2021年高一下学期期末考试数学(文) 含答案

2021年高一下学期期末考试数学（文） 含答案
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12
题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分，满分150分．考试用时l20分钟．
第Ⅰ卷 (选择题共60分)
一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝( )
A ．{0，1，2，3，4}
B ．{0，4}
C ．{1，2}
D ．{3}
2．已知向量，那么的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.等差数列中, ,,则数列的公差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为 ( )
A ．3x ＋4y －14＝0
B ．3x －4y ＋14＝0
C ．4x ＋3y －14＝0
D ．4x －3y ＋14＝0
5.在中，，，，则( )
A.或
B.
C.
D.
6.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A ．若,,则
B ．若,,则
C ．若,,则
D ．若,,则
7. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，
则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
8.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF
的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.在平面内
D.不能确定
9．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
10.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图
为 （ ）
11. 若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12.定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同
值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是
A ．，将函数的图像关于轴对称
B ．，将函数的图像关于轴对称
C ．，将函数的图像关于点对称
D ．，将函数的图像关于点对称
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 若等比数列满足则=______
14. 设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，
则a ＝________．
15.函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为______．
16.如图3，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C
的中点，有以下四个结论：
①直线MN 与AC 所成角是；②直线AM 与BN 是平行直线；
③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．
其中正确的结论为______ (注：把你认为正确的结论的序号都填
上)． 图3
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）(1)已知x >1，求f (x )＝x ＋
1x －1
的最小值； (2)已知0<x <25
，求y ＝2x －5x 2的最大值.
18. （本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c
＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．
19. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图4
所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，
E A BD ，DC ，CA 于点E ，
F ，
G ，
H .
(1)求四面体ABCD 的体积；
(2)证明：四边形EFGH 是矩形．
图4
20．（本小题满分12分）已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直
平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程；
(2)求圆P 的方程．
21. （本小题满分12分）如图5，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻
折到△，连接，
得到如图6的五棱锥，
且.
（1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积.
22. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足, , N .
（1）求的值；（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使，， 成等比数列? 若存在，求的值； 若不存
在，请说明理由.
高一下期末数学（文）答案
一、选择题答卷（每题5分，12题共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B A C B C A C B D B
二、填空题答卷（每题5分，4题共20分）
13. ; 14. 0; 15. 32
; 16. ①③④ 三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
17. （本小题满分10分）(1)∵x >1，∴x －1>0，
∴f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x －1＋1＝2＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1
，即x ＝2时，等号成立.∴f (x )的最小值为3.…………5分 (3)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15
·5x ·(2－5x )， ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15
. …………10分
18. （本小题满分12分）
解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23
. ……2分 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13
. ……6分 ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13
＝8， 所以a ＝2 2. …………9分
②当cos A ＝－13
时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3. ……12分
19. （本小题满分12分）
解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，
H F E P O
D B A ∴AD ⊥平面BDC ， …………3分
∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23
. …………6分 (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，
∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . …………8分
同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形． …………10分
又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，
∴四边形EFGH 是矩形． …………12分
20. （本小题满分12分）
解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， …………2分
∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，
即x ＋y －3＝0. …………4分
(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ① …………6分
又直径|CD |＝410，∴r=|PA |＝210， …………7分
∴(a ＋1)2＋b 2＝40 ② …………8分
由①②解得⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝5b ＝－2 …………10分
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. …………12分
21. （本小题满分12分）
（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥.
∵菱形的对角线互相垂直， ∴.
∴. …………………………2分
∴，.
∵平面，平面，，
∴平面. …………………………4分
∴平面. …………………………5分 （2）解：设，连接，∵，
∴△为等边三角形. ∴，，，.
在R t △中，， …………………………7分
在△中，， ∴.
∵，，平面，平面，
∴平面. …………………………10分
梯形的面积为，………………………11分
∴四棱锥的体积.………………12分
22. （本小题满分12分）
解：（1）解：∵, , ∴.
∴ . ∴ . ………………2分
（2）解法1: 由, 得. ……………………3分
∴ 数列是首项为, 公差为的等差数列.
∴ .
∴ . …………………………5分 当时, …………………………7分
.
而适合上式，
∴ . …………………………9分
解法2: 由, 得，
∴． ① …………………………4分
当时，，②
①②得()()()()1111122
n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-， ∴． …………………………5分 ∴． …………………………６分 ∴ 数列从第２项开始是以为首项, 公差为的等差数列. ………７分 ∴ . …………………………８分
而适合上式，
∴ . …………………………9分
（3）解：由(2)知, .
假设存在正整数, 使, , 成等比数列,
则.
即. …………………………10分
∵ 为正整数,
∴.
得或,
解得或, 与为正整数矛盾. …………………………11分
∴ 不存在正整数, 使, , 成等比数列. …………………………12分
29560 7378 獸 ,21607 5467 呧35980 8C8C 貌31430 7AC6 竆30984 7908 礈27050 69AA 榪29113 71B9 熹29729 7421 琡。