《整式的加减》(一)——合并同类项 配套知识讲解2022人教七年级上册专练

整式的加减（一）——合并同类项（提高）
【学习目标】 1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2. 掌握同类项的有关应用；
3. 体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a 2b 3与5b 3a 2；(2)2213x y z -与2213
xy z -；(3)-8和0；(4)-6a 2b 3c 与8ca 2． 【答案与解析】 (1)-4a 2b 3与5b 3a 2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a 2c 与8ca 2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.
2．315212135
m n m n x y x y --+-若与是同类项，求出m, n 的值. 【答案与解析】因为
315212135m n m n x y x y --+-与是同类项， 所以 315,21 1.m n -=⎧⎨-=⎩ ， 解得：2,1.m n =⎧⎨=⎩
所以2,1m n ==
【总结升华】概念的灵活运用.
举一反三：
【变式】（2020•石城县模拟）如果单项式﹣x a+1y 3与x 2y b 是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ）
A. a=2，b=3
B. a=1，b=2
C. a=1，b=3
D. a=2，b=2
【答案】C
解：根据题意得：a+1=2，b=3，
则a=1．
【答案】6
类型二、合并同类项
3．合并同类项：
()221324325x x x x -++--；()2222265256a b ab b a -++-；
()2223542625yx xy xy x y xy -+-+++;
()()()()()2323
431215141x x x x -----+- （注：将“1x -”或“1x -”看作整体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）()()()22232234511x x x x x x =-+-++-=+-=+-原式（2） ()()2222665522a a b b ab ab -+-++=原式=
（3）原式=()
()222562245x y x y xy xy xy -++-+++22
45x y xy =++ （4）()()()()()()223323315121412161x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+----=----⎣⎦⎣⎦原式 【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】
化简：（1） 32313125433
xy x y xy x ---+ （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b) 【答案】原式33232
11231123()()53345334
xy xy x x y xy x y =-+--=-+--
3221.1512xy x y =--- （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b) =(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2
+3(a-2b).
4. （2020•大丰市一模）若﹣2a m b 4与5a 2b n+7的和是单项式，则m+n= ﹣1 ．
【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2a m b 4与5a 2b n+7是同类项．
【答案】-1
【解析】解：由﹣2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，得
，
解得． m+n=﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若35x a b 与30.2y
a b -可以合并，则x = ，y = ．
【答案】3,3±± 类型三、化简求值
5. 化简求值：
（1）当1,2a b ==-时，求多项式3232399111552424ab a b ab a b ab a b -
-+---的值． （2）若243(32)0a b b +++=，
求多项式222(23)3(23)8(23)7(23)a b a b a b a b +-+++-+的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=32391911()(5)52244
a b ab a b -++---- =32345a b a b ---
将1,2a b ==-代入，得：323323
4541(2)1(2)519a b a b ---=-⨯⨯--⨯--=-
（2）把(23)a b +当作一个整体，先化简再求值：
原式=22(28)(23)(37)(23)10(23)10(23)a b a b a b a b +++--+=+-+
由243(32)0a b b +++=可得：430,320a b b +=+=
两式相加可得：462a b +=-，所以有231a b +=-
代入可得：原式=210(1)10(1)20⨯--⨯-=
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】3422323323622已知与是同类项，求代数式的值a b x
y xy b a b b a b +----+.
【答案】 ()()()3422323223323323231,2 4.2, 6.
362232624,
2,66426228.
a b x y xy a b a b b a b b a b b b a b a b b a b a b +--∴+=-=∴=-=--+=-+-+=-∴=-==-⨯-⨯=解：与是同类项，
当时，原式 类型四、综合应用
6. 若多项式-2+8x+(b-1)x 2+ax 3与多项式2x 3-7x 2
-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.【答案与解析】
法一：由已知
ax 3+(b-1)x 2+8x-2≡2x 3-7x 2-2(c+1)x+(3d+7) ∴ 2,17,82(1),237.
a b c d =⎧⎪-=-⎪⎨=-+⎪⎪-=+⎩ 解得：2,6,5,3.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩ ∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x 3+(b+6)x 2
+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x 取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而解得
解得：
【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三： 20,60,2(1)80,(39)0.a b c d -=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪-+=⎩2,6,5,3.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩
【变式1】若关于x 的多项式-2x 2+mx+nx 2+5x-1的值与x 的值无关，求(x-m)2
+n 的最小值.
【答案】 -2x 2+mx+nx 2+5x-1=nx 2-2x 2+mx+5x-1=(n-2)x 2+(m+5)x-1
∵ 此多项式的值与x 的值无关， ∴ 20,50.n m -=⎧⎨+=⎩ 解得: 25n m =⎧⎨=-⎩
当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n 有最小值为2.
