概率论与数理统计习题详解 周概容 习题4解

证明 (1) 设 X 是离散型随机变量，其一切可能值为{xi }，则对于任意 ε > 0 ,有
∑ ∑ P{| X |≥ ε} = P{X = xi} =
P{X = xi}
|xi|≥ε
xi2 ε 2≥1
∑ ∑ ≤
xi2
xi2 ε2
ε 2≥1
P{X
=
xi} ≤
1 ε2
xi
xi2P{X
=
xi} =
EX 2 ε2
∫1
0
(a
+
bx2 )dx
=
⎢⎣⎡ax
+
1 3
bx3
⎤1 ⎥⎦ 0
=
a
+
1b 3
= 1．
由此得关于未知系数 a 和 b 的方程组
其解即所求未知系数 a 和 b ：
1 a + 1 b = 3，a + 1 b = 1．
235
3
a = 3 ，b = 6 ．
5
5
4.12 假设随机变量 X 服从柯西分布，其概率密度为
4.10 试求 100 次独立重复试验成功次数的标准差的最大值． 解 设每次试验成功的概率为 p，则 100 次独立重复试验成功的次数 X 服从参数为（100， p ） 的 二 项 分 布 ， 故 DX = 100 p(1 − p) ． 易 见 ， 当 p =0.5 时 ， p(1 − p) 取 最 大 值 ． 这 时 DX = 100 pq = 100 × 0.25 = 25 ，可见标准差的最大值等于 5． 4.11 已知随机变量 X 的概率密度为
⎧ 5 − X，若 0 ≤ X < 5，
T
=
g(X
)
=
⎪⎪25 −
⎨ ⎪50
−
X，若 5 ≤ X，若25 ≤
X X
< 25， < 50，
⎪⎩65 − X，若50 ≤ X < 60．
因此，等候时间的数学期望为
∫ ∫ ET = Eg(X ) =
∞
g(x) f (x)dx =
1
60
g ( x)dx
−∞
60 0
P{Y = 1} = P{X > 0} = 2 ； 3
EY 2 = 1；EY = 1；DY = EY 2 − (EY )2 = 8 ．
3
9
4.2 设随机变量 X1, X 2 , X 3 相互独立，且都服从参数为 3 的泊松分布，而 Y 是 X1, X 2 , X 3 的算术平均值，求 EY 2 ．
解 泊松分布的数学期望和方差都等于 3．因此，有
现在求 X i (i = 1,2,Λ , n) 的概率分布：每个人在 n 个停车站中任何一站下车的概率都等于
1 n ，而事件 {X i = 0}表示“ r 个乘客都不在第 i 站下车”，因此
P{X i
=
0} =
⎜⎛1 − ⎝
1 n
⎟⎞ ⎠
r
， P{X
i
= 1} = 1 − ⎜⎛1 −
⎝
1 ⎟⎞r， n⎠
假设该地区人群中血液呈阳性反映的比率为 p．试求： (1) k 个人的混合血呈阳性反应的概率α ； (2) 每一组所需化验次数 X 的数学期望 μ ． (3) 当 p = 0.1 ， n = 1000， k = 4 时所需化验次数的数学期望 M．
解 (1) k 人的混合血都呈阴性反应的概率为 qk (q = 1− p) ，故α = 1 − qk ．
x)dx
=
1，
−∞
0
2
—习题解答● 4.2—
∫ ∫ EX 2 =
∞
1
x2 f (x)dx = 6 x3 (1 − x)dx =
3，
−∞
0
10
DX = EX 2 − (EX )2 = 1 ． 20
4.8 某线路的公共汽车总共有 n +1个停车站．假设在起点站发车时车上共有 r 个乘客， 并且每个乘客在前面 n 个停车站下车是等可能的，而且在没有乘客下车的站不停车．以 X 表 示当乘客全部下车时公共汽车停车的次数，求 EX ．
f
(x)
=
⎧a ⎨ ⎩
+ bx 0
2，若0 ≤ x ≤ 1， ，若不然，
且 EX = 3 5 ，试求未知系数 a 和 b ．
解 对于随机变量 X 已知 EX = 3 5 ，因此
∫ E X
=
1 0
x(a + bx2 )dx
=
⎡ ⎢⎣
1 2
ax
2
+
1 3
bx3
⎤1 ⎥⎦ 0
=
1 a + 1b 23
=
3， 5
1
X +X
4
⎟⎞2 ⎠
=
E⎜⎛ ⎝
1
X +X
4
