混凝土应变计(组)应力计算方法

混凝土应变计（组）应力计算方法
1、 应力计算方法
大坝混凝土应变主要包含了由温度荷载和各种动静力外荷载引起的结构应力应变、徐变和自由体积变形造成的无应力应变（或称自由应变）。

自由体积变形是大坝混凝土在不受外力作用时发生的变形，其主要包括由于温度变化引起的热胀冷缩变形及温度变化引起的湿涨干缩变形以及水泥水化作用引起的自生体积变形等。

在单向受力条件下，混凝土试件在时间t 的总应变)(t ε可表示为：
)()()()()()(t t t t t t g w T c e εεεεεε++++= 式（1） 式中：)(t e ε——应力引起的瞬时应变；
)(t c ε——混凝土的徐变应变，与应力值、加荷龄期及荷载持续时间有关； )(t T ε——温度变化引起的应变；
)(t w ε——湿度变化引起的应变；
)(t g ε——混凝土自生体积变形引起的应变。

上式中前两项，)(t e ε和)(t c ε是由应力引起的，后三项即为无应力应变（无应力计测值）。

本文主要阐述混凝土应力的计算方法，无应力计资料分析将另文阐述。

混凝土应力计算方法主要是利用应变计（组）观测到的混凝土应变，扣除配套的无应力计应变测值后，并根据广义胡克定律换算成单轴应变，然后利用混凝土弹模及徐变试验资料，用变形法计算各方向正应力，再由正应力计算剪应力，并求得主应力及其方向余弦。

技术路线如下：
（1）根据应变计（组）邻近无应力计测值或回归方程，扣除应变计（组）测值中的无应力应变（式（1）中的后三项）。

（2）根据弹性力学应变第一不变量原理——空间中一点三个互相正交方向的应变之和为常量，对应变计测值进行平衡检查。

（3）根据广义胡克定律将空间应力状态下的应变换算成单轴应变。

（4）应用变形法由单轴应变计算各方向正应力。

（5）剪应力计算。

（6）主应力计算。

图1 应变计组埋设示意图
混凝土应力计算方法和步骤如下：
1.1 无应力应变扣除
根据应变计（组）邻近无应力计测值或回归方程，扣除应变计（组）测值中的无应力应变，按式（2）计算。

N
s
s
s-
=′式（2）式中：s′——扣除无应力应变的各向正应变，10-6。

s——应变计组各向应变计测值，10-6。

N
s——与应变计组对应的无应力计测值或回归值，10-6。

当无应力计
与对应的工作应变计组温度条件不相同时，应利用回归方程计算无应
力应变。

1.2 应变计组平衡检查
根据弹性力学应变第一不变量原理——空间中一点三个相互正交方向的应变之和为常量，对应变计测值进行平衡检查。

（1）5向应变计组
由5向应变计组安装埋设示意图（图1）所示，其各向应变计测值应满足下式：
5
4
2
5
3
1
s
s
s
s
s
s+
+
=
+
+式（3）
实际上，由于观测误差、应力梯度和温度梯度较大、混凝土不均匀、正交应变计未保持垂直等因素的存在，上式往往不能成立，而存在不平衡量d 。

4231s s s s d −−+= 式（4） 将不平衡量在各支应变计间进行分配，使总体误差最小，分配量i s ∆为： =∆=∆−=∆=∆4
44231d s s d s s 式（5） （2）7向应变计组
由7向应变计组安装埋设示意图（图1）所示，其各向应变计测值应满足下式：
761542531s s s s s s s s s ++=++=++ 式（6） 原因同上，不平衡量为：
−−+=−−+=76352
42311s s s s d s s s s d 式（7） 将不平衡量在各支应变计间进行分配，使总体误差最小，分配量i s ∆为： ++−=∆=∆++−=∆=∆+−=∆=∆=∆28)(28)()(22176
1214221531d d d s s d d d s s d d s s s 式（8） （3）9向应变计组
由9向应变计组安装埋设示意图（图1）所示，其各向应变计测值应满足下式：
983761542531s s s s s s s s s s s s ++=++=++=++ 式（9） 原因同上，不平衡量为：
−−+=−−+=−−+=9
85137635242311s s s s d s s s s d s s s s d 式（10） 将不平衡量在各支应变计间进行分配，使总体误差最小，分配量i s ∆为：
+++−=∆=∆+++−=∆=∆+++−=∆=∆++−=∆=∆=∆2
12)(2
12)(212)(12)(332198232176132142321531d d d d s s d d d d s s d d d d s s d d d s s s 式（11） 则应变计组各应变计平差以后的应变值应为：
i i i s s s ∆+=''' 式（12） 式中：''i s ——各应变计平差后的应变值，10-6。