【变式2】若关于,x y 的多项式：2223332m m m m x y mx y nx y x y m n ----++-++，化简后是四次三项式，求m+n 的值．
【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：
因为22m x y -的次数是m ，2m mx y -的次数为1m -，33m nx y -的次数为m ，32m x y --的次数为2m -，
又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然2233m m x
y nx y --与是同类项，且合并
后为0，
所以有5,10m n =+= ，5(1)4m n +=+-=．
第二课时
【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；
2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；
3．会根据实际问题列方程解应用题．
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a
=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.
【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】
解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，
所以3m -4＝0且5-3m ≠0．
由3m -4＝0解得43m =
，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ⎛⎫--⨯= ⎪⎝
⎭，解得83x =-． 所以43
m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y 两边都减去x+y ，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
（2）3721223
x x x -+=+，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x ，去括号得：9-21x=4x+2+2x. 【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.
（2）答：错在第一步，去分母时2x 项没乘以公分母6.
2. 如果5(x+2)＝2a+3与
(31)(53)35a x a x +-=的解相同，那么a 的值是________． 【答案】711
【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得275
a x -=
． 由(31)(53)35a x a x +-=，解得95
x a =-． 所以27955a a -=-，解得711a =． 【总结升华】因为两方程的解相同，可把a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a 的一元一次方程．
举一反三： 【变式】（2020•温州模拟）已知3x=4y ，则= ． 【答案】． 解：根据等式性质2，等式3x=4y 两边同时除以3y ，
得：=．
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程：4621132
x x -+-=． 【答案与解析】
解：去分母，得：2(4-6x )-6＝3(2x+1)．
去括号，得：8-12x -6＝6x+3．
移项，合并同类项，得：-18x ＝1．
系数化为1，得：118
x =-． 【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．
举一反三：
【变式1】解方程26752254436
z z z z z +---++=- 【答案】
解：把方程两边含有分母的项化整为零，得
267522544443366
z z z z z +++-=--+．
移项，合并同类项得：1122z =，系数化为1得：z ＝1．
【变式2】解方程：
0.10.050.20.05500.20.54x x +--+=. 【答案】
解：把方程可化为：0.520.550254
x x +--+=， 再去分母得：232x =-
解得：16x =-
4．解方程3{2x -1-[3(2x -1)+3]}＝5．
【答案与解析】
解：把2x -1看做一个整体．去括号，得：
3(2x -1)-9(2x -1)-9＝5．
合并同类项，得-6(2x -1)＝14． 系数化为1得：7213x -=-，解得23
x =-． 【总结升华】把题目中的2x -1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x -1＝a ，则原方程化为3[a -(3a+3)]＝5．
类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程
5.解关于x 的方程：1
1()(2)34
m x n x m -=+ 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．
【答案与解析】
解：原方程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+
当34m ≠
时，原方程有唯一解：4643
mn m x m +=-； 当33,42
m n ==-时，原方程无数个解； 当33,42m n =≠-时，原方程无解； 【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax b =，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．
2．解含绝对值的方程
6. 解方程|x -2|＝3．
【答案与解析】
解：当x -2≥0时，原方程可化为x -2＝3，得x ＝5．
当x -2＜0时，原方程可化为-(x -2)＝3，得 x ＝-1．
所以x ＝5和x ＝-1都是方程|x -2|＝3的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．
举一反三：
【变式1】若关于x的方程230
x m
-+=无解，340
x n
-+=只有一个解，450
x k
-+=
有两个解，
则,,
m n k的大小关系为：( )
A. m n k
>> B.n k m
>> C.k m n
>> D.m k n
>>
【答案】A
【变式2】若9
x=是方程
1
2
3
x m
-=的解，则__
m=；又若当1
n=时，则方程
1
2
3
x n
-=
的解是．
【答案】1；9或3．
类型四、一元一次方程的应用
7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：
1515
30601860
y y
+=-，解得：
45
2
y=
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为
45
15
21
3060
+=(小时)．
李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：45
227
1010
11
6060
y
x===
--
(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．
8. （2020春•万州区校级月考）一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【答案与解析】
解：设乙还需x天完成，由题意得
4×（+）+=1，
解得x=5．
答：乙还需5天完成．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
举一反三：
【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
【答案】
解：设售货员可以打x折出售此商品，得：
⨯=+
x
40000.12000(120%),
x=
解得： 6.
答：售货员最低可以打六折出售此商品．。