⎟⎞2 ⎠
=
⎡ ⎢⎣1 +
−1 (−1)4
⎤2 ⎥ ⎦
×
0.3
+
⎜⎛ ⎝
1 1 + 14
⎟⎞2 ⎠
×
0.3
=
0.15．
4.16 一根均匀金属轴的横截面是一圆形，以 X 表示对其直径的随机测量结果，假设 X 在 区间 (1,2) 上服从均匀分布，试求轴的横截面面积 S 的数学期望和方差．
1
x 2 dx
−1
=
1 3
，DY3
==
EY32
−
(EY3 )2
=
1 3
−
1 4
=
1． 12
4.7 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
=
⎧6x(1 ⎨ ⎩0
−
x) , 若0 ≤ x ≤ 1， , 若不然，
求 EX 和 DX ． 解 由（4.3）式，有
∫ ∫ EX
=
∞
xf
( x)dx
=
1
6
x2 (1 −
增减变化趋势恰好相反所以立即可以断定例432设随机变量x方差分别为1和4相关系数为05试利用切贝绍夫不等式估计概率习题解答412例433设随机变量x的方差皆为2其相关系数为025求随机变量现在计算和相关系数434设随机变量x相互独立且服从参数为06的01分布证明相互独立且都服从01分布不相关
习题四 随机变量的数字特征
x x
< <
0， 1，
⎪⎩ 1 , 若 x ≥ 1 ，
解 由随机变量 X 的分布函数，可得
X
~
⎜⎜⎝⎛
−1 0.30
0 0.40
0.130⎟⎟⎠⎞ ；
E ⎜⎛ ⎝
X 1+ X
4
⎟⎞ ⎠
=
1+
−1 (−1)4
×
0.3
+
0 1+
0
×
0.4
+
1 1 + 14
×
0.3
=
0；
—习题解答● 4.5—
D ⎜⎛ ⎝
(2) 随机变量 X 的概率分布为
X
~
⎜⎜⎝⎛
1 qk
k +1 1− qk
⎟⎟⎠⎞
．
因此， μ = EX = qk + (k + 1)(1 − qk ) = k + 1 − kqk ．
—习题解答● 4.3—
(3) 设 p=0.10，n=1000，k=4，则总共分成 r=250 组．对于每一组期望化验次数 μ = 2.3756 ， 因此 M= rμ ≈ 594 ．
⎧EY = aEX − b = 10a − b = 0，
⎨ ⎩DY
=
a 2 DX
=
25a 2
= 1，
可见 a = ±1 5,b = ±2 ．
4.4 设随机变量 X 分布函数为 F(x)，求随机变量
⎧ 1, 若X > 0,
Y
=
⎪ ⎨
0, 若X
= 0,
⎪⎩− 1, 若X < 0
的数学期望．
解 随机变量Ｙ只有－1 和 1 两个可能值．
⎡ ⎢⎣
x
−
1 π
sinπ
x
⎤1 ⎥⎦ −1
=
1． 2
∫ ∫ EY2
= Ecos π X 2
=
∞π cos
x
2
−∞
f
(x)dx
=
1 2
1 πx cos 2
−1
dx
=
⎡1 ⎢⎣π
sin
πx 2
⎤1 ⎥⎦ −1
=
2， π
∫ ∫ EY22
=
Ecos2
πx 2
=
1 2
1
cos2
−1
πx 2
dx
=
1 4
1
(1 +
解 由对轴的直径的测量结果 X 在区间 (1,2) 上服从均匀分布，知 X 的概率密度为：
f
(
x)
=
⎧1，若1 < x < 2， ⎩⎨0，若不然．
轴的横截面面积 S 是直径的函数： S = π X 2 4 ．因此
∫ ES
=
E⎜⎜⎝⎛ π
X 4
2
⎟⎟⎠⎞
=
π 4
EX
2
=
π 4
2 1
x2dx
=
7π 12
∞
+
1
dx π (1 + x2 )
∫ ∫ =
１
2
xd x π (1 + x2 )
+
∞
2
dx π (1 + x2 )
=
1 π
ln 2
+
1． 2
0
1
4.13 设对于随机变量 X，EX 2 存在，证明对于任意 ε > 0 ,有（马尔科夫[Марков]不等式）
P{ X > ε}≤ EX 2 ．
ε2
—习题解答● 4.4—
∈
(−1,1)，
⎪⎩ 0，若x ∉ (−1,1)．
∫ ∫ EY1
=
E
sin
πX 2
=
∞π sin
x
−∞
2
f (x)dx = 1 1 sin π x dx = 0， 2 −1 2
