】解：（1）因为点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．
所以2acosB﹣bcosC=ccosB，由正弦定理变形得2sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，
所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，
所以cosB=；
（2）由（1）得B=60°，因为a=，b=2，
所以cosA=，所以A=arccos；
因为∠B=60°，所以向量在方向上的投影为acos60°=．
19. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．
（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．
【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）
所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，
化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为
△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为
20. 已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）
==
，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到
=，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到
．
∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，
∴．
∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．
21. 已知，函数
（Ⅰ）若函数在[2,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有
成立
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）将问题转化为在上恒成立，可得，令
，可判断出在上单调递增，即，从而可得的范围；（Ⅱ）构造函数，，且
；利用导数可判断出在上是减函数，得到，经验算可知，从而可得，从而可证得结论. 【详解】（Ⅰ）由题意知：
函数在上为减函数，即在上恒成立
即：在上恒成立
设
当时，单调递减，单调递增
在上单调递增
即的取值范围为：
（Ⅱ）设，令：，
则
，令，则
在上为减函数
，即
在上是减函数，即
时，
【点睛】本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论.
22. 已知其中是自然对数的底 .
(Ⅰ)若在处取得极值,求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(III)设,存在,使得成立,求的取值范围.
参考答案：
解： (Ⅰ) .
由已知, 解得
.
经检验, 符合题意. (3)
分
(Ⅱ) .
1)当时，在上是减函数.
2)当时，.
①若，即，
则在上是减函数，在上是增函数；
② 若，即，则在上是减函数. 综上所述，当时，的减区间是，
当时，的减区间是，增区间是. ……… 7分。