'i s ——各应变计扣除无应力应变后的应变值，10-6。

1.3 空间应力状态应变换算单轴应变
广义胡克定律的表达式为：
+=+=+=++−+++=++−+++=++−+++=zx zx yz yz xy xy z y x z z z y x y y z y x x x E E E E E E E E E γµτγµτγµτεεεµµµεµσεεεµµµεµσεεεµµµεµσ)1(2)1(2)1(2)()21)(1()1()
()21)(1()1()
()21)(1()1( 式（13） 由于徐变试验是在单轴条件下进行的，其应力状态为简单的单向应力状态，而坝体内应变计组测点处是复杂的空间应力状态，因此根据广义胡克定律将空间应力状态下的应变换算成单轴应变，如下：
)21/()1/()()1/('µµεεεµµεεθθ−+++++=z y x 式（14） 式中：θε——应变计(组)各方向扣除无应力应变的正应变，10-6。

'θε——与θε对应的单轴应变，10-6。

µ——泊松比。

1.4 由单轴应变计算正应力
一般来说，要直接运用弹性徐（蠕）变本构方程计算应力是较为困难的，因此，我们根据单轴应变'ε应用变形法近似计算各方向的正应力。

如前所述，在单向受力条件下，混凝土试件在时间t 的总应变)(t ε可表示为： )()()()()()(t t t t t t g w T c e εεεεεε++++=
扣除上式后三项非应力应变后，单轴应变)(t ε′表示为：
)()()(t t t c e εεε+=′ 式（15） 设混凝土在龄期τ时的瞬时弹性模量为)(τE ，那么在龄期τ时施加荷载，混凝土受到的单向应力)(τσ的作用，在加载瞬间，产生弹性应变如下：
)()()(ττστεE e = 式（16） 当保持应力不变时，如果混凝土时理想弹性体，应变也保持不变。

实际上，混凝土试验资料表明，在常应力作用下，随着时间的延长，应变将不断增加，这一部分随着时间而增加的应变称为徐变，或称蠕变。

试验资料表明，当应力不超过强度的一半时，徐变与应力之间保持线性关系，徐变应变)(t c ε可按下式表示：
),()()(ττσεt C t c = 式（17） 式中),(τt C 是在单位应力作用下产生的徐变应变，称为徐变度，10-6/MPa 。

混凝土徐变度),(τt C 不但与持载时间τ-t 有关，而且与加载龄期τ有关，加载越早，徐变度越大。

将式（16）、（17）代入式（15）整理后得：
+=′),()(1)()(τττσεt C E t 或 式（18） )(),()(),()(1)(1-t t E t t C E ετετττσ′′=′
+= 式（19） 式中),(τt E ′为t 时刻的持续弹性模量。