∫ DY1
=
EY12
=
E sin2
πx 2
=
1 2
1
sin 2
πx 2
dx
−1
∫ =
1 4
1
(1 −
−1
cosπ
x)dx
=
1 4
（A）
4.1 设随机变量 X 在[－1,2]上服从均匀分布，当 X 小于、等于和大于 0 时，随机变量 Y 分别取－1，0 和 1 为值，求 Y 的方差．
解 由随机变量 X 在[－1,2]上服从均匀分布，易见
P{Y = −1} = P{X < 0} = 1；P{Y = 0} = P{X = 0} = 0； 3
EX i
=
P{X i
= 1} = 1 − ⎜⎛1 −
⎝
1 ⎟⎞r (i n⎠
= 1,2,Λ
, n)，
EX
=
E( X1
+
X2
+Λ
+
Xn)
=
⎡ n⎢1
−
⎜⎛1
−
⎢⎣ ⎝
1
⎟⎞
r
⎤ ⎥
．
n ⎠ ⎥⎦
4.9 在某地区通过验血对一种疾病情况进行抽样调查．现在采集了 n 个人的血样．对 n 个人进行分组，每 k 个人为一组；对于每一组，化验采用如下方式：将每个人的血样分为两 份，然后将每一组 k 个人的血样各取一份混合在一起进行一次化验，若反应阴性，则认为 k 个人的血都呈阴性反应；若反应阳性，则对每人的另一份血样单独进行化验(即共进行 k+1 次 化验)．
．
(2) 设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f (x) ，则
∫ ∫ ∫ P{|
X
|≥ ε} = f
|x|≥ε
(x)dx
≤
1 ε2
x2
x2≥ε 2
f
( x)dx
≤
1 ε2
∞
x2
−∞
f
( x)dx
≤
EX 2 ε2
．
4.14 游客自电视塔底层乘电梯到电视塔高架观光厅，电梯每整点的第 5, 25, 50 min 由
f (x) = 1 (− ∞ < x < ∞) ．
π (1 + x2 )
求 Emin{ X ,1}．
解 由于
min{
X
, 1} =
⎧| ⎨ ⎩
x |，若 | 1 ，若 |
x |< 1， x |≥ 1，
可见
{ } ∫ ∫ ∫ Emin
X
,1
1
=
| x | dx
−1
+
dx
−1 π (1 + x2 ) −∞ π (1 + x2 )
−1
cosπ
x)dx
=
1 4
⎢⎣⎡ x
+
1 π
sinπ
x
⎤1 ⎥⎦ −1
=
1， 2
DY2
= EYቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
− (EY2 )2
=
1− 4 2 π2
= π 2 −8； 2π 2
∫ ∫ ∫ EY3
=
E|
X
|=
∞
|
x|
f
( x)dx
=
1 2
1
|
x | dx
=
1
xdx
=
1， 2
−∞
−1
0
∫ EY32
=
Ex 2
=
1 2
EY
=
1 3
(
X
1
+
X2
+
X3)
=
3，
DY
=
1 9
(DX 1
+
DX 2
+
DX 3 )
= 1，
EY 2 = DY + (EY )2 = 10．
4.3 已知随机变量 X 和 Y 的数学期望和方差： EX = 10, DX = 25 ，求常数 a 和 b，使随机
变量Y = aX − b 的数学期望和方差分别等于 0 和 1． 解由
底层起行．假设一游客于早８~9 点之间随机的时刻——第 X 分钟到达底层的候梯处，试求他
等候时间T （min）的数学期望．
解 由条件知，可以认为 X 在区间［0, 60］上服从均匀分布，其密度为
随机变量T 是 X 的函数
f
(
x)
=
⎧ ⎪ ⎨
1 60
,
若x
∈ [0,60],
⎪⎩ 0 , 若x ∉[0,60]．
=
7，
6
−∞
0
1
DX = EX 2 − (EX )2 = 7 −1 = 1 ． 66
4.6 设随机变量 X 在 (−1,1) 上均匀分布，试求下列随机变量的数学期望和方差：
Y1
= sin π X 2
； Y2
= cos π X 2
；
Y3
=
X
．
解 随机变量 X 的概率密度为
f
( x)
=
⎪⎧ 1 ⎨2