通过将上面的（18）、（19）式转变为增量形式，即可推导出用变形法由单轴
应变'ε计算应力（增量）的表达式。

将时间划分为n 个时段，每个时段的起始和终止时刻（龄期）分别为：0τ，1τ，2τ，…，1−i τ，i τ，…，1−n τ，n τ。

各个时段中点龄期[2/)(1−+=i i i τττ]为：1τ，2τ，…，i τ，…，n τ。

各时刻对应的单轴
应变分别为：'0
ε，'1ε，'2ε，…，'i ε，…，'n ε。

各中点龄期对应的单轴应变分别为：'1ε，'2ε，…，'i ε，…，'
n ε。

则在i τ时刻的应力增量为：
i i i i i i i i E C E εττεττττσ′′=′
+=∆−−−),(),()(1)(11-11 （i =1） 式（20a ） +×∆−′′=∆∑−=−−−11111),()(1)(),()(i j j i j j i i i i C E E ττττσετττσ（i >1） 式（20b ） 在n τ时刻的应力为：
∑=∆=n
i i n 1)()(τστσ 式（20c ）
式中：
)(i τσ∆——i τ时刻的应力增量，MPa ；
),(1−′i i E ττ——以1−i τ为加荷龄期加载单位应力持续到i τ时刻的总变形
+−−),()(111i i i C E τττ的倒数，即i τ时刻的持续弹性模量。

)(1−′j E τ——1−j τ时刻混凝土的瞬时弹性模量，GPa ；
),(1−j i C ττ——以1−j τ为加荷龄期持续到i τ时刻的徐变度，10-6/MPa 。

综上，由式（20）即可根据单轴应变'ε计算出各方向的正应力。

1.5 剪应力计算
根据弹性力学任意斜截面上的正应力计算公式如下：
nl mn lm n m l zx yz xy z y x N τττσσσσ222222+++++=
式中l ，m ，n 为斜截面法向量N 对应X 、Y 、Z 轴的方向余弦。

直接利用XY 、YZ 、ZX 平面上与坐标轴成45°角的正应力xy σ，yz σ，zx σ可
求得剪应力表达式如下：
+−=+−=+−=)(21)(21)(21x z zx zx z y yz yz y x xy xy σσστσσστσσστ 或
−=−=−=)(21)(21)(21xz zx zx zy yz yz yx xy xy σστσστσστ 式（21） 式中yx σ，zy σ，xz σ为XY 、YZ 、ZX 平面上与坐标轴成135°角的正应力。

则按照图1所示埋设的所有空间应力分量可求得：
−=−=−====2/)(2/)(2
/)('2'4'7'6'8'9'3'5'1σστσστσστσσσσσσzx
yz xy z y x 式（22） 式中'i σ（i=1～9）为通过变形法计算出的各方向正应力。

对于五向应变计组，只有ZX 面有45°和（或）135°应变计，因此只能计算zx τ；七向应变计组，ZX 面和YZ 面有45°和（或）135°应变计，因此能计算zx τ和yz τ；九向应变计组，则能计算xy τ，yz τ和zx τ。

1.6 主应力计算
空间一点的主应力1σ，2σ，3σ及其方向余弦，可以通过求解应力矩阵的特征根及特征向量得到，应力矩阵如下：
[]
==z yz zx yz y xy zx xy x ij στττστττσσσ 式（23）
应力矩阵的三个特征根1σ，2σ，3σ（其中321σσσ≥≥）就是三个主应力，而对应特征值的特征向量就表示了主应力的方向。

并可求得最大剪应力：2/)(31max σστ−=。

对于五向应变计组，只有ZX 面有45°和（或）135°应变计，因此只能计
算该平面内的主应力：
222,1)2(2zx z
x z
x τσσσσσ+−±+= 式（24）
1.7 瞬时弹性模量与徐变度函数的确定
混凝土瞬时弹性模量一般采用下面的拟合公式表示：(单位：GPa) )1()(0b
a e E E ττ−−= 式（25） 式中：0E 、a 、
b ——根据试验数据得到的拟合系数。

τ为龄期。

混凝土徐变度函数可表示为以下函数形式：(单位：10-6/MPa)
()()]1)[(),(1010s q t r r p e t C τττϕϕτ−+−−−−+= 式（26） 式中：0ϕ、1ϕ、p 、0r 、1r 、q 、s ——根据试验数据得到的拟合系数。

或()()]1)[(]1)[(),(87436521τττττ−−−−−−−++−+=t x x t x x e x x e x x t C 式（27） 式中：1x ～8x ——根据试验数据得到的拟合